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1. 函数$y=\frac{5}{x}$的图象大致是 （
B
） 答案
1.B
解析
【分析】
首先明确函数类型，$y=\frac{5}{x}$是反比例函数，其图像是双曲线，因此先排除属于其他函数图像的选项；再根据反比例函数的性质，由比例系数$k$的正负判断双曲线所在的象限，最终选出正确选项。
【解析】
1. 排除错误函数类型的选项：$y=\frac{5}{x}$是反比例函数，图像为双曲线。选项C是过原点的直线，属于正比例函数的图像，选项D是开口向下的抛物线，属于二次函数的图像，因此排除C、D。
2. 根据反比例函数性质判断象限：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，本题中$k=5＞0$，因此双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限。选项A的图像在第二、第四象限，不符合要求，排除A；选项B的图像在第一、第三象限，符合性质。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图像；反比例函数的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题时先通过函数类型排除明显错误的选项，再结合比例系数的正负判断图像所在象限即可得出答案，能有效考查对反比例函数基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.85
首先明确函数类型，$y=\frac{5}{x}$是反比例函数，其图像是双曲线，因此先排除属于其他函数图像的选项；再根据反比例函数的性质，由比例系数$k$的正负判断双曲线所在的象限，最终选出正确选项。
【解析】
1. 排除错误函数类型的选项：$y=\frac{5}{x}$是反比例函数，图像为双曲线。选项C是过原点的直线，属于正比例函数的图像，选项D是开口向下的抛物线，属于二次函数的图像，因此排除C、D。
2. 根据反比例函数性质判断象限：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，本题中$k=5＞0$，因此双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限。选项A的图像在第二、第四象限，不符合要求，排除A；选项B的图像在第一、第三象限，符合性质。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图像；反比例函数的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题时先通过函数类型排除明显错误的选项，再结合比例系数的正负判断图像所在象限即可得出答案，能有效考查对反比例函数基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.85
2.反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$的图象在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象所在象限由k的符号决定。首先先确定本题中k的取值，判断函数整体的象限分布；再结合题目给出的$x＜0$的限定条件，筛选符合横坐标为负的象限即可得到答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
①当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。
本题中反比例函数为$y=-\frac{6}{x}$，得$k=-6＜0$，因此该函数图象原本分布在第二、四象限。
②题目限定$x＜0$，即图象上的点横坐标为负数：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，符合$x＜0$的要求；第四象限内的点横坐标为正，不符合要求。
因此该函数在$x＜0$时的图象在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；象限坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数图象与k值的对应关系，易错点是容易忽略题干中$x＜0$的限制条件，解题时要注意结合自变量的取值范围对图象所在象限做进一步筛选。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象所在象限由k的符号决定。首先先确定本题中k的取值，判断函数整体的象限分布；再结合题目给出的$x＜0$的限定条件，筛选符合横坐标为负的象限即可得到答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
①当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。
本题中反比例函数为$y=-\frac{6}{x}$，得$k=-6＜0$，因此该函数图象原本分布在第二、四象限。
②题目限定$x＜0$，即图象上的点横坐标为负数：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，符合$x＜0$的要求；第四象限内的点横坐标为正，不符合要求。
因此该函数在$x＜0$时的图象在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；象限坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数图象与k值的对应关系，易错点是容易忽略题干中$x＜0$的限制条件，解题时要注意结合自变量的取值范围对图象所在象限做进一步筛选。
【难度系数】
0.8
3.(2025·重庆)反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象一定经过的点是 （
A.(2,6)
B.(-4,-3)
C.(-3,-4)
D.(6,-2)
D
）A.(2,6)
B.(-4,-3)
C.(-3,-4)
D.(6,-2)
答案
3.D
解析
【分析】
要判断一个点是否在反比例函数图象上，只需利用反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积恒等于$k$，即$xy=k$。本题中$k=-12$，因此只需逐一计算各选项横、纵坐标的乘积，选出乘积等于$-12$的选项即可。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{12}{x}$，变形可得$xy=-12$，即图象上的点满足横、纵坐标的乘积为$-12$。
对各选项逐一验证：
A选项：$2×6=12≠-12$，不符合要求，排除；
B选项：$(-4)×(-3)=12≠-12$，不符合要求，排除；
C选项：$(-3)×(-4)=12≠-12$，不符合要求，排除；
D选项：$6×(-2)=-12$，符合要求。
因此该反比例函数图象一定经过点$(6,-2)$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，解题核心是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标性质，通过代入验证的方法即可快速得出结果，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
要判断一个点是否在反比例函数图象上，只需利用反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积恒等于$k$，即$xy=k$。本题中$k=-12$，因此只需逐一计算各选项横、纵坐标的乘积，选出乘积等于$-12$的选项即可。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{12}{x}$，变形可得$xy=-12$，即图象上的点满足横、纵坐标的乘积为$-12$。
对各选项逐一验证：
A选项：$2×6=12≠-12$，不符合要求，排除；
B选项：$(-4)×(-3)=12≠-12$，不符合要求，排除；
C选项：$(-3)×(-4)=12≠-12$，不符合要求，排除；
D选项：$6×(-2)=-12$，符合要求。
因此该反比例函数图象一定经过点$(6,-2)$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，解题核心是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标性质，通过代入验证的方法即可快速得出结果，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
4.反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象关于y轴对称的图象的函数表达式为
$y=-\dfrac{3}{x}$
.答案
4.$y=-\dfrac{3}{x}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标特征：两点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相等。我们可以利用这个特征，通过代换法求出对称后图象的函数表达式：先设所求函数图象上的任意一点坐标，找到它关于y轴对称的点的坐标，再将对称点坐标代入原反比例函数的表达式，整理后即可得到所求的函数表达式。
【解析】
设所求反比例函数图象上任意一点的坐标为$\boldsymbol{(x,y)}$，
则该点关于y轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(-x,y)}$。
因为两个图象关于y轴对称，所以点$(-x,y)$在原反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，
将$(-x,y)$代入$y=\frac{3}{x}$，得：
$y=\frac{3}{-x}$，
整理得$y=-\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{3}{x}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、反比例函数解析式求解、反比例函数的对称性
【点评】
本题考查反比例函数的对称变换，解题核心是掌握坐标轴对称的点的坐标变化规律，通过代点法即可快速求出对称后的函数表达式，是反比例函数性质相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标特征：两点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相等。我们可以利用这个特征，通过代换法求出对称后图象的函数表达式：先设所求函数图象上的任意一点坐标，找到它关于y轴对称的点的坐标，再将对称点坐标代入原反比例函数的表达式，整理后即可得到所求的函数表达式。
【解析】
设所求反比例函数图象上任意一点的坐标为$\boldsymbol{(x,y)}$，
则该点关于y轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(-x,y)}$。
因为两个图象关于y轴对称，所以点$(-x,y)$在原反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，
将$(-x,y)$代入$y=\frac{3}{x}$，得：
$y=\frac{3}{-x}$，
整理得$y=-\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{3}{x}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、反比例函数解析式求解、反比例函数的对称性
【点评】
本题考查反比例函数的对称变换，解题核心是掌握坐标轴对称的点的坐标变化规律，通过代点法即可快速求出对称后的函数表达式，是反比例函数性质相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
5.在平面直角坐标系$xOy$中，若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(1,2)$和点$B(-1,m)$，则$m$的值为
$-2$
。答案
5.$-2$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知点A在反比例函数图象上，可将A点坐标代入$y=\frac{k}{x}$求出常数k的值；第二步，k为定值，再将点B的坐标代入求出的反比例函数解析式，即可计算得到m的值。也可利用反比例函数中$k=xy$的定值特征，直接由A点的横纵坐标乘积等于B点的横纵坐标乘积求解。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(1,2)$
∴ 将$x=1$，$y=2$代入解析式得：$2=\frac{k}{1}$
解得：$k=2$
∴ 该反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$
又
∵ 点$B(-1,m)$在该反比例函数的图象上
∴ 将$x=-1$，$y=m$代入$y=\frac{2}{x}$得：$m=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象上的点与解析式的对应关系，熟练掌握代入法求参数是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为两步：第一步，反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知点A在反比例函数图象上，可将A点坐标代入$y=\frac{k}{x}$求出常数k的值；第二步，k为定值，再将点B的坐标代入求出的反比例函数解析式，即可计算得到m的值。也可利用反比例函数中$k=xy$的定值特征，直接由A点的横纵坐标乘积等于B点的横纵坐标乘积求解。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(1,2)$
∴ 将$x=1$，$y=2$代入解析式得：$2=\frac{k}{1}$
解得：$k=2$
∴ 该反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$
又
∵ 点$B(-1,m)$在该反比例函数的图象上
∴ 将$x=-1$，$y=m$代入$y=\frac{2}{x}$得：$m=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象上的点与解析式的对应关系，熟练掌握代入法求参数是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
6.在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象.
答案
6.解:①列表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $\dfrac{4}{3}$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-1$ | $\dots$ |
②以表格中的对应值为坐标描点.
③画出反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象,如答图所示.
解析
【分析】
绘制函数图象的通用方法为描点法，分为列表、描点、连线三步，我们按该思路解题：首先反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的自变量$x$不能为0，且$k=-4＜0$，图象分布在第二、四象限，因此列表时要选取绝对值对称的正负非零整数$x$，方便计算对应$y$值，也能覆盖两个象限的点；接下来将每组$(x,y)$作为坐标，在坐标系中准确描点；最后用平滑曲线连接同一象限的点，注意曲线两端无限延伸、不与坐标轴相交，即可完成作图。
【解析】
绘制图象步骤如下：
1. 列表：选取非零整数作为$x$的取值，计算对应$y$值，结果如下表：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $\dfrac{4}{3}$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-1$ | $\dots$ |
2. 描点：根据表格中的坐标值，在平面直角坐标系中依次描出对应的点。
3. 连线：用平滑曲线分别连接第二象限、第四象限的点，延伸曲线两端（不与坐标轴相交），即得该反比例函数的图象。
【答案】
①列表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $\dfrac{4}{3}$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-1$ | $\dots$ |
②以表格中的对应值为坐标描点.
③画出反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象,如答图所示.
【知识点】
描点法画函数图象；反比例函数的图象
【点评】
本题是函数作图的基础题，核心考查描点法的应用，解题时需注意反比例函数自变量不能取0，连线要使用平滑曲线，图象不与坐标轴相交，避免出现折线、漏画单个分支等错误。
【难度系数】
0.8
绘制函数图象的通用方法为描点法，分为列表、描点、连线三步，我们按该思路解题：首先反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的自变量$x$不能为0，且$k=-4＜0$，图象分布在第二、四象限，因此列表时要选取绝对值对称的正负非零整数$x$，方便计算对应$y$值，也能覆盖两个象限的点；接下来将每组$(x,y)$作为坐标，在坐标系中准确描点；最后用平滑曲线连接同一象限的点，注意曲线两端无限延伸、不与坐标轴相交，即可完成作图。
【解析】
绘制图象步骤如下：
1. 列表：选取非零整数作为$x$的取值，计算对应$y$值，结果如下表：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $\dfrac{4}{3}$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-1$ | $\dots$ |
2. 描点：根据表格中的坐标值，在平面直角坐标系中依次描出对应的点。
3. 连线：用平滑曲线分别连接第二象限、第四象限的点，延伸曲线两端（不与坐标轴相交），即得该反比例函数的图象。
【答案】
①列表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=-\dfrac{4}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $\dfrac{4}{3}$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-1$ | $\dots$ |
②以表格中的对应值为坐标描点.
③画出反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象,如答图所示.
【知识点】
描点法画函数图象；反比例函数的图象
【点评】
本题是函数作图的基础题，核心考查描点法的应用，解题时需注意反比例函数自变量不能取0，连线要使用平滑曲线，图象不与坐标轴相交，避免出现折线、漏画单个分支等错误。
【难度系数】
0.8
7.(2025·德州)在平面直角坐标系中，函数$y=-\frac{1}{|x|}$的图象是（
C
）答案
7.C
解析
【分析】
要判断函数$y=-\frac{1}{|x|}$的图象，我们可以先从解析式的特征入手分析：首先，自变量$x$不能为0，因此图象与y轴无交点；其次，$|x|$恒为正数，因此函数值$y$一定是负数，说明图象所有点都在x轴下方，利用这个性质可以快速排除错误选项，也可以分$x＞0$和$x＜0$两种情况去掉绝对值，结合反比例函数的图象特征验证。
【解析】
1. 先确定函数值的符号：
因为分母不能为0，所以$x≠0$，且$|x|＞0$，因此$y=-\frac{1}{|x|}＜0$，即函数图象上所有点的纵坐标都为负数，图象只能位于第三、第四象限。
2. 逐一排除错误选项：
选项A、B中存在第二象限的图象分支（该象限内点的纵坐标$y＞0$），选项D中存在第一象限的图象分支（该象限内点的纵坐标$y＞0$），均不符合$y＜0$的结论，排除A、B、D；
选项C的两个图象分支全部位于第三、第四象限，符合函数特征。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象，绝对值的性质，函数图象判断
【点评】
本题考查带绝对值的反比例函数图象的识别，解题时可以先通过解析式判断函数值的符号快速排除错误选项，也可以通过分类讨论去掉绝对值后结合反比例函数的性质分析，解题方法灵活，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要判断函数$y=-\frac{1}{|x|}$的图象，我们可以先从解析式的特征入手分析：首先，自变量$x$不能为0，因此图象与y轴无交点；其次，$|x|$恒为正数，因此函数值$y$一定是负数，说明图象所有点都在x轴下方，利用这个性质可以快速排除错误选项，也可以分$x＞0$和$x＜0$两种情况去掉绝对值，结合反比例函数的图象特征验证。
【解析】
1. 先确定函数值的符号：
因为分母不能为0，所以$x≠0$，且$|x|＞0$，因此$y=-\frac{1}{|x|}＜0$，即函数图象上所有点的纵坐标都为负数，图象只能位于第三、第四象限。
2. 逐一排除错误选项：
选项A、B中存在第二象限的图象分支（该象限内点的纵坐标$y＞0$），选项D中存在第一象限的图象分支（该象限内点的纵坐标$y＞0$），均不符合$y＜0$的结论，排除A、B、D；
选项C的两个图象分支全部位于第三、第四象限，符合函数特征。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象，绝对值的性质，函数图象判断
【点评】
本题考查带绝对值的反比例函数图象的识别，解题时可以先通过解析式判断函数值的符号快速排除错误选项，也可以通过分类讨论去掉绝对值后结合反比例函数的性质分析，解题方法灵活，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
