1.(2025·徐州沛县月考)下列函数中,表示y是x的反比例函数的是 ()

A.$y=\dfrac{x}{2}$
B.$y=-\dfrac{1}{x}$
C.$y=2x$
D.$y=x+2$

1.B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义，再结合各选项的函数形式逐一判断，排除不符合反比例函数形式的选项即可得到正确答案。首先回忆反比例函数的标准形式：形如$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k ≠ 0 $）的函数叫做反比例函数，同时要注意区分正比例函数、一次函数的形式，避免混淆。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$ y = \frac{k}{x} $（$ k $是常数，$ k ≠ 0 $）的函数是反比例函数。
逐个分析选项：
选项A：$ y = \frac{x}{2} = \frac{1}{2}x $，符合正比例函数$ y=kx $（$ k $为常数）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
选项B：$ y = -\frac{1}{x} $，符合反比例函数的形式，其中$ k=-1 ≠ 0 $，属于反比例函数；
选项C：$ y = 2x $，符合正比例函数的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
选项D：$ y = x+2 $，符合一次函数$ y=kx+b $（$ k、b $为常数，$ k≠0 $）的形式，属于一次函数，不是反比例函数。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.一次函数的识别 3.正比例函数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同类型函数的表达形式，只要准确掌握反比例函数的定义特征，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

2. 反比例函数 $y=-\dfrac{3}{x}$ 的比例系数是 （）

A.$-3$
B.$3$
C.$-\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{3}$

2.A

【分析】
本题考查反比例函数的基本概念，解题思路如下：第一步，回忆反比例函数的标准形式，明确比例系数的定义；第二步，将题目给出的反比例函数与标准形式做对应，找到对应的常数项，注意不要遗漏符号；第三步，匹配选项得到答案。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠ 0$），其中$k$就是该反比例函数的比例系数。
将题目给出的函数$y=-\dfrac{3}{x}$与一般形式对比，可得$k=-3$，即该反比例函数的比例系数为$-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对反比例函数基本形式的掌握，解题时需注意不要忽略系数的符号。
【难度系数】
0.9

3. 对于函数 $y=\dfrac{m-1}{x}$，当 $m$ 时，$y$ 是 $x$ 的反比例函数。

3.≠1

【分析】
要判断函数$y=\dfrac{m-1}{x}$是否为反比例函数，首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，核心要求是比例系数$k$不能为0。本题中对应比例系数为$m-1$，因此只需令$m-1≠0$，解该不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
若$y=\dfrac{m-1}{x}$是反比例函数，则其比例系数需满足：
$m-1≠0$
解得$m≠1$。
【答案】
≠1
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记反比例函数中比例系数不为0的限制条件，避免忽略该要求导致出错。
【难度系数】
0.9

4.已知y是x的反比例函数，当$x=5$时，$y=2$。
(1)求y与x的函数表达式； (2)当$x=-4$时，求y的值； (3)当$y=-5$时，求x的值。

4.(1)$y=\dfrac{10}{x}$ (2)$y=-2.5$ (3)$x=-2$

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的基本形式：反比例函数的一般表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）。
(1) 求函数表达式的核心是确定常数$k$的值，我们可以用待定系数法，将已知的$x=5$、$y=2$代入一般式，即可求出$k$，得到完整的函数表达式。
(2) 求$x=-4$时的$y$值，只需将$x=-4$代入第(1)问求出的函数表达式，直接计算即可。
(3) 求$y=-5$时的$x$值，将$y=-5$代入已得到的函数表达式，解关于$x$的方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），
将$x=5$，$y=2$代入表达式，得：
$2=\frac{k}{5}$
解得$k=2×5=10$
所以$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{10}{x}$。
(2) 将$x=-4$代入$y=\frac{10}{x}$，得：
$y=\frac{10}{-4}=-2.5$
(3) 将$y=-5$代入$y=\frac{10}{x}$，得：
$-5=\frac{10}{x}$
解得$x=\frac{10}{-5}=-2$
【答案】
(1)$y=\dfrac{10}{x}$
(2)$y=-2.5$
(3)$x=-2$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数代入求值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考察待定系数法求函数解析式的方法，以及已知自变量或函数值求对应量的基本运算，掌握基础概念和运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

5.已知函数$y=(m-1)x^{2|m|-3}$是反比例函数，则$m$的值是（）

A.$\pm1$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$

5.B

【分析】
要解决这道题，需结合反比例函数的定义思考：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数且$k≠0$），因此本题需要满足两个条件：一是$x$的指数等于$-1$，二是$x$的系数不为0。先根据指数的等量关系求出$m$的可能取值，再代入系数的限制条件排除错误值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 函数$y=(m-1)x^{2|m|-3}$是反比例函数
∴ 根据反比例函数的定义，可得两个约束条件：
1. 指数满足：$2|m|-3=-1$
解这个方程：
$2|m|=2$
$|m|=1$
解得 $m=1$ 或 $m=-1$
2. 系数满足：$m-1≠0$，即 $m≠1$
综合两个条件，排除$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义、绝对值方程求解、一元一次不等式求解
【点评】
本题是反比例函数定义的典型基础题，解题的易错点是容易忽略系数不为0的限制条件，误选A选项，牢记定义的双重约束条件就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7

6.反比例函数$y=\frac{3}{2x}$的比例系数是，当$y=1$时，$x=$.

6.$\dfrac{3}{2}$ $\dfrac{3}{2}$

【分析】
解题首先要明确反比例函数的标准形式：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，其中$k$为比例系数。第一问需要将题中给出的函数变形为标准形式，即可直接得到比例系数；第二问求$y=1$时的$x$值，只需将$y=1$代入函数解析式，解关于$x$的方程即可得到结果。
【解析】
1. 求比例系数：
将反比例函数$y=\frac{3}{2x}$变形为标准形式：$y=\frac{\frac{3}{2}}{x}$，对比反比例函数$y=\frac{k}{x}$的形式，可得比例系数$k=\frac{3}{2}$。
2. 求$y=1$时$x$的值：
把$y=1$代入$y=\frac{3}{2x}$中，得到方程：
$1=\frac{3}{2x}$
方程两边同时乘以$2x$（$x≠0$），得：
$2x=3$
解得$x=\frac{3}{2}$，经检验$x=\frac{3}{2}$是原方程的解。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$；$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数的概念，代入法求值
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数基本定义的理解和代入求值的基本运算能力，解题的关键是准确掌握反比例函数的标准形式，避免直接将分子当作比例系数的错误。
【难度系数】
0.9

7.用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数.
(1)某中学九年级(2)班学生为校运动会制作小红花800朵，完成天数y(天)随该班学生平均每天制作的数量x(朵)的变化而变化；
(2)已知菱形的面积为24 cm²，一条对角线长a(cm)随另一条对角线长b(cm)的变化而变化；
(3)小明家距学校4000 m，若他骑车上学的平均速度是300 m/min，则上学途中他与学校的距离y(m)随他骑车的时间x(min)的变化而变化.

7.解:(1)$y=\dfrac{800}{x}$,是反比例函数.
(2)$a=\dfrac{48}{b}$,是反比例函数.
(3)$y=4000-300x$,是一次函数.
其中(1)(2)是反比例函数.

【分析】
解决本题分两步进行：第一步先结合各小问的实际场景，找到两个变量之间的等量关系，据此列出函数表达式；第二步再对照反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为常数且$k\ne0$的函数是反比例函数），判断列出的函数是否为反比例函数。各小问的等量关系依据分别为：(1)总制作量=每天制作量×完成天数；(2)菱形面积=两条对角线乘积的一半；(3)剩余到学校的距离=总路程-已骑行的路程，逐一推导判断即可。
【解析】
(1) 由题意可知：每天制作的数量×完成天数=小红花总数量800，即$xy=800$，整理得$y=\dfrac{800}{x}$（$x＞0$），符合反比例函数形式，属于反比例函数。
(2) 根据菱形面积公式可得：$\dfrac{1}{2}ab=24$，化简得$ab=48$，即$a=\dfrac{48}{b}$（$b＞0$），符合反比例函数形式，属于反比例函数。
(3) 已骑行的路程为$300x$米，因此到学校的剩余距离$y=4000-300x$（$0≤ x≤\dfrac{40}{3}$），属于一次函数，不是反比例函数。
综上，(1)(2)是反比例函数。
【答案】
(1)$y=\dfrac{800}{x}$，是反比例函数。
(2)$a=\dfrac{48}{b}$，是反比例函数。
(3)$y=4000-300x$，是一次函数。
其中(1)(2)是反比例函数。
【知识点】
列函数关系式；反比例函数的判定；菱形面积计算
【点评】
本题结合生活、几何实际场景考查函数关系式的列写与反比例函数的识别，解题核心是先找准等量关系得到解析式，再根据反比例函数的形式特征判断即可，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键。
【难度系数】
0.8

8.已知$y=y_1+y_2$，$y_1$与$x^2$成正比例关系，$y_2$与$x$成反比例关系，且当$x=1$时，$y=3$；当$x=-1$时，$y=1$。
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式；
(2)当$x=-2$时，求$y$的值。

8.解:(1)设$y_1=kx^2$,$y_2=\dfrac{m}{x}$,则$y=y_1+y_2=kx^2+\dfrac{m}{x}$.
把$x=1,y=3;x=-1,y=1$代入$y=kx^2+\dfrac{m}{x}$,得
$\begin{cases}3=k+m,\\1=k-m,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\m=1,\end{cases}$
$\therefore y=2x^2+\dfrac{1}{x}$.
(2)把$x=-2$代入$y=2x^2+\dfrac{1}{x}$,
得$y=2×4-\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2}$.

【分析】
解题时首先根据正比例、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，合并得到$y$关于$x$的含参数的关系式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入关系式，得到关于参数的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可确定函数表达式；第二问直接将$x=-2$代入第一问求出的函数表达式，按运算规则计算即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 因为$y_1$与$x^2$成正比例关系，$y_2$与$x$成反比例关系，所以设$y_1=kx^2$（$k≠0$），$y_2=\dfrac{m}{x}$（$m≠0$），则$y=y_1+y_2=kx^2+\dfrac{m}{x}$。
将$x=1,y=3$和$x=-1,y=1$分别代入$y=kx^2+\dfrac{m}{x}$，得：
$\begin{cases}3=k×1^2+\dfrac{m}{1}\\1=k×(-1)^2+\dfrac{m}{-1}\end{cases}$，整理为$\begin{cases}k+m=3\\k-m=1\end{cases}$
解方程组：两式相加得$2k=4$，解得$k=2$，将$k=2$代入$k+m=3$得$m=1$。
$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y=2x^2+\dfrac{1}{x}$。
(2) 把$x=-2$代入$y=2x^2+\dfrac{1}{x}$，得：
$y=2×(-2)^2+\dfrac{1}{-2}=2×4-\dfrac{1}{2}=8-\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1)$y=2x^2+\dfrac{1}{x}$；(2)$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数基础题型，核心考察对正、反比例函数定义的理解，以及待定系数法的应用，解题时注意代入负数计算时符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8