1. 二次函数的解析式通常有以下几种形式:(1) 一般式:$y=$;(2) 顶点式:$y=$;(3) 交点式:$y=$.

(1) $ax^2+bx+c\ (a≠0)$ (2) $a(x-h)^2+k(a≠0)$ (3) $a(x-m)(x-n)(a≠0)$

【分析】
本题考查二次函数三种常见解析式的基础识记，解题时可结合各解析式的特点回忆对应形式：
1. 一般式是二次函数最基础的展开形式，需明确二次项系数不为0，包含a、b、c三个常数项；
2. 顶点式的核心是可直接读出二次函数的顶点坐标(h,k)，结构为含平方的形式，同样要求二次项系数a≠0；
3. 交点式适用于已知二次函数与x轴两个交点的横坐标m、n的场景，结构为两个一次因式的乘积，二次项系数a≠0。
【解析】
根据二次函数解析式的相关定义：
(1) 一般式为所有项展开后的标准形式，即$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c\ (a≠0)}$；
(2) 顶点式突出顶点坐标$(h,k)$，即$\boldsymbol{y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)}$；
(3) 交点式也叫两根式，对应与x轴交点横坐标为m、n的情况，即$\boldsymbol{y=a(x-m)(x-n)\ (a≠0)}$。
【答案】
(1) $ax^2+bx+c\ (a≠0)$ (2) $a(x-h)^2+k(a≠0)$ (3) $a(x-m)(x-n)(a≠0)$
【知识点】
二次函数一般式；二次函数顶点式；二次函数交点式
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对二次函数三种常见解析式的记忆，是后续运用待定系数法求解二次函数解析式的核心基础，需准确区分各形式的特点和适用场景。
【难度系数】
0.9

2. 用待定系数法确定二次函数解析式的步骤如下:第一步,设:;第二步,代:;第三步,解:.

第一步：根据已知条件设相对应的二次函数解析式；第二步：将已知条件代入所设的解析式，得可解的方程组；第三步：解上述得到的方程组，求出待定的系数。

【分析】
这道题考查待定系数法求二次函数解析式的基础步骤，解题时可按方法的操作逻辑梳理思路：首先要结合题中给出的已知条件类型，选择最简便的二次函数解析式形式（如已知任意三个点坐标选一般式、已知顶点坐标选顶点式、已知与x轴两个交点选交点式）完成设式；再将已知条件代入设好的解析式中，得到关于待定系数的方程组；最后求解方程组得到各系数的具体值，即可确定最终的二次函数解析式。
【解析】
按照待定系数法的操作流程依次梳理：
第一步：先根据题目的已知条件，选择对应形式的二次函数解析式，解析式中保留待确定的未知系数；
第二步：把已知的点坐标或者对应等量关系代入所设的解析式中，得到关于未知系数的可解方程组；
第三步：求解得到的方程组，算出所有待定系数的取值，代入所设解析式就得到确定的二次函数解析式。
【答案】
第一步：根据已知条件设相对应的二次函数解析式；第二步：将已知条件代入所设的解析式，得可解的方程组；第三步：解上述得到的方程组，求出待定的系数。
【知识点】
待定系数法，二次函数解析式确定，解方程组
【点评】
本题属于基础记忆类题型，考查对待定系数法求二次函数解析式步骤的掌握，是求解二次函数各类问题的基础，熟练掌握该步骤后可根据不同已知条件灵活选择解析式形式，简化计算过程。
【难度系数】
0.9

1. 若抛物线 $ y = ax^2 + bx + 5 \ (a ≠ 0) $ 的顶点坐标是 $ (-1, -4) $，则 $ a = $ ，$ b = $ 。

a=9，b=18

【分析】
本题已知抛物线的一般式和顶点坐标，求系数a、b，可从两个方向切入思考：①利用顶点坐标的性质：顶点横坐标对应抛物线对称轴，即$x=-\frac{b}{2a}$，同时顶点在抛物线上满足解析式，由此列二元一次方程组求解；②先根据顶点坐标写出抛物线的顶点式，展开后和已知一般式对比对应系数即可求解。两种方法均符合当前学段知识要求，计算难度低。
【解析】
解法一：利用顶点坐标性质列方程组求解
已知抛物线$y=ax^2+bx+5$的顶点坐标为$(-1,-4)$，可得：
1. 抛物线对称轴为顶点横坐标，即$-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$；
2. 顶点在抛物线上，将$x=-1,y=-4$代入解析式得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) +5=-4$，化简得$a - b = -9$。
将$b=2a$代入$a - b = -9$，得$a-2a=-9$，解得$a=9$；
再将$a=9$代入$b=2a$，得$b=2×9=18$。
解法二：利用顶点式求解
已知抛物线顶点为$(-1,-4)$，设抛物线顶点式为$y=a(x+1)^2-4$，展开得：
$y=ax^2+2ax+a-4$
与已知一般式$y=ax^2+bx+5$对比对应系数，可得：
$\begin{cases}2a=b \\ a-4=5 \end{cases}$
解得$a=9$，$b=18$。
【答案】
$a=9$，$b=18$
【知识点】
二次函数顶点性质；待定系数法；二元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，核心考察对二次函数顶点相关性质的应用，两种解题方法都是该部分的必备技能，计算步骤简单，属于得分题。
【难度系数】
0.8

2. 某二次函数的图象如图所示，则此二次函数的解析式为.

$y=-x^2+2x+3$

【分析】
要确定二次函数的解析式，我们可以采用待定系数法，首先从图像中提取关键已知条件：①抛物线与y轴交于点(0,3)，可得常数项c的值；②抛物线的对称轴为直线x=1，可利用对称轴公式得到a与b的关系；③抛物线与x轴交于点(3,0)，代入解析式可得到关于a、b的方程，联立即可求出a、b的值，进而得到解析式。也可利用对称轴的对称性先求出抛物线与x轴的另一个交点，用交点式求解。
【解析】
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 由图像可知抛物线过点$(0,3)$，将$x=0,y=3$代入解析式，得$c=3$；
2. 已知抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$；
3. 由图像可知抛物线过点$(3,0)$，将$x=3,y=0,c=3$代入解析式，得：
$9a+3b+3=0$，化简得$3a+b+1=0$；
4. 将$b=-2a$代入$3a+b+1=0$，得：
$3a-2a+1=0$，解得$a=-1$，则$b=-2×(-1)=2$；
因此二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数对称轴性质
3. 二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查从函数图像提取有效信息的能力和待定系数法的应用，熟练掌握二次函数不同形式解析式的特点，能帮助我们更快速地完成求解。
【难度系数】
0.8

3. 若抛物线经过$(0,1),(-1,0),(1,0)$三点,则此抛物线的解析式为（）

A.$y=x^2+1$
B.$y=x^2-1$
C.$y=-x^2+1$
D.$y=-x^2-1$

C

【分析】
这是一道求二次函数解析式的选择题，有两种清晰的解题思路：①待定系数法：已知抛物线经过x轴上的两个交点(-1,0)、(1,0)，可优先用交点式设解析式，再代入第三个点(0,1)求出未知系数即可得到解析式；②代入验证法：结合选择题的特性，将三个已知点分别代入四个选项的解析式，所有点都满足的选项就是正确答案，这种方法解题更快捷。
【解析】
方法一：待定系数法（交点式）
∵抛物线经过点$(-1,0)$和$(1,0)$，即抛物线与x轴的交点横坐标为$-1$和$1$
∴设抛物线的解析式为$ y=a(x+1)(x-1) $（$a≠0$）
将点$(0,1)$代入解析式得：
$ 1=a(0+1)(0-1) $
解得$ a=-1 $
∴抛物线解析式为$ y=-(x+1)(x-1) = -x^2 +1 $
方法二：代入验证法
依次将三个已知点代入各选项验证：
A选项：代入$(1,0)$，得$y=1^2+1=2≠0$，排除；
B选项：代入$(0,1)$，得$y=0-1=-1≠1$，排除；
C选项：代入$(0,1)$得$y=0+1=1$，代入$(-1,0)$得$y=-(-1)^2+1=0$，代入$(1,0)$得$y=-1^2+1=0$，三个点均满足；
D选项：代入$(0,1)$得$y=0-1=-1≠1$，排除。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过待定系数法规范求解解析式，也可以利用选择题的特性用代入验证法快速得出答案，熟练掌握二次函数解析式的不同设法能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9

4. 已知抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$(3,1),(-1,1)$，则此抛物线还经过点 （）

A.$(1,2)$
B.$(0,-2)$
C.$(-5,2)$
D.$(-2,0)$

B

【分析】
已知抛物线经过两个点的坐标，我们可以通过待定系数法求解解析式：首先将两个点的坐标代入二次函数一般式，得到关于系数b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可确定抛物线的完整解析式；再将各选项的横坐标代入解析式计算纵坐标，与选项给出的纵坐标对比，匹配的即为抛物线经过的点。
【解析】
将点$(3,1)$、$(-1,1)$代入抛物线解析式$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}9 + 3b + c = 1 \\1 - b + c = 1\end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}3b + c = -8 ①\\-b + c = 0 ②\end{cases}$
用①-②消去$c$，得：$4b = -8$，解得$b=-2$。
将$b=-2$代入②，得：$2 + c = 0$，解得$c=-2$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2 - 2x - 2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=1$时，$y=1^2 - 2×1 -2 = -3 ≠ 2$，故该点不在抛物线上；
B. 当$x=0$时，$y=0^2 - 2×0 -2 = -2$，与选项纵坐标一致，故该点在抛物线上；
C. 当$x=-5$时，$y=(-5)^2 -2×(-5) -2 = 33 ≠ 2$，故该点不在抛物线上；
D. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2 -2×(-2) -2 = 6 ≠ 0$，故该点不在抛物线上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用以及二次函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，熟练掌握待定系数法求解函数解析式是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8

5. 求满足下列条件的二次函数的解析式：
（1）图象经过点$A(4,0),B(1,0),C(-2,\dfrac{9}{2})$；
（2）图象经过点$A(1,6)$，其顶点坐标为$B(-1,2)$；
（3）图象经过点$A(-1,0),B(3,0)$，函数有最小值$-8$。

(1) $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{4}x+1$ (2) $y=(x+1)^2+2$ (3) $y=2(x-1)^2-8$

【分析】
求二次函数解析式需根据已知条件灵活选择最简便的解析式形式，常用形式有三种：①一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，适合已知三个普通点的情况；②交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$，适合已知函数与x轴两个交点的情况；③顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，适合已知顶点坐标或最值的情况。
（1）已知图象与x轴的两个交点$A(4,0)$、$B(1,0)$，优先选交点式，代入第三个点求出$a$后整理即可；
（2）已知顶点坐标$B(-1,2)$，优先选顶点式，代入点$A$求出$a$即可；
（3）已知图象与x轴两个交点，可先求对称轴，结合最小值得到顶点坐标，用顶点式代入求解$a$即可。
【解析】
（1）$\because$二次函数图象过$A(4,0)$、$B(1,0)$
$\therefore$设解析式为$y=a(x-4)(x-1)(a≠0)$
将$C(-2,\frac{9}{2})$代入得：
$a×(-2-4)×(-2-1)=\frac{9}{2}$
$18a=\frac{9}{2}$
解得$a=\frac{1}{4}$
$\therefore y=\frac{1}{4}(x-4)(x-1)=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{4}x+1$
（2）$\because$二次函数顶点为$B(-1,2)$
$\therefore$设解析式为$y=a(x+1)^2+2(a≠0)$
将$A(1,6)$代入得：
$a×(1+1)^2+2=6$
$4a=4$
解得$a=1$
$\therefore y=(x+1)^2+2$
（3）$\because$二次函数过$A(-1,0)$、$B(3,0)$
$\therefore$对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$
$\because$函数最小值为$-8$，$\therefore$顶点坐标为$(1,-8)$
设解析式为$y=a(x-1)^2-8(a≠0)$
将$A(-1,0)$代入得：
$a×(-1-1)^2-8=0$
$4a=8$
解得$a=2$
$\therefore y=2(x-1)^2-8$
【答案】
(1) $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{4}x+1$ (2) $y=(x+1)^2+2$ (3) $y=2(x-1)^2-8$
【知识点】
二次函数解析式的确定；二次函数的三种形式；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查根据已知条件选择最优解析式形式的能力，选对形式可以大幅简化计算，熟练掌握三种解析式的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.7