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一、快乐填一填
1. 茶厂师傅们要将新炒制的3 kg茶叶平均分装到8个精品礼盒中，那么每盒茶叶占总量的（
1. 茶厂师傅们要将新炒制的3 kg茶叶平均分装到8个精品礼盒中，那么每盒茶叶占总量的（
$\frac{1}{8}$
），每盒重（$\frac{3}{8}$
）kg。答案
1. $\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$
解析
【分析】
这道题需要区分两类问题的求解逻辑，第一个空求的是占比（分率），第二个空求的是具体质量。解题思路如下：1. 求每盒占总量的几分之几时，把茶叶总总量看作单位“1”，将单位“1”平均分成8份，求1份占整体的比例，用1除以总份数即可；2. 求每盒的具体重量时，把3kg这个具体的总质量平均分成8份，求每份的具体数值，用总质量除以总份数就能得到结果。
【解析】
1. 计算每盒茶叶占总量的比例：
把茶叶总质量看作单位“1”，平均分成8份，每份占总量的：
$1÷8=\frac{1}{8}$
2. 计算每盒茶叶的具体重量：
总质量为3kg，平均分成8份，每份的质量为：
$3÷8=\frac{3}{8}$（kg）
【答案】
$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$
【知识点】
分数的意义；分数与除法的关系
【点评】
本题的易错点是混淆分率和具体量，解题时要注意：求分率时是将单位“1”平均分，结果不带单位；求具体量时是将实际总质量平均分，结果带单位，掌握两者的区别就能轻松解题。
【难度系数】
0.85
这道题需要区分两类问题的求解逻辑，第一个空求的是占比（分率），第二个空求的是具体质量。解题思路如下：1. 求每盒占总量的几分之几时，把茶叶总总量看作单位“1”，将单位“1”平均分成8份，求1份占整体的比例，用1除以总份数即可；2. 求每盒的具体重量时，把3kg这个具体的总质量平均分成8份，求每份的具体数值，用总质量除以总份数就能得到结果。
【解析】
1. 计算每盒茶叶占总量的比例：
把茶叶总质量看作单位“1”，平均分成8份，每份占总量的：
$1÷8=\frac{1}{8}$
2. 计算每盒茶叶的具体重量：
总质量为3kg，平均分成8份，每份的质量为：
$3÷8=\frac{3}{8}$（kg）
【答案】
$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$
【知识点】
分数的意义；分数与除法的关系
【点评】
本题的易错点是混淆分率和具体量，解题时要注意：求分率时是将单位“1”平均分，结果不带单位；求具体量时是将实际总质量平均分，结果带单位，掌握两者的区别就能轻松解题。
【难度系数】
0.85
2.王老师把24支铅笔和36块橡皮平均分给一些学生，保证每名学生分到同样多的铅笔和橡皮，并且没有剩余，最多能分给(
12
)名学生。答案
2. 12
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目的核心要求：分给学生的人数需要同时满足能把24支铅笔平均分完无剩余、也能把36块橡皮平均分完无剩余，说明学生人数是24和36的公因数；题目要求“最多能分给多少名学生”，也就是求24和36的最大公因数，用符合学段的列举法或者短除法求出最大公因数即可得到答案。
【解析】
我们可以用列举法求解：
第一步，列出24的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、24
第二步，列出36的所有因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
第三步，找出两个数共有的公因数：1、2、3、4、6、12
第四步，其中最大的公因数是12，即最多能分给12名学生。
（也可使用短除法：将24和36依次除以共同的质因数2、2、3，得到互质的2和3，将所有除数相乘2×2×3=12，得到最大公因数为12）
【答案】
12
【知识点】
1. 公因数的意义
2. 最大公因数计算
3. 公因数实际应用
【点评】
这是公因数在实际分配问题中的典型应用，解题的关键是把“最多分配的人数”的实际问题转化为求两个数最大公因数的数学问题，熟练掌握最大公因数的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确题目的核心要求：分给学生的人数需要同时满足能把24支铅笔平均分完无剩余、也能把36块橡皮平均分完无剩余，说明学生人数是24和36的公因数；题目要求“最多能分给多少名学生”，也就是求24和36的最大公因数，用符合学段的列举法或者短除法求出最大公因数即可得到答案。
【解析】
我们可以用列举法求解：
第一步，列出24的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、24
第二步，列出36的所有因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
第三步，找出两个数共有的公因数：1、2、3、4、6、12
第四步，其中最大的公因数是12，即最多能分给12名学生。
（也可使用短除法：将24和36依次除以共同的质因数2、2、3，得到互质的2和3，将所有除数相乘2×2×3=12，得到最大公因数为12）
【答案】
12
【知识点】
1. 公因数的意义
2. 最大公因数计算
3. 公因数实际应用
【点评】
这是公因数在实际分配问题中的典型应用，解题的关键是把“最多分配的人数”的实际问题转化为求两个数最大公因数的数学问题，熟练掌握最大公因数的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3.《史记》是中国历史上第一部纪传体通史，《史记》分为本纪、表、书、世家、列传五部分。其中，世家篇数占全书的$\frac{3}{13}$，列传篇数占全书的$\frac{7}{13}$。本纪、表和书三部分的篇数共占全书的（
$\frac{3}{13}$
）。答案
3. $\frac{3}{13}$
解析
【分析】
解题时首先要把《史记》全书的总篇数看作单位“1”，要求本纪、表和书三部分的占比，只需用单位“1”减去已知的世家、列传的占比之和即可。具体思考步骤：第一步先确定单位“1”是全书总篇数，第二步计算世家和列传的占比总和，第三步用单位“1”减去这个总和，就能得到所求三部分的占比。
【解析】
将《史记》全书总篇数看作单位“1”。
1. 先计算世家和列传的篇数一共占全书的比例：
$\frac{3}{13}+\frac{7}{13}=\frac{10}{13}$
2. 再计算本纪、表和书三部分的篇数占全书的比例：
$1-\frac{10}{13}=\frac{13}{13}-\frac{10}{13}=\frac{3}{13}$
【答案】
$\frac{3}{13}$
【知识点】
单位“1”的应用、同分母分数加减法
【点评】
本题考查分数加减法的实际应用，解题核心是找准单位“1”，计算时注意将整数1转化为和运算分数同分母的假分数再计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先要把《史记》全书的总篇数看作单位“1”，要求本纪、表和书三部分的占比，只需用单位“1”减去已知的世家、列传的占比之和即可。具体思考步骤：第一步先确定单位“1”是全书总篇数，第二步计算世家和列传的占比总和，第三步用单位“1”减去这个总和，就能得到所求三部分的占比。
【解析】
将《史记》全书总篇数看作单位“1”。
1. 先计算世家和列传的篇数一共占全书的比例：
$\frac{3}{13}+\frac{7}{13}=\frac{10}{13}$
2. 再计算本纪、表和书三部分的篇数占全书的比例：
$1-\frac{10}{13}=\frac{13}{13}-\frac{10}{13}=\frac{3}{13}$
【答案】
$\frac{3}{13}$
【知识点】
单位“1”的应用、同分母分数加减法
【点评】
本题考查分数加减法的实际应用，解题核心是找准单位“1”，计算时注意将整数1转化为和运算分数同分母的假分数再计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
4.某超市要做一个长2.2 m、宽40 cm、高80 cm的长方体玻璃柜台。现在要在柜台各边都安上角铁，这个柜台至少需要(
13.6
)m的角铁。答案
4. 13.6
解析
【分析】
要求柜台需要的角铁长度，本质是求这个长方体柜台的棱长总和。解题时首先要统一单位，将宽和高的单位厘米换算成米，再利用长方体棱长总和公式计算即可。长方体共有12条棱，分别是4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和=(长+宽+高)×4。
【解析】
第一步：统一单位
因为1m=100cm，所以：
40cm = 40÷100 = 0.4m
80cm = 80÷100 = 0.8m
第二步：计算长方体棱长总和
根据长方体棱长总和公式：$\mathrm{棱长总和}=(\mathrm{长}+\mathrm{宽}+\mathrm{高})×4$
代入数值计算：
$\begin{split}&(2.2 + 0.4 + 0.8) × 4\\=&3.4×4\\=&13.6(\mathrm{m})\end{split}$
【答案】
13.6
【知识点】
长方体棱长总和计算、长度单位换算
【点评】
本题是长方体棱长公式的实际应用题，解题核心是明确所求量对应的数学含义，计算前需注意统一单位，避免因单位不一致导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要求柜台需要的角铁长度，本质是求这个长方体柜台的棱长总和。解题时首先要统一单位，将宽和高的单位厘米换算成米，再利用长方体棱长总和公式计算即可。长方体共有12条棱，分别是4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和=(长+宽+高)×4。
【解析】
第一步：统一单位
因为1m=100cm，所以：
40cm = 40÷100 = 0.4m
80cm = 80÷100 = 0.8m
第二步：计算长方体棱长总和
根据长方体棱长总和公式：$\mathrm{棱长总和}=(\mathrm{长}+\mathrm{宽}+\mathrm{高})×4$
代入数值计算：
$\begin{split}&(2.2 + 0.4 + 0.8) × 4\\=&3.4×4\\=&13.6(\mathrm{m})\end{split}$
【答案】
13.6
【知识点】
长方体棱长总和计算、长度单位换算
【点评】
本题是长方体棱长公式的实际应用题，解题核心是明确所求量对应的数学含义，计算前需注意统一单位，避免因单位不一致导致计算错误。
【难度系数】
0.8
二、对号入座
1.学校举行艺术文化节，王老师要把126个艺术品装箱，选择每箱装(
A.6
B.8
C.10
1.学校举行艺术文化节，王老师要把126个艺术品装箱，选择每箱装(
A
)个的包装盒，正好可以将这些艺术品全部装完。A.6
B.8
C.10
答案
1. A
解析
【分析】
要想正好把126个艺术品全部装完，说明每箱装的数量能整除126，也就是126除以每箱的个数没有余数。解题时我们只需要分别用126除以三个选项中的数，找出计算结果没有余数的选项即可。
【解析】
我们分别计算126除以各选项的数：
A选项：$126÷6=21$，计算结果没有余数，说明装21箱正好可以全部装完。
B选项：$126÷8=15······6$，有余数，说明装15箱后还剩6个，不能正好装完。
C选项：$126÷10=12······6$，有余数，说明装12箱后还剩6个，不能正好装完。
因此符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
整除的判定、除法计算
【点评】
这道题结合生活中的装箱场景考查整除的相关知识，解题核心是理解“正好装完”的数学含义，只需通过简单的除法计算就能得出结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.85
要想正好把126个艺术品全部装完，说明每箱装的数量能整除126，也就是126除以每箱的个数没有余数。解题时我们只需要分别用126除以三个选项中的数，找出计算结果没有余数的选项即可。
【解析】
我们分别计算126除以各选项的数：
A选项：$126÷6=21$，计算结果没有余数，说明装21箱正好可以全部装完。
B选项：$126÷8=15······6$，有余数，说明装15箱后还剩6个，不能正好装完。
C选项：$126÷10=12······6$，有余数，说明装12箱后还剩6个，不能正好装完。
因此符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
整除的判定、除法计算
【点评】
这道题结合生活中的装箱场景考查整除的相关知识，解题核心是理解“正好装完”的数学含义，只需通过简单的除法计算就能得出结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.85
2.一间客厅长5.4 m、宽3.6 m，选用边长为(
A.4
B.5
C.6
C
)dm的正方形地砖铺地不需要切割。A.4
B.5
C.6
答案
2. C
解析
【分析】
要解决地砖不需要切割的问题，首先要明确：正方形地砖的边长必须同时是客厅长和宽的因数，也就是两者的公因数。解题时第一步先统一长度单位，把米换算成分米，和选项的单位保持一致，再验证选项中的边长是否能同时整除长和宽即可。
【解析】
要使地砖铺地不需要切割，则正方形地砖的边长需同时整除客厅的长和宽。
首先统一单位：根据1m=10dm，可得客厅长5.4m=54dm，宽3.6m=36dm。
依次验证选项：
A. 边长4dm：54÷4=13.5，不能整除，不符合要求；
B. 边长5dm：54÷5=10.8，不能整除，不符合要求；
C. 边长6dm：54÷6=9，36÷6=6，均能整除，符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
公因数的应用、长度单位换算
【点评】
这道题结合生活场景考查数学知识的实际应用，解题核心是准确理解“不需要切割”的数学含义，即地砖边长是客厅长、宽的公因数，解题时要注意先统一单位再验证，避免单位混淆出错。
【难度系数】
0.7
要解决地砖不需要切割的问题，首先要明确：正方形地砖的边长必须同时是客厅长和宽的因数，也就是两者的公因数。解题时第一步先统一长度单位，把米换算成分米，和选项的单位保持一致，再验证选项中的边长是否能同时整除长和宽即可。
【解析】
要使地砖铺地不需要切割，则正方形地砖的边长需同时整除客厅的长和宽。
首先统一单位：根据1m=10dm，可得客厅长5.4m=54dm，宽3.6m=36dm。
依次验证选项：
A. 边长4dm：54÷4=13.5，不能整除，不符合要求；
B. 边长5dm：54÷5=10.8，不能整除，不符合要求；
C. 边长6dm：54÷6=9，36÷6=6，均能整除，符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
公因数的应用、长度单位换算
【点评】
这道题结合生活场景考查数学知识的实际应用，解题核心是准确理解“不需要切割”的数学含义，即地砖边长是客厅长、宽的公因数，解题时要注意先统一单位再验证，避免单位混淆出错。
【难度系数】
0.7
3.某泳池长 50 m、宽 25 m,如果泳池水深1.8 m,那么泳池与水“接触面”的面积是多少平方米? 正确的列式是(
A.$50×25$
B.$(50×25+50×1.8+25×1.8)×2$
C.$50×25+(50×1.8+25×1.8)×2$
C
)。A.$50×25$
B.$(50×25+50×1.8+25×1.8)×2$
C.$50×25+(50×1.8+25×1.8)×2$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要明确泳池的形状是长方体，题目要求的是泳池与水的接触面面积，首先判断接触面包含哪些面：泳池装水时，只有底部和四周的侧面会和水接触，上方的水面不与泳池接触，因此不需要计算顶面的面积，属于无盖长方体的表面积计算问题。接下来分别计算底面和四个侧面的面积，再求和，最后对应选项判断即可。
【解析】
首先，接触面包含1个底面和4个侧面：
1. 底面是长50m、宽25m的长方形，面积为：$50×25$
2. 侧面包含2个长为50m、宽为水深1.8m的长方形，和2个长为25m、宽为1.8m的长方形，侧面总面积为：$50×1.8×2 + 25×1.8×2 = (50×1.8 + 25×1.8)×2$
3. 总接触面面积为底面面积加侧面总面积，即$50×25 + (50×1.8 + 25×1.8)×2$，对应选项C。
补充说明：选项A仅计算了底面面积，漏算侧面；选项B是完整长方体的表面积，多算了顶面且错误将底面也乘2，均不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
长方体表面积计算；无盖立体图形表面积应用
【点评】
这道题是长方体表面积在实际场景中的应用，解题的关键是结合生活实际判断需要计算的面，不要机械套用完整的长方体表面积公式，避免多算或漏算面的面积。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确泳池的形状是长方体，题目要求的是泳池与水的接触面面积，首先判断接触面包含哪些面：泳池装水时，只有底部和四周的侧面会和水接触，上方的水面不与泳池接触，因此不需要计算顶面的面积，属于无盖长方体的表面积计算问题。接下来分别计算底面和四个侧面的面积，再求和，最后对应选项判断即可。
【解析】
首先，接触面包含1个底面和4个侧面：
1. 底面是长50m、宽25m的长方形，面积为：$50×25$
2. 侧面包含2个长为50m、宽为水深1.8m的长方形，和2个长为25m、宽为1.8m的长方形，侧面总面积为：$50×1.8×2 + 25×1.8×2 = (50×1.8 + 25×1.8)×2$
3. 总接触面面积为底面面积加侧面总面积，即$50×25 + (50×1.8 + 25×1.8)×2$，对应选项C。
补充说明：选项A仅计算了底面面积，漏算侧面；选项B是完整长方体的表面积，多算了顶面且错误将底面也乘2，均不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
长方体表面积计算；无盖立体图形表面积应用
【点评】
这道题是长方体表面积在实际场景中的应用，解题的关键是结合生活实际判断需要计算的面，不要机械套用完整的长方体表面积公式，避免多算或漏算面的面积。
【难度系数】
0.7
4.下面的问题可以用$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$解决的是(
A.某月雨天占全月的$\frac{1}{5}$，晴天比雨天多占全月的$\frac{1}{3}$，雨天和晴天共占全月的几分之几
B.一批货物，第一次运走$\frac{1}{5}$，第二次运走$\frac{1}{3}$ t，两次共运走多少吨
C.一瓶牛奶，第一次喝了它的$\frac{1}{5}$，第二次喝了它的$\frac{1}{3}$，两次共喝了这瓶牛奶的几分之几
C
)。A.某月雨天占全月的$\frac{1}{5}$，晴天比雨天多占全月的$\frac{1}{3}$，雨天和晴天共占全月的几分之几
B.一批货物，第一次运走$\frac{1}{5}$，第二次运走$\frac{1}{3}$ t，两次共运走多少吨
C.一瓶牛奶，第一次喝了它的$\frac{1}{5}$，第二次喝了它的$\frac{1}{3}$，两次共喝了这瓶牛奶的几分之几
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先要明确：只有当两个分数的单位“1”相同，且都表示占单位“1”的分率时，才能直接相加求和。我们可以逐个分析选项，判断每个选项的问题是否符合$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$的适用场景。
【解析】
我们依次分析三个选项：
1. 选项A：雨天占全月的$\frac{1}{5}$，晴天比雨天多占全月的$\frac{1}{3}$，则晴天占全月的$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$，雨天和晴天共占全月的$\frac{1}{5}+(\frac{1}{5}+\frac{1}{3})$，不符合要求。
2. 选项B：第一次运走的$\frac{1}{5}$是占货物总量的分率，第二次运走的$\frac{1}{3}\mathrm{t}$是具体的重量，二者单位不统一，不能直接相加，不符合要求。
3. 选项C：两次喝的牛奶量都是以整瓶牛奶为单位“1”的分率，求两次共喝了这瓶牛奶的几分之几，就是把两个分率相加，列式为$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
单位“1”的认识、分率与具体量的区分、分数加法的应用
【点评】
本题重点考查对分数两种含义的辨析能力，做题时需先确认分数是表示分率还是具体量，同时确认分率对应的单位“1”是否统一，再判断能否直接列式相加。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：只有当两个分数的单位“1”相同，且都表示占单位“1”的分率时，才能直接相加求和。我们可以逐个分析选项，判断每个选项的问题是否符合$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$的适用场景。
【解析】
我们依次分析三个选项：
1. 选项A：雨天占全月的$\frac{1}{5}$，晴天比雨天多占全月的$\frac{1}{3}$，则晴天占全月的$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$，雨天和晴天共占全月的$\frac{1}{5}+(\frac{1}{5}+\frac{1}{3})$，不符合要求。
2. 选项B：第一次运走的$\frac{1}{5}$是占货物总量的分率，第二次运走的$\frac{1}{3}\mathrm{t}$是具体的重量，二者单位不统一，不能直接相加，不符合要求。
3. 选项C：两次喝的牛奶量都是以整瓶牛奶为单位“1”的分率，求两次共喝了这瓶牛奶的几分之几，就是把两个分率相加，列式为$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
单位“1”的认识、分率与具体量的区分、分数加法的应用
【点评】
本题重点考查对分数两种含义的辨析能力，做题时需先确认分数是表示分率还是具体量，同时确认分率对应的单位“1”是否统一，再判断能否直接列式相加。
【难度系数】
0.7
