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3.红红和丽丽花了同样多的钱买了一本相同的书。红红花了自己总钱数的$\frac{2}{5}$，丽丽花了自己总钱数的$\frac{1}{4}$，两人谁原有的钱多？下面3种表示方法中，正确的是（
A.红红 ■■□□□ 多
■□□□ 少
B.红红 ○○○○○ 少
○○
○○○○ 多
C.红红 ───── 多
───── 少
B
）。A.红红 ■■□□□ 多
■□□□ 少
B.红红 ○○○○○ 少
○○
○○○○ 多C.红红 ───── 多
───── 少
答案
3. B
解析
【分析】
首先抓住题目的核心条件：红红和丽丽花的钱数一样多，也就是红红原有总钱数×$\frac{2}{5}$ = 丽丽原有总钱数×$\frac{1}{4}$。当两个乘法算式的乘积相等时，一个乘数越大，对应的另一个乘数就越小，所以我们先比较$\frac{2}{5}$和$\frac{1}{4}$的大小，就能判断两人原有钱数的多少关系，再对应找正确的图示即可。
【解析】
1. 梳理等量关系：两人买的是相同的书，花的钱数相同，可得：
$\mathrm{红红总钱数} × \frac{2}{5} = \mathrm{丽丽总钱数} × \frac{1}{4}$
2. 比较两个分数的大小：
通分计算得$\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$，$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$，因此$\frac{2}{5}＞\frac{1}{4}$。
3. 推导两人总钱数的关系：
乘积相等的情况下，一个乘数越大，另一个乘数就越小，因此$\mathrm{红红总钱数}＜\mathrm{丽丽总钱数}$，也就是红红原有钱少，丽丽原有钱多。
4. 核对选项：
A标注红红钱多，不符合推导结果，错误；B标注红红钱少、丽丽钱多，且图示中红红总钱数的$\frac{2}{5}$和丽丽总钱数的$\frac{1}{4}$数量相等，符合花的钱相同的条件，正确；C标注红红钱多，不符合推导结果，错误。
【答案】
B
【知识点】
分数大小比较、分数的意义、积与因数的关系
【点评】
解题的关键是抓住“两人花的钱数相同”这一核心等量关系，结合积不变时因数的变化规律判断两人原有钱数的多少，再结合图示验证即可。
【难度系数】
0.7
首先抓住题目的核心条件：红红和丽丽花的钱数一样多，也就是红红原有总钱数×$\frac{2}{5}$ = 丽丽原有总钱数×$\frac{1}{4}$。当两个乘法算式的乘积相等时，一个乘数越大，对应的另一个乘数就越小，所以我们先比较$\frac{2}{5}$和$\frac{1}{4}$的大小，就能判断两人原有钱数的多少关系，再对应找正确的图示即可。
【解析】
1. 梳理等量关系：两人买的是相同的书，花的钱数相同，可得：
$\mathrm{红红总钱数} × \frac{2}{5} = \mathrm{丽丽总钱数} × \frac{1}{4}$
2. 比较两个分数的大小：
通分计算得$\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$，$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$，因此$\frac{2}{5}＞\frac{1}{4}$。
3. 推导两人总钱数的关系：
乘积相等的情况下，一个乘数越大，另一个乘数就越小，因此$\mathrm{红红总钱数}＜\mathrm{丽丽总钱数}$，也就是红红原有钱少，丽丽原有钱多。
4. 核对选项：
A标注红红钱多，不符合推导结果，错误；B标注红红钱少、丽丽钱多，且图示中红红总钱数的$\frac{2}{5}$和丽丽总钱数的$\frac{1}{4}$数量相等，符合花的钱相同的条件，正确；C标注红红钱多，不符合推导结果，错误。
【答案】
B
【知识点】
分数大小比较、分数的意义、积与因数的关系
【点评】
解题的关键是抓住“两人花的钱数相同”这一核心等量关系，结合积不变时因数的变化规律判断两人原有钱数的多少，再结合图示验证即可。
【难度系数】
0.7
4.一根竹竿长4 m，把它插入河里，露在水面上的长度是$\frac{5}{2}$ m，插入淤泥里的长度是$\frac{3}{5}$ m，则河水（不算淤泥部分）深（$\quad$）m。
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{9}{10}$
C.$\frac{19}{10}$
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{9}{10}$
C.$\frac{19}{10}$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先理清数量关系：竹竿的总长度由三部分组成，分别是露出水面的长度、河水深度、插入淤泥的长度，因此河水深度=竹竿总长度-露出水面的长度-插入淤泥的长度。计算异分母分数减法时，先通分化为同分母分数再计算即可。
【解析】
已知竹竿总长4m，露在水面上的长度是$\frac{5}{2}$m，插入淤泥的长度是$\frac{3}{5}$m，代入数量关系计算：
先把各数通分为分母是10的分数：
$4=\frac{40}{10}$，$\frac{5}{2}=\frac{25}{10}$，$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$
则水深为：
$4-\frac{5}{2}-\frac{3}{5}$
$=\frac{40}{10}-\frac{25}{10}-\frac{6}{10}$
$=\frac{40-25-6}{10}$
$=\frac{9}{10}$（m）
【答案】
B
【知识点】
分数减法计算、总量与分量的关系
【点评】
本题结合生活实际测量场景命题，解题核心是准确梳理总量对应的各个分量，计算时需注意异分母分数运算要先通分，考查学生的基础分析能力和分数运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先理清数量关系：竹竿的总长度由三部分组成，分别是露出水面的长度、河水深度、插入淤泥的长度，因此河水深度=竹竿总长度-露出水面的长度-插入淤泥的长度。计算异分母分数减法时，先通分化为同分母分数再计算即可。
【解析】
已知竹竿总长4m，露在水面上的长度是$\frac{5}{2}$m，插入淤泥的长度是$\frac{3}{5}$m，代入数量关系计算：
先把各数通分为分母是10的分数：
$4=\frac{40}{10}$，$\frac{5}{2}=\frac{25}{10}$，$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$
则水深为：
$4-\frac{5}{2}-\frac{3}{5}$
$=\frac{40}{10}-\frac{25}{10}-\frac{6}{10}$
$=\frac{40-25-6}{10}$
$=\frac{9}{10}$（m）
【答案】
B
【知识点】
分数减法计算、总量与分量的关系
【点评】
本题结合生活实际测量场景命题，解题核心是准确梳理总量对应的各个分量，计算时需注意异分母分数运算要先通分，考查学生的基础分析能力和分数运算能力。
【难度系数】
0.8
三、解决问题我最棒
1.某地太阳能发电项目,第一阶段完成了总工程的$\frac{3}{8}$,第二阶段完成了总工程的$\frac{1}{4}$,第三阶段完成了总工程的$\frac{1}{6}$,这三个阶段一共完成了总工程的几分之几？还剩下几分之几没有完成？
1.某地太阳能发电项目,第一阶段完成了总工程的$\frac{3}{8}$,第二阶段完成了总工程的$\frac{1}{4}$,第三阶段完成了总工程的$\frac{1}{6}$,这三个阶段一共完成了总工程的几分之几？还剩下几分之几没有完成？
答案
1. $\frac{3}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{9}{24}+\frac{6}{24}+\frac{4}{24}=\frac{19}{24}$
$1-\frac{19}{24}=\frac{5}{24}$
答:这三个阶段一共完成了总工程的$\frac{19}{24}$,还剩下$\frac{5}{24}$没有完成。
$1-\frac{19}{24}=\frac{5}{24}$
答:这三个阶段一共完成了总工程的$\frac{19}{24}$,还剩下$\frac{5}{24}$没有完成。
解析
【分析】
这道题需要解决两个问题，首先求三个阶段一共完成总工程的占比，其次求剩余未完成的占比。解题思路如下：①三个阶段完成的占比都以总工程为统一的单位“1”，求总和直接将三个阶段的分率相加即可，由于是异分母分数相加，需要先找到分母8、4、6的最小公倍数24，通分为同分母分数后再计算加法。②求剩余未完成的占比时，将总工程看作单位“1”，用单位“1”减去已经完成的总占比，即可得到剩余的占比。
【解析】
首先计算三个阶段一共完成的占比：
$\frac{3}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$
先通分，分母的最小公倍数是24，转化为：
$=\frac{9}{24}+\frac{6}{24}+\frac{4}{24}$
$=\frac{19}{24}$
再计算剩余未完成的占比，将总工程看作单位“1”：
$1-\frac{19}{24}=\frac{5}{24}$
答:这三个阶段一共完成了总工程的$\frac{19}{24}$,还剩下$\frac{5}{24}$没有完成。
【答案】
一共完成了总工程的$\frac{19}{24}$，还剩下$\frac{5}{24}$没有完成。
【知识点】
异分母分数加减法、分数通分、单位“1”的应用
【点评】
这道题是分数加减法的典型基础应用题，解题核心是找准单位“1”，熟练掌握异分母分数先通分再计算的运算规则，侧重考查基础运算能力和简单的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
这道题需要解决两个问题，首先求三个阶段一共完成总工程的占比，其次求剩余未完成的占比。解题思路如下：①三个阶段完成的占比都以总工程为统一的单位“1”，求总和直接将三个阶段的分率相加即可，由于是异分母分数相加，需要先找到分母8、4、6的最小公倍数24，通分为同分母分数后再计算加法。②求剩余未完成的占比时，将总工程看作单位“1”，用单位“1”减去已经完成的总占比，即可得到剩余的占比。
【解析】
首先计算三个阶段一共完成的占比：
$\frac{3}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$
先通分，分母的最小公倍数是24，转化为：
$=\frac{9}{24}+\frac{6}{24}+\frac{4}{24}$
$=\frac{19}{24}$
再计算剩余未完成的占比，将总工程看作单位“1”：
$1-\frac{19}{24}=\frac{5}{24}$
答:这三个阶段一共完成了总工程的$\frac{19}{24}$,还剩下$\frac{5}{24}$没有完成。
【答案】
一共完成了总工程的$\frac{19}{24}$，还剩下$\frac{5}{24}$没有完成。
【知识点】
异分母分数加减法、分数通分、单位“1”的应用
【点评】
这道题是分数加减法的典型基础应用题，解题核心是找准单位“1”，熟练掌握异分母分数先通分再计算的运算规则，侧重考查基础运算能力和简单的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
2.李伯伯家挖了一个长 150 cm、宽 100 cm、深 80 cm 的长方体水池。
(1)现在要用边长是整厘米数的蓝色正方形地砖把这个水池的底面铺满(使用的地砖必须都是整块),蓝色地砖的边长最大是多少厘米? 一共需要多少块这样的蓝色地砖?
(2)往水池里注入 600 L 水,水深大约多少分米?
(1)现在要用边长是整厘米数的蓝色正方形地砖把这个水池的底面铺满(使用的地砖必须都是整块),蓝色地砖的边长最大是多少厘米? 一共需要多少块这样的蓝色地砖?
(2)往水池里注入 600 L 水,水深大约多少分米?
答案
2. (1)$150=2×3×5×5$
$100=2×2×5×5$
150 和 100 的最大公因数是 $2×5×5=50$
$150÷50=3$(块) $100÷50=2$(块)
$3×2=6$(块)
答:蓝色地砖的边长最大是 50 cm,一共需要 6块这样的蓝色地砖。
(2)$150\ \mathrm{cm}=15\ \mathrm{dm}$ $100\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{dm}$
$600\ \mathrm{L}=600\ \mathrm{dm}^3$
$600÷(15×10)=600÷150=4(\mathrm{dm})$
答:水深大约 4 dm。
$100=2×2×5×5$
150 和 100 的最大公因数是 $2×5×5=50$
$150÷50=3$(块) $100÷50=2$(块)
$3×2=6$(块)
答:蓝色地砖的边长最大是 50 cm,一共需要 6块这样的蓝色地砖。
(2)$150\ \mathrm{cm}=15\ \mathrm{dm}$ $100\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{dm}$
$600\ \mathrm{L}=600\ \mathrm{dm}^3$
$600÷(15×10)=600÷150=4(\mathrm{dm})$
答:水深大约 4 dm。
解析
【分析】
(1)要使用整块正方形地砖铺满水池的长方形底面，地砖的边长必须同时是水池底面长和宽的公因数，要求最大边长，就是求150cm和100cm的最大公因数；求出最大边长后，分别用长、宽除以地砖边长，得到长、宽方向各需要的地砖数量，两者相乘就是总地砖数。
(2)注入水池的水可看作长方体，体积为600L，长方体体积公式为“体积=长×宽×高”，已知体积、长、宽，求水深（即水的高度）可以用体积除以水池底面积（长×宽），计算前需要先统一单位，方便后续计算。
【解析】
(1)先分解质因数求150和100的最大公因数：
$150=2×3×5×5$
$100=2×2×5×5$
150和100的最大公因数是$2×5×5=50$，即地砖最大边长为50cm。
长方向需要地砖：$150÷50=3$(块)
宽方向需要地砖：$100÷50=2$(块)
总地砖数：$3×2=6$(块)
(2)先统一单位：
$150\ \mathrm{cm}=15\ \mathrm{dm}$，$100\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{dm}$，$600\ \mathrm{L}=600\ \mathrm{dm}^3$
水深=水的体积÷水池底面积：
$600÷(15×10)=600÷150=4(\mathrm{dm})$
【答案】
(1)蓝色地砖的边长最大是50cm，一共需要6块这样的蓝色地砖。
(2)水深大约4dm。
【知识点】
最大公因数应用、长方体体积计算、单位换算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了最大公因数的实际应用，也考查了长方体体积公式的灵活运用，解题时需注意理清题意对应数量关系，提前统一单位避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1)要使用整块正方形地砖铺满水池的长方形底面，地砖的边长必须同时是水池底面长和宽的公因数，要求最大边长，就是求150cm和100cm的最大公因数；求出最大边长后，分别用长、宽除以地砖边长，得到长、宽方向各需要的地砖数量，两者相乘就是总地砖数。
(2)注入水池的水可看作长方体，体积为600L，长方体体积公式为“体积=长×宽×高”，已知体积、长、宽，求水深（即水的高度）可以用体积除以水池底面积（长×宽），计算前需要先统一单位，方便后续计算。
【解析】
(1)先分解质因数求150和100的最大公因数：
$150=2×3×5×5$
$100=2×2×5×5$
150和100的最大公因数是$2×5×5=50$，即地砖最大边长为50cm。
长方向需要地砖：$150÷50=3$(块)
宽方向需要地砖：$100÷50=2$(块)
总地砖数：$3×2=6$(块)
(2)先统一单位：
$150\ \mathrm{cm}=15\ \mathrm{dm}$，$100\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{dm}$，$600\ \mathrm{L}=600\ \mathrm{dm}^3$
水深=水的体积÷水池底面积：
$600÷(15×10)=600÷150=4(\mathrm{dm})$
【答案】
(1)蓝色地砖的边长最大是50cm，一共需要6块这样的蓝色地砖。
(2)水深大约4dm。
【知识点】
最大公因数应用、长方体体积计算、单位换算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了最大公因数的实际应用，也考查了长方体体积公式的灵活运用，解题时需注意理清题意对应数量关系，提前统一单位避免计算失误。
【难度系数】
0.7
