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一、快乐填一填
1. $13×7=91$，91是13和7的(
1. $13×7=91$，91是13和7的(
倍
)数，13和7是91的(因
)数。答案
1. 倍 因
解析
【分析】
解题时先回忆因数和倍数的定义，当两个非0自然数相乘得到另一个自然数时，积和两个乘数之间就存在倍数和因数的对应关系。我们可以直接把题目里的乘法算式对应到定义中，判断91和13、7的关系即可。
【解析】
根据因数和倍数的含义：如果非0自然数a×非0自然数b=非0自然数c，那么c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数。本题中13和7都是非0自然数，13×7=91，符合上述关系，因此91是13和7的倍数，13和7是91的因数。
【答案】
倍；因
【知识点】
因数与倍数的概念
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，属于对定义的直接应用，明确二者相互依存的对应关系就能正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆因数和倍数的定义，当两个非0自然数相乘得到另一个自然数时，积和两个乘数之间就存在倍数和因数的对应关系。我们可以直接把题目里的乘法算式对应到定义中，判断91和13、7的关系即可。
【解析】
根据因数和倍数的含义：如果非0自然数a×非0自然数b=非0自然数c，那么c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数。本题中13和7都是非0自然数，13×7=91，符合上述关系，因此91是13和7的倍数，13和7是91的因数。
【答案】
倍；因
【知识点】
因数与倍数的概念
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，属于对定义的直接应用，明确二者相互依存的对应关系就能正确作答。
【难度系数】
0.9
2.12 的因数有(
1,2,3,4,6,12
),18 的因数有(1,2,3,6,9,18
),50以内7的倍数有(7,14,21,28,35,42,49
)。答案
2. 1,2,3,4,6,12 1,2,3,6,9,18
7,14,21,28,35,42,49
7,14,21,28,35,42,49
解析
【分析】
找一个数的因数时，我们可以用列乘法算式的方法，从1开始依次找哪两个整数相乘的积等于这个数，这两个整数就是该数的因数，按从小到大顺序排列即可，注意不要重复和遗漏；找指定范围内一个数的倍数时，用这个数依次乘1、2、3……，所得的积在指定范围内的就是符合要求的倍数。
【解析】
1. 求12的因数：
依次列乘法算式：$1×12=12$，$2×6=12$，$3×4=12$，因此12的因数按从小到大排列为1,2,3,4,6,12。
2. 求18的因数：
依次列乘法算式：$1×18=18$，$2×9=18$，$3×6=18$，因此18的因数按从小到大排列为1,2,3,6,9,18。
3. 求50以内7的倍数：
用7依次乘正整数：$7×1=7$，$7×2=14$，$7×3=21$，$7×4=28$，$7×5=35$，$7×6=42$，$7×7=49$，$7×8=56＞50$不符合要求，因此50以内7的倍数为7,14,21,28,35,42,49。
【答案】
1,2,3,4,6,12；1,2,3,6,9,18；7,14,21,28,35,42,49
【知识点】
求一个数的因数、求一个数的倍数、倍数的范围判定
【点评】
本题是因数与倍数相关的基础题型，主要考察因数和倍数的求取方法，解题时要注意找因数需成对列举避免遗漏，找倍数要严格符合题目给定的数值范围。
【难度系数】
0.85
找一个数的因数时，我们可以用列乘法算式的方法，从1开始依次找哪两个整数相乘的积等于这个数，这两个整数就是该数的因数，按从小到大顺序排列即可，注意不要重复和遗漏；找指定范围内一个数的倍数时，用这个数依次乘1、2、3……，所得的积在指定范围内的就是符合要求的倍数。
【解析】
1. 求12的因数：
依次列乘法算式：$1×12=12$，$2×6=12$，$3×4=12$，因此12的因数按从小到大排列为1,2,3,4,6,12。
2. 求18的因数：
依次列乘法算式：$1×18=18$，$2×9=18$，$3×6=18$，因此18的因数按从小到大排列为1,2,3,6,9,18。
3. 求50以内7的倍数：
用7依次乘正整数：$7×1=7$，$7×2=14$，$7×3=21$，$7×4=28$，$7×5=35$，$7×6=42$，$7×7=49$，$7×8=56＞50$不符合要求，因此50以内7的倍数为7,14,21,28,35,42,49。
【答案】
1,2,3,4,6,12；1,2,3,6,9,18；7,14,21,28,35,42,49
【知识点】
求一个数的因数、求一个数的倍数、倍数的范围判定
【点评】
本题是因数与倍数相关的基础题型，主要考察因数和倍数的求取方法，解题时要注意找因数需成对列举避免遗漏，找倍数要严格符合题目给定的数值范围。
【难度系数】
0.85
3.在下面的□里填上一个数字，使这个数既是3的倍数，又是5的倍数。
16□ □75 □0 3□
16□ □75 □0 3□
答案
3. 5 3或6或9 3或6或9 0
解析
【分析】
要使数同时是3和5的倍数，需同时满足两个特征：1. 个位上的数字是0或5（5的倍数特征）；2. 各个数位上数字的和是3的倍数（3的倍数特征）。解题时先根据5的倍数特征确定可选的数字范围，再代入验证是否满足3的倍数特征即可，注意数的最高位不能为0。
逐个分析每个数：
1. 16□：先确定个位只能是0或5，分别计算两种情况的数位和，判断是否为3的倍数，选出符合的数字；
2. □75：个位已经是5，满足5的倍数要求，只需计算首位加7加5的和是3的倍数即可，首位不能为0；
3. □0：个位是0，满足5的倍数要求，只需首位是3的倍数且不为0即可；
4. 3□：先确定个位只能是0或5，分别计算数位和验证是否为3的倍数，选出符合的数字。
【解析】
同时是3和5的倍数的数需满足：个位为0或5，且各数位数字之和是3的倍数。
1. 求解16□：
若填0：1+6+0=7，7不是3的倍数，不符合；
若填5：1+6+5=12，12是3的倍数，符合要求，所以填5。
2. 求解□75：
个位是5，已满足5的倍数要求，设所填数字为a，则a+7+5=a+12，12是3的倍数，因此a为3的倍数即可，又因为a是最高位不能为0，所以a可以是3、6、9。
3. 求解□0：
个位是0，已满足5的倍数要求，所填数字是最高位不能为0，且需是3的倍数，所以可以填3、6、9。
4. 求解3□：
若填0：3+0=3，3是3的倍数，符合要求；
若填5：3+5=8，8不是3的倍数，不符合，所以填0。
【答案】
5；3或6或9；3或6或9；0
【知识点】
3的倍数特征；5的倍数特征
【点评】
本题考查3和5倍数特征的综合运用，解题时先利用5的倍数特征缩小可选范围，再结合3的倍数特征验证，同时要注意数的最高位不能为0的隐含规则，避免出现错误答案。
【难度系数】
0.7
要使数同时是3和5的倍数，需同时满足两个特征：1. 个位上的数字是0或5（5的倍数特征）；2. 各个数位上数字的和是3的倍数（3的倍数特征）。解题时先根据5的倍数特征确定可选的数字范围，再代入验证是否满足3的倍数特征即可，注意数的最高位不能为0。
逐个分析每个数：
1. 16□：先确定个位只能是0或5，分别计算两种情况的数位和，判断是否为3的倍数，选出符合的数字；
2. □75：个位已经是5，满足5的倍数要求，只需计算首位加7加5的和是3的倍数即可，首位不能为0；
3. □0：个位是0，满足5的倍数要求，只需首位是3的倍数且不为0即可；
4. 3□：先确定个位只能是0或5，分别计算数位和验证是否为3的倍数，选出符合的数字。
【解析】
同时是3和5的倍数的数需满足：个位为0或5，且各数位数字之和是3的倍数。
1. 求解16□：
若填0：1+6+0=7，7不是3的倍数，不符合；
若填5：1+6+5=12，12是3的倍数，符合要求，所以填5。
2. 求解□75：
个位是5，已满足5的倍数要求，设所填数字为a，则a+7+5=a+12，12是3的倍数，因此a为3的倍数即可，又因为a是最高位不能为0，所以a可以是3、6、9。
3. 求解□0：
个位是0，已满足5的倍数要求，所填数字是最高位不能为0，且需是3的倍数，所以可以填3、6、9。
4. 求解3□：
若填0：3+0=3，3是3的倍数，符合要求；
若填5：3+5=8，8不是3的倍数，不符合，所以填0。
【答案】
5；3或6或9；3或6或9；0
【知识点】
3的倍数特征；5的倍数特征
【点评】
本题考查3和5倍数特征的综合运用，解题时先利用5的倍数特征缩小可选范围，再结合3的倍数特征验证，同时要注意数的最高位不能为0的隐含规则，避免出现错误答案。
【难度系数】
0.7
4.有一个三位数，它同时是2和3的倍数，而且三个数位上的数字都是不同的质数，这个三位数是(
732
)或(372
)。答案
4. 732 372
解析
【分析】
解题时可以按以下思路推导：①先明确一位数中的所有质数，因为三位数的每个数位都是一位的不同质数；②结合2的倍数的特征（个位是偶数），确定个位只能是唯一的偶质数2，缩小选择范围；③再根据3的倍数的特征（各数位数字之和是3的倍数），从剩余的质数中选出两个数，和2相加的和是3的倍数；④最后将选出的两个数与2组合成数字不重复的三位数即可。
【解析】
步骤1：列出一位数的所有质数：2、3、5、7。
步骤2：根据2的倍数特征，这个三位数的个位必须是偶数，质数中只有2是偶数，因此确定个位数字是2。
步骤3：根据3的倍数特征，需从剩下的质数3、5、7中选两个不同的数，与2相加的和是3的倍数：
选3和5：3+5+2=10，10不是3的倍数，不符合要求；
选3和7：3+7+2=12，12是3的倍数，符合要求；
选5和7：5+7+2=14，14不是3的倍数，不符合要求。
步骤4：将3和7分别放在百位和十位，和个位的2组成数字不重复的三位数，得到372和732。
【答案】
732；372
【知识点】
质数的认识；2的倍数特征；3的倍数特征
【点评】
本题属于数的认识类综合题，解题的突破口是先通过2的倍数特征锁定个位数字，再结合3的倍数特征筛选出符合要求的其余数位数字，能有效考查学生对基础概念的掌握程度和逻辑筛选能力。
【难度系数】
0.7
解题时可以按以下思路推导：①先明确一位数中的所有质数，因为三位数的每个数位都是一位的不同质数；②结合2的倍数的特征（个位是偶数），确定个位只能是唯一的偶质数2，缩小选择范围；③再根据3的倍数的特征（各数位数字之和是3的倍数），从剩余的质数中选出两个数，和2相加的和是3的倍数；④最后将选出的两个数与2组合成数字不重复的三位数即可。
【解析】
步骤1：列出一位数的所有质数：2、3、5、7。
步骤2：根据2的倍数特征，这个三位数的个位必须是偶数，质数中只有2是偶数，因此确定个位数字是2。
步骤3：根据3的倍数特征，需从剩下的质数3、5、7中选两个不同的数，与2相加的和是3的倍数：
选3和5：3+5+2=10，10不是3的倍数，不符合要求；
选3和7：3+7+2=12，12是3的倍数，符合要求；
选5和7：5+7+2=14，14不是3的倍数，不符合要求。
步骤4：将3和7分别放在百位和十位，和个位的2组成数字不重复的三位数，得到372和732。
【答案】
732；372
【知识点】
质数的认识；2的倍数特征；3的倍数特征
【点评】
本题属于数的认识类综合题，解题的突破口是先通过2的倍数特征锁定个位数字，再结合3的倍数特征筛选出符合要求的其余数位数字，能有效考查学生对基础概念的掌握程度和逻辑筛选能力。
【难度系数】
0.7
5. 有两个质数，它们的和是18，积是77，它们的差是（
4
）。答案
5. 4
解析
【分析】
解题时首先要明确质数的定义：只有1和它本身两个正因数的自然数。题目给出了两个质数的和与积，我们可以优先从积77入手找因数组合，因数组合的数量比和的质数组合更少，筛选效率更高，找到符合和为18、且两个数均为质数的组合后，计算两数的差即可得到答案。
【解析】
1. 先找出乘积为77的所有整数对：
77的因数有1、7、11、77，因此乘积为77的整数对为(1,77)、(7,11)。
2. 筛选和为18的组合：
计算两组数的和：1+77=78，不符合和为18的条件；7+11=18，符合要求。
3. 验证质数属性：7的因数只有1和7，11的因数只有1和11，二者均为质数，符合题意。
4. 计算两数的差：11-7=4。
【答案】
4
【知识点】
质数的概念、分解因数、整数加减法
【点评】
本题属于基础应用题，核心考察对质数概念的掌握，解题时优先从乘积的因数组合进行筛选，比从和的组合逐一排查效率更高，熟练掌握质数的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确质数的定义：只有1和它本身两个正因数的自然数。题目给出了两个质数的和与积，我们可以优先从积77入手找因数组合，因数组合的数量比和的质数组合更少，筛选效率更高，找到符合和为18、且两个数均为质数的组合后，计算两数的差即可得到答案。
【解析】
1. 先找出乘积为77的所有整数对：
77的因数有1、7、11、77，因此乘积为77的整数对为(1,77)、(7,11)。
2. 筛选和为18的组合：
计算两组数的和：1+77=78，不符合和为18的条件；7+11=18，符合要求。
3. 验证质数属性：7的因数只有1和7，11的因数只有1和11，二者均为质数，符合题意。
4. 计算两数的差：11-7=4。
【答案】
4
【知识点】
质数的概念、分解因数、整数加减法
【点评】
本题属于基础应用题，核心考察对质数概念的掌握，解题时优先从乘积的因数组合进行筛选，比从和的组合逐一排查效率更高，熟练掌握质数的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
二、我是小法官(对的画“√”,错的画“×”)
1. 自然数可以分为质数和合数两大类。 （
2. 如果一个数是6的倍数,那么它一定是3的倍数。 （
3. 由2,4和6组成的所有三位数一定都是3的倍数。 （
4. 所有的质数都是奇数,所有的合数都是偶数。 （
5. 10以内3的倍数只有6和9。 （
6. 15的因数有4个,其中3和5是质数,其他都是合数。 （
1. 自然数可以分为质数和合数两大类。 （
×
）2. 如果一个数是6的倍数,那么它一定是3的倍数。 （
√
）3. 由2,4和6组成的所有三位数一定都是3的倍数。 （
√
）4. 所有的质数都是奇数,所有的合数都是偶数。 （
×
）5. 10以内3的倍数只有6和9。 （
×
）6. 15的因数有4个,其中3和5是质数,其他都是合数。 （
×
）答案
1. × 2. √ 3. √ 4. × 5. × 6. ×
解析
【分析】
做这类概念判断题的核心是牢固掌握数的分类、因数倍数、质数合数、3的倍数特征等基础定义，遇到绝对化表述可通过举反例验证，若存在不符合表述的反例则说法错误，完全符合定义则说法正确，我们逐一分析每道小题。
【解析】
1. 自然数包括0、1、质数、合数，其中1既不是质数也不是合数，0也不属于质数或合数，因此自然数不能仅分为质数和合数两类，说法错误。
2. 因为6=2×3，6本身是3的倍数，所以所有6的倍数都能被3整除，一定是3的倍数，说法正确。
3. 3的倍数的特征是各位上的数字之和是3的倍数，2+4+6=12，12是3的倍数，因此无论这三个数字怎么组成三位数，数字和始终是12，都满足3的倍数的要求，说法正确。
4. 举反例：2是质数，但2是偶数；9是合数，但9是奇数，因此“所有质数都是奇数、所有合数都是偶数”的说法错误。
5. 10以内3的倍数有3、6、9，不只有6和9，说法错误。
6. 15的因数有1、3、5、15共4个，其中1既不是质数也不是合数，因此“其他都是合数”的表述错误。
【答案】
1. × 2. √ 3. √ 4. × 5. × 6. ×
【知识点】
质数与合数的概念，因数与倍数的特征，3的倍数判定
【点评】
本题侧重考查数的相关基础概念的辨析，需注意记忆概念的特殊情况（比如1既不是质数也不是合数、2是唯一的偶质数等），避免因忽略特殊值判断失误。
【难度系数】
0.8
做这类概念判断题的核心是牢固掌握数的分类、因数倍数、质数合数、3的倍数特征等基础定义，遇到绝对化表述可通过举反例验证，若存在不符合表述的反例则说法错误，完全符合定义则说法正确，我们逐一分析每道小题。
【解析】
1. 自然数包括0、1、质数、合数，其中1既不是质数也不是合数，0也不属于质数或合数，因此自然数不能仅分为质数和合数两类，说法错误。
2. 因为6=2×3，6本身是3的倍数，所以所有6的倍数都能被3整除，一定是3的倍数，说法正确。
3. 3的倍数的特征是各位上的数字之和是3的倍数，2+4+6=12，12是3的倍数，因此无论这三个数字怎么组成三位数，数字和始终是12，都满足3的倍数的要求，说法正确。
4. 举反例：2是质数，但2是偶数；9是合数，但9是奇数，因此“所有质数都是奇数、所有合数都是偶数”的说法错误。
5. 10以内3的倍数有3、6、9，不只有6和9，说法错误。
6. 15的因数有1、3、5、15共4个，其中1既不是质数也不是合数，因此“其他都是合数”的表述错误。
【答案】
1. × 2. √ 3. √ 4. × 5. × 6. ×
【知识点】
质数与合数的概念，因数与倍数的特征，3的倍数判定
【点评】
本题侧重考查数的相关基础概念的辨析，需注意记忆概念的特殊情况（比如1既不是质数也不是合数、2是唯一的偶质数等），避免因忽略特殊值判断失误。
【难度系数】
0.8
三、分一分，在圈里填上适当的数
6的倍数
84的因数
6的倍数
84的因数
答案
6的倍数:6,12,18,30,24,84,36
84的因数:1,2,3,4,6,7,28,12,84
84的因数:1,2,3,4,6,7,28,12,84
解析
【分析】
解题时首先回忆因数和倍数的定义：①如果整数a能被整数b整除（b≠0），那么a就是b的倍数；②如果整数b能整除整数a（b≠0），那么b就是a的因数。解题步骤如下：第一步，先判断哪些数能被6整除，这些数就是6的倍数；第二步，再判断哪些数能整除84，这些数就是84的因数；第三步，检查是否存在既是6的倍数又是84的因数的数，这类数两个圈里都要填写，不要遗漏。
【解析】
1. 找6的倍数：用候选数分别除以6，商为整数且没有余数的就是6的倍数：
6÷6=1，12÷6=2，18÷6=3，24÷6=4，30÷6=5，36÷6=6，84÷6=14，以上计算均无余数，所以这些数是6的倍数。
2. 找84的因数：用84分别除以候选数，商为整数且没有余数的，这个除数就是84的因数：
84÷1=84，84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，84÷6=14，84÷7=12，84÷12=7，84÷28=3，84÷84=1，以上计算均无余数，所以这些除数是84的因数。
其中6、12、84同时满足两个条件，两个集合圈中都要填写。
【答案】
6的倍数:6,12,18,30,24,84,36
84的因数:1,2,3,4,6,7,28,12,84
【知识点】
倍数的概念、因数的概念、整除的判定
【点评】
本题重点考查因数和倍数相关概念的实际应用，解题关键是熟练掌握因数和倍数的判断方法，注意不要漏填同时符合两类要求的数。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆因数和倍数的定义：①如果整数a能被整数b整除（b≠0），那么a就是b的倍数；②如果整数b能整除整数a（b≠0），那么b就是a的因数。解题步骤如下：第一步，先判断哪些数能被6整除，这些数就是6的倍数；第二步，再判断哪些数能整除84，这些数就是84的因数；第三步，检查是否存在既是6的倍数又是84的因数的数，这类数两个圈里都要填写，不要遗漏。
【解析】
1. 找6的倍数：用候选数分别除以6，商为整数且没有余数的就是6的倍数：
6÷6=1，12÷6=2，18÷6=3，24÷6=4，30÷6=5，36÷6=6，84÷6=14，以上计算均无余数，所以这些数是6的倍数。
2. 找84的因数：用84分别除以候选数，商为整数且没有余数的，这个除数就是84的因数：
84÷1=84，84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，84÷6=14，84÷7=12，84÷12=7，84÷28=3，84÷84=1，以上计算均无余数，所以这些除数是84的因数。
其中6、12、84同时满足两个条件，两个集合圈中都要填写。
【答案】
6的倍数:6,12,18,30,24,84,36
84的因数:1,2,3,4,6,7,28,12,84
【知识点】
倍数的概念、因数的概念、整除的判定
【点评】
本题重点考查因数和倍数相关概念的实际应用，解题关键是熟练掌握因数和倍数的判断方法，注意不要漏填同时符合两类要求的数。
【难度系数】
0.8
