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1. (2025·云南)某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意，下列方程正确的是 (
A.$6000(1+x)^2=6200$
B.$6000(1-x)^2=6200$
C.$6000(1+2x)=6200$
D.$6000x^2=6200$
A
)A.$6000(1+x)^2=6200$
B.$6000(1-x)^2=6200$
C.$6000(1+2x)=6200$
D.$6000x^2=6200$
答案
1. A
解析
【分析】
本题为平均增长率的实际应用类题目，解题思路如下：首先明确初始量是3月份的盈利6000元，每月盈利的平均增长率为x，每经过1个月，盈利额为上月的(1+x)倍；再确定增长次数，3月到5月间隔2个月，即盈利共增长2次，因此5月盈利额=初始量×(1+x)的平方，最后结合5月盈利6200元的条件列方程，即可匹配正确选项。
【解析】
设该书店每月盈利的平均增长率为x：
1. 4月份盈利为3月份盈利乘以(1+x)，即$6000(1+x)$元；
2. 5月份盈利为4月份盈利乘以(1+x)，即$6000(1+x)×(1+x)=6000(1+x)^2$元；
3. 已知5月份盈利为6200元，据此列方程得：$6000(1+x)^2=6200$。
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率计算、一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的增长率类基础题，解题关键是熟练掌握平均增长率的数量模型，注意增长次数与时间间隔的对应关系，避免误将两次增长的总增长率当成2x，误选错误选项。
【难度系数】
0.85
本题为平均增长率的实际应用类题目，解题思路如下：首先明确初始量是3月份的盈利6000元，每月盈利的平均增长率为x，每经过1个月，盈利额为上月的(1+x)倍；再确定增长次数，3月到5月间隔2个月，即盈利共增长2次，因此5月盈利额=初始量×(1+x)的平方，最后结合5月盈利6200元的条件列方程，即可匹配正确选项。
【解析】
设该书店每月盈利的平均增长率为x：
1. 4月份盈利为3月份盈利乘以(1+x)，即$6000(1+x)$元；
2. 5月份盈利为4月份盈利乘以(1+x)，即$6000(1+x)×(1+x)=6000(1+x)^2$元；
3. 已知5月份盈利为6200元，据此列方程得：$6000(1+x)^2=6200$。
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率计算、一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的增长率类基础题，解题关键是熟练掌握平均增长率的数量模型，注意增长次数与时间间隔的对应关系，避免误将两次增长的总增长率当成2x，误选错误选项。
【难度系数】
0.85
2. (2025·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”其大意是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?设这个矩形的宽为x步,根据题意可列方程为 (
A.$ x(60 - x)=864 $
B.$ x(x - 60)=864 $
C.$ x(60 + x)=864 $
D.$ 2[x + (x + 60)]=864 $
A
)A.$ x(60 - x)=864 $
B.$ x(x - 60)=864 $
C.$ x(60 + x)=864 $
D.$ 2[x + (x + 60)]=864 $
答案
2. A
解析
【分析】
这是一道结合古代数学文化的列方程题，解题核心是先明确题目中的等量关系，再用含未知数的代数式表示对应量，最后代入等量关系得到方程。首先我们要抓住两个关键条件：一是长与宽的和为60步，二是矩形面积为864平方步；已知设宽为x步，先根据长宽和表示出长，再结合矩形面积公式（长×宽=面积）即可列出方程，匹配对应选项。
【解析】
解：设矩形的宽为$ x $步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$ (60-x) $步，
∵ 矩形面积=长×宽，且已知矩形面积为864平方步，
∴ 代入等量关系可得方程：$ x(60-x)=864 $，对应选项A。
补充：其余选项错误原因：B选项中$ x-60 $为负数，不符合长度实际意义；C选项错将长写为$ 60+x $，不符合长宽和为60的条件；D选项为矩形周长公式，与题目给出的面积条件不符，故均错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、列代数式
【点评】
本题以我国古代数学典籍记载为背景，考查学生从实际问题中提取等量关系、列方程的能力，侧重对基础公式和数量关系分析能力的考查，兼具知识性和文化传播意义。
【难度系数】
0.8
这是一道结合古代数学文化的列方程题，解题核心是先明确题目中的等量关系，再用含未知数的代数式表示对应量，最后代入等量关系得到方程。首先我们要抓住两个关键条件：一是长与宽的和为60步，二是矩形面积为864平方步；已知设宽为x步，先根据长宽和表示出长，再结合矩形面积公式（长×宽=面积）即可列出方程，匹配对应选项。
【解析】
解：设矩形的宽为$ x $步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$ (60-x) $步，
∵ 矩形面积=长×宽，且已知矩形面积为864平方步，
∴ 代入等量关系可得方程：$ x(60-x)=864 $，对应选项A。
补充：其余选项错误原因：B选项中$ x-60 $为负数，不符合长度实际意义；C选项错将长写为$ 60+x $，不符合长宽和为60的条件；D选项为矩形周长公式，与题目给出的面积条件不符，故均错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、列代数式
【点评】
本题以我国古代数学典籍记载为背景，考查学生从实际问题中提取等量关系、列方程的能力，侧重对基础公式和数量关系分析能力的考查，兼具知识性和文化传播意义。
【难度系数】
0.8
3. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用18 m的篱笆围成. 生态园的面积能否为40 m²？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由.
答案
3. 生态园的面积能为40 m²,理由如下:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB=CD,AD=BC,设AB的长度为x m,则BC的长度为$\frac{18-x}{2}$ m,由题意得:$x · \frac{18-x}{2}=40$,整理得:$x^2-18x+80=0$,解得:$x_1=10,x_2=8$,
∴ 生态园的面积能为40 m²,AB的长为10 m或8 m.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB=CD,AD=BC,设AB的长度为x m,则BC的长度为$\frac{18-x}{2}$ m,由题意得:$x · \frac{18-x}{2}=40$,整理得:$x^2-18x+80=0$,解得:$x_1=10,x_2=8$,
∴ 生态园的面积能为40 m²,AB的长为10 m或8 m.
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步先明确篱笆的覆盖范围：由图可知AB边靠墙无需围篱笆，18m的篱笆对应AD、DC、BC三条边；第二步利用矩形对边相等的性质，设AB的长度为x m，可得DC=AB=x m，AD与BC长度相等，因此AD=BC=$\frac{18-x}{2}$ m；第三步根据矩形面积公式列出关于x的方程，若方程有符合实际的正实数解，说明面积可以达到40 m²，求解即可得到AB的长度。
【解析】
解：生态园的面积能为40 m²，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，AD=BC。
设AB的长度为x m，则BC的长度为$\frac{18-x}{2}$ m，由题意得：
$x · \frac{18-x}{2}=40$
整理得：$x^2-18x+80=0$
因式分解得$(x-10)(x-8)=0$，解得：$x_1=10$，$x_2=8$
两个解均为正数，且墙足够长，均符合实际要求。
【答案】
生态园的面积能为40 m²，AB的长为10 m或8 m。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于常规的方程实际应用题，解题关键是结合图形理清篱笆对应的边长，正确用未知数表示矩形的邻边长度，再根据面积等量关系列方程求解，最后要注意验证方程的解是否符合实际情景。
【难度系数】
0.7
这是一道结合实际场景的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步先明确篱笆的覆盖范围：由图可知AB边靠墙无需围篱笆，18m的篱笆对应AD、DC、BC三条边；第二步利用矩形对边相等的性质，设AB的长度为x m，可得DC=AB=x m，AD与BC长度相等，因此AD=BC=$\frac{18-x}{2}$ m；第三步根据矩形面积公式列出关于x的方程，若方程有符合实际的正实数解，说明面积可以达到40 m²，求解即可得到AB的长度。
【解析】
解：生态园的面积能为40 m²，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，AD=BC。
设AB的长度为x m，则BC的长度为$\frac{18-x}{2}$ m，由题意得：
$x · \frac{18-x}{2}=40$
整理得：$x^2-18x+80=0$
因式分解得$(x-10)(x-8)=0$，解得：$x_1=10$，$x_2=8$
两个解均为正数，且墙足够长，均符合实际要求。
【答案】
生态园的面积能为40 m²，AB的长为10 m或8 m。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于常规的方程实际应用题，解题关键是结合图形理清篱笆对应的边长，正确用未知数表示矩形的邻边长度，再根据面积等量关系列方程求解，最后要注意验证方程的解是否符合实际情景。
【难度系数】
0.7
4. 直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在某平台上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售量增加10件.
(1) 若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元?
(2) 小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?
(1) 若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元?
(2) 小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?
答案
4. (1) 设售价应定为x元,则每件的利润为(x-40)元,日销售量为$20+\frac{10(60-x)}{5}=(140-2x)$件,依题意,得:$(x-40)(140-2x)=(60-40)×20$,整理,得:$x^2-110x+3000=0$,解得:$x_1=50,x_2=60$(舍去) 答:售价应定为50元；
(2) 该商品需要打a折销售,由题意,得,$62.5×\frac{a}{10} ≤ 50$,解得:$a ≤ 8$,答:该商品至少需打8折销售
(2) 该商品需要打a折销售,由题意,得,$62.5×\frac{a}{10} ≤ 50$,解得:$a ≤ 8$,答:该商品至少需打8折销售
解析
【分析】
(1) 第一问解题核心是抓住“日利润保持不变”的等量关系，总利润=单件利润×日销售量。首先计算原售价下的日总利润，再设降价后每件售价为x元，分别表示出单件利润和调整后的日销售量，根据总利润相等列一元二次方程求解，再结合“尽快销售完商品”的要求（售价越低，销售量越高），舍去不符合要求的解即可。
(2) 第二问解题核心是抓住“销售价格不超过(1)中的售价”的不等关系，打a折后的售价=标价×$\frac{a}{10}$，据此列一元一次不等式求解即可得到最低折扣。
【解析】
(1) 设每件售价应定为x元，则每件的利润为$(x-40)$元。
售价从60元降到x元，降低了$(60-x)$元，因此日销售量增加$\frac{10(60-x)}{5}$件，即日销售量为$20+\frac{10(60-x)}{5}=140-2x$件。
原售价下的日利润为$(60-40)×20=400$元，根据日利润保持不变列方程：
$(x-40)(140-2x)=400$
整理得：$x^2-110x+3000=0$
解得：$x_1=50$，$x_2=60$。
因为商家要尽快销售完商品，售价越低销售量越高，因此舍去$x=60$，即售价定为50元。
(2) 设该商品需要打a折销售，根据打折后售价不超过50元列不等式：
$62.5×\frac{a}{10} ≤ 50$
解得：$a ≤ 8$，即该商品至少需打8折销售。
【答案】
(1) 每件售价应定为50元；
(2) 该商品至少需打8折销售。
【知识点】
一元二次方程应用、一元一次不等式应用、销售利润计算
【点评】
本题结合直播购物的生活热点，考查数学知识在实际销售场景的应用，解题关键是准确找到题目中的等量关系和不等关系，同时要注意结合实际需求对解进行合理取舍，能有效考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问解题核心是抓住“日利润保持不变”的等量关系，总利润=单件利润×日销售量。首先计算原售价下的日总利润，再设降价后每件售价为x元，分别表示出单件利润和调整后的日销售量，根据总利润相等列一元二次方程求解，再结合“尽快销售完商品”的要求（售价越低，销售量越高），舍去不符合要求的解即可。
(2) 第二问解题核心是抓住“销售价格不超过(1)中的售价”的不等关系，打a折后的售价=标价×$\frac{a}{10}$，据此列一元一次不等式求解即可得到最低折扣。
【解析】
(1) 设每件售价应定为x元，则每件的利润为$(x-40)$元。
售价从60元降到x元，降低了$(60-x)$元，因此日销售量增加$\frac{10(60-x)}{5}$件，即日销售量为$20+\frac{10(60-x)}{5}=140-2x$件。
原售价下的日利润为$(60-40)×20=400$元，根据日利润保持不变列方程：
$(x-40)(140-2x)=400$
整理得：$x^2-110x+3000=0$
解得：$x_1=50$，$x_2=60$。
因为商家要尽快销售完商品，售价越低销售量越高，因此舍去$x=60$，即售价定为50元。
(2) 设该商品需要打a折销售，根据打折后售价不超过50元列不等式：
$62.5×\frac{a}{10} ≤ 50$
解得：$a ≤ 8$，即该商品至少需打8折销售。
【答案】
(1) 每件售价应定为50元；
(2) 该商品至少需打8折销售。
【知识点】
一元二次方程应用、一元一次不等式应用、销售利润计算
【点评】
本题结合直播购物的生活热点，考查数学知识在实际销售场景的应用，解题关键是准确找到题目中的等量关系和不等关系，同时要注意结合实际需求对解进行合理取舍，能有效考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
