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1.两条直线(不重合)之间的距离都相等，这两条直线一定 （
A.相等
B.互相平行
C.互相垂直
D.相交
B
）A.相等
B.互相平行
C.互相垂直
D.相交
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先抓题干关键信息：两条不重合直线、距离都相等。第一步先判断明显错误的选项：直线是向两端无限延伸的，没有长度，不可能相等，直接排除A。接下来回忆同一平面内不重合直线的位置关系只有平行和相交两类：相交（包括垂直这种特殊相交）的两条直线，不同位置的垂线段长度不同，也就是距离不相等，排除C、D；再结合平行线的性质，平行线之间的距离处处相等，即可锁定正确答案。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 选项A：直线向两端无限延伸，没有固定长度，不存在“两条直线相等”的说法，排除A；
2. 同一平面内不重合的两条直线只有平行、相交两种位置关系：
选项D相交、选项C互相垂直（属于相交的特殊情况）：相交的两条直线，不同位置处的垂线段长度不一致，即距离不相等，不符合题干要求，排除C、D；
选项B互相平行：根据平行线的性质，两条平行线之间的距离处处相等，符合题干条件。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；直线的特征；两直线的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分不同位置关系下两条直线的特征，易错点是容易混淆直线和线段的概念，忽略直线无限长的特点，只要熟练掌握相关基础概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先抓题干关键信息：两条不重合直线、距离都相等。第一步先判断明显错误的选项：直线是向两端无限延伸的，没有长度，不可能相等，直接排除A。接下来回忆同一平面内不重合直线的位置关系只有平行和相交两类：相交（包括垂直这种特殊相交）的两条直线，不同位置的垂线段长度不同，也就是距离不相等，排除C、D；再结合平行线的性质，平行线之间的距离处处相等，即可锁定正确答案。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 选项A：直线向两端无限延伸，没有固定长度，不存在“两条直线相等”的说法，排除A；
2. 同一平面内不重合的两条直线只有平行、相交两种位置关系：
选项D相交、选项C互相垂直（属于相交的特殊情况）：相交的两条直线，不同位置处的垂线段长度不一致，即距离不相等，不符合题干要求，排除C、D；
选项B互相平行：根据平行线的性质，两条平行线之间的距离处处相等，符合题干条件。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；直线的特征；两直线的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分不同位置关系下两条直线的特征，易错点是容易混淆直线和线段的概念，忽略直线无限长的特点，只要熟练掌握相关基础概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 在$□ ABCD$中，$∠ A:∠ B=7:2$，则$∠ C$，$∠ D$的度数分别是 （
A.$70°,20°$
B.$280°,80°$
C.$40°,140°$
D.$140°,40°$
D
）A.$70°,20°$
B.$280°,80°$
C.$40°,140°$
D.$140°,40°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形角的相关性质：①平行四边形的邻角互补；②平行四边形的对角相等。已知∠A和∠B是平行四边形的一组邻角，度数比为7:2，首先可根据邻角互补求出∠A、∠B的具体度数，再结合对角相等的性质，就能得出∠C、∠D的度数，选出正确选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C，∠B=∠D，且AD//BC
∴∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补，即平行四边形邻角互补）
已知∠A:∠B=7:2，设∠A=7x，∠B=2x，代入得：
$7x + 2x = 180°$
$9x = 180°$
解得$x=20°$
∴$∠ A=7×20°=140°$，$∠ B=2×20°=40°$
∴$∠ C=∠ A=140°$，$∠ D=∠ B=40°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行四边形角的性质的应用，熟练掌握平行四边形角的相关性质即可快速求解，是平行四边形性质的常规考查题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平行四边形角的相关性质：①平行四边形的邻角互补；②平行四边形的对角相等。已知∠A和∠B是平行四边形的一组邻角，度数比为7:2，首先可根据邻角互补求出∠A、∠B的具体度数，再结合对角相等的性质，就能得出∠C、∠D的度数，选出正确选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C，∠B=∠D，且AD//BC
∴∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补，即平行四边形邻角互补）
已知∠A:∠B=7:2，设∠A=7x，∠B=2x，代入得：
$7x + 2x = 180°$
$9x = 180°$
解得$x=20°$
∴$∠ A=7×20°=140°$，$∠ B=2×20°=40°$
∴$∠ C=∠ A=140°$，$∠ D=∠ B=40°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行四边形角的性质的应用，熟练掌握平行四边形角的相关性质即可快速求解，是平行四边形性质的常规考查题。
【难度系数】
0.8
3.以三角形的三个顶点为其中的三个顶点作形状不同的平行四边形，共可作 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
解析
【分析】
解题时可先假设三角形的三个顶点为A、B、C，根据平行四边形“两组对边分别平行”的判定定理，我们可以分类讨论构造方案：每次选取三角形的一组邻边作为平行四边形的邻边，分别过这组邻边不共有的顶点作两条邻边的平行线，两条平行线的交点就是平行四边形的第四个顶点。三角形共有3组不同的邻边，对应3种不同的构造结果，且所得平行四边形形状均不相同。
【解析】
设三角形的三个顶点分别为A、B、C：
1. 以AB、AC为平行四边形的一组邻边：过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两条平行线交于点D₁，得到第一个形状不同的平行四边形；
2. 以BA、BC为平行四边形的一组邻边：过点A作BC的平行线，过点C作BA的平行线，两条平行线交于点D₂，得到第二个形状不同的平行四边形；
3. 以CA、CB为平行四边形的一组邻边：过点A作CB的平行线，过点B作CA的平行线，两条平行线交于点D₃，得到第三个形状不同的平行四边形。
综上，共可作出3个形状不同的平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题属于几何基础类题型，重点考查对平行四边形判定定理的灵活运用，要求学生具备图形构造能力和分类讨论意识，避免出现漏解的情况，是平面几何的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时可先假设三角形的三个顶点为A、B、C，根据平行四边形“两组对边分别平行”的判定定理，我们可以分类讨论构造方案：每次选取三角形的一组邻边作为平行四边形的邻边，分别过这组邻边不共有的顶点作两条邻边的平行线，两条平行线的交点就是平行四边形的第四个顶点。三角形共有3组不同的邻边，对应3种不同的构造结果，且所得平行四边形形状均不相同。
【解析】
设三角形的三个顶点分别为A、B、C：
1. 以AB、AC为平行四边形的一组邻边：过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两条平行线交于点D₁，得到第一个形状不同的平行四边形；
2. 以BA、BC为平行四边形的一组邻边：过点A作BC的平行线，过点C作BA的平行线，两条平行线交于点D₂，得到第二个形状不同的平行四边形；
3. 以CA、CB为平行四边形的一组邻边：过点A作CB的平行线，过点B作CA的平行线，两条平行线交于点D₃，得到第三个形状不同的平行四边形。
综上，共可作出3个形状不同的平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题属于几何基础类题型，重点考查对平行四边形判定定理的灵活运用，要求学生具备图形构造能力和分类讨论意识，避免出现漏解的情况，是平面几何的常见考法。
【难度系数】
0.7
4. 两条邻边长是15 cm和20 cm的平行四边形，最大面积是（
A.$75\ \mathrm{cm}^2$
B.$150\ \mathrm{cm}^2$
C.$300\ \mathrm{cm}^2$
D.$200\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$75\ \mathrm{cm}^2$
B.$150\ \mathrm{cm}^2$
C.$300\ \mathrm{cm}^2$
D.$200\ \mathrm{cm}^2$
答案
4.C
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的面积公式为底乘高，要得到最大面积，在底固定的情况下需要让对应高取最大值。我们以20cm的边为底，对应的高是15cm邻边向底作的垂线段，根据直角三角形中斜边大于直角边的性质，高的最大值等于邻边长度15cm，此时平行四边形变为特殊的平行四边形（矩形），代入面积公式即可算出最大面积。
【解析】
解：平行四边形的面积计算公式为$S = 底 × 高$。
选取20cm的边作为底，设其对应的高为$h$：
高$h$是长度为15cm的邻边向底所作的垂线段，它和邻边、底的一部分构成直角三角形，其中15cm的邻边是斜边，根据直角三角形斜边大于直角边的性质，可得$h≤15\mathrm{cm}$。
当平行四边形的邻边互相垂直时，平行四边形为矩形，此时高$h=15\mathrm{cm}$，高取最大值，对应面积最大。
代入计算最大面积：$S_{\mathrm{最大}}=20×15=300\mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形面积计算，矩形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于平行四边形面积的常考基础题，解题核心是理解平行四边形高的取值范围，明确邻边垂直时（即矩形）面积最大，易错点是误认为高可以超过邻边的长度。
【难度系数】
0.7
首先回忆平行四边形的面积公式为底乘高，要得到最大面积，在底固定的情况下需要让对应高取最大值。我们以20cm的边为底，对应的高是15cm邻边向底作的垂线段，根据直角三角形中斜边大于直角边的性质，高的最大值等于邻边长度15cm，此时平行四边形变为特殊的平行四边形（矩形），代入面积公式即可算出最大面积。
【解析】
解：平行四边形的面积计算公式为$S = 底 × 高$。
选取20cm的边作为底，设其对应的高为$h$：
高$h$是长度为15cm的邻边向底所作的垂线段，它和邻边、底的一部分构成直角三角形，其中15cm的邻边是斜边，根据直角三角形斜边大于直角边的性质，可得$h≤15\mathrm{cm}$。
当平行四边形的邻边互相垂直时，平行四边形为矩形，此时高$h=15\mathrm{cm}$，高取最大值，对应面积最大。
代入计算最大面积：$S_{\mathrm{最大}}=20×15=300\mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形面积计算，矩形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于平行四边形面积的常考基础题，解题核心是理解平行四边形高的取值范围，明确邻边垂直时（即矩形）面积最大，易错点是误认为高可以超过邻边的长度。
【难度系数】
0.7
5. 如图1,在$□ ABCD$中,已知$AB=5\ \mathrm{cm},AD=8\ \mathrm{cm},∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$,交$CD$的延长线于点$F$,则$DF=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
5.3
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形的性质得到对边的长度与位置关系：平行四边形对边平行且相等，可得AD=BC，AB=CD，且AB//CD；再结合角平分线的定义，得到两个相等的角，借助平行线的内错角相等推出△FBC为等腰三角形，得到FC的长度；最后用FC减去CD的长度即可求出DF的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD=BC=8cm，CD=AB=5cm，
∴∠ABF=∠F（两直线平行，内错角相等），
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠F，
∴FC=BC=8cm（等角对等边），
∴DF=FC - CD=8 - 5=3cm。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的核心是通过平行线和角平分线的组合条件推导得到等腰三角形，进而求出未知线段长度，这类题型是平行四边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行四边形的性质得到对边的长度与位置关系：平行四边形对边平行且相等，可得AD=BC，AB=CD，且AB//CD；再结合角平分线的定义，得到两个相等的角，借助平行线的内错角相等推出△FBC为等腰三角形，得到FC的长度；最后用FC减去CD的长度即可求出DF的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD=BC=8cm，CD=AB=5cm，
∴∠ABF=∠F（两直线平行，内错角相等），
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠F，
∴FC=BC=8cm（等角对等边），
∴DF=FC - CD=8 - 5=3cm。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的核心是通过平行线和角平分线的组合条件推导得到等腰三角形，进而求出未知线段长度，这类题型是平行四边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
6.如图2,在$□ ABCD$中,AC,BD交于点O,
$△ AOB$的周长是15 cm,$BD=6$ cm,$AB+$
$CD=14$ cm,则$AC=$
$△ AOB$的周长是15 cm,$BD=6$ cm,$AB+$
$CD=14$ cm,则$AC=$
10
cm.答案
6.10
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形的性质：①对边相等；②对角线互相平分。首先根据AB+CD=14cm，结合平行四边形对边相等求出AB的长度；再根据对角线互相平分，由BD的长度求出BO的长度；接着利用△AOB的周长为15cm，代入已知的AB、BO长度求出AO的长度；最后根据AC=2AO即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC，BO=OD=$\frac{1}{2}$BD
∵AB+CD=14 cm
∴2AB=14 cm，解得AB=7 cm
∵BD=6 cm
∴BO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}×6=3$ cm
∵△AOB的周长为15 cm
∴AO + BO + AB =15
将AB=7 cm，BO=3 cm代入得：AO +3 +7=15，解得AO=5 cm
∴AC=2AO=2×5=10 cm
【答案】
10
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的核心是熟练运用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，结合给出的周长条件逐步推导即可，是平行四边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆平行四边形的性质：①对边相等；②对角线互相平分。首先根据AB+CD=14cm，结合平行四边形对边相等求出AB的长度；再根据对角线互相平分，由BD的长度求出BO的长度；接着利用△AOB的周长为15cm，代入已知的AB、BO长度求出AO的长度；最后根据AC=2AO即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC，BO=OD=$\frac{1}{2}$BD
∵AB+CD=14 cm
∴2AB=14 cm，解得AB=7 cm
∵BD=6 cm
∴BO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}×6=3$ cm
∵△AOB的周长为15 cm
∴AO + BO + AB =15
将AB=7 cm，BO=3 cm代入得：AO +3 +7=15，解得AO=5 cm
∴AC=2AO=2×5=10 cm
【答案】
10
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的核心是熟练运用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，结合给出的周长条件逐步推导即可，是平行四边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
7.在△ABC的中线BD上任意取一点E，延长BE至点F，使DF=DE，那么四边形AECF是
平行四边形
，理由是对角线互相平分的四边形是平行四边形
。答案
7.平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形
解析
【分析】
首先从题目已知条件入手，先根据“BD是△ABC的中线”回忆三角形中线的定义，可得点D是AC的中点，即AD=DC；再结合“DF=DE”的条件，能发现四边形AECF的两条对角线AC、EF都被点D平分，也就是对角线互相平分，此时对应平行四边形的判定定理，就能推出四边形的形状。
【解析】
解：
∵BD是△ABC的中线，
∴D是AC的中点，即AD=CD，
又
∵DF=DE，
∴四边形AECF的对角线AC和EF互相平分，
根据平行四边形的判定规则：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形AECF是平行四边形。
【答案】
平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】
三角形中线的定义；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何判定题，将三角形中线的性质和平行四边形的判定结合考查，解题的核心是从已知条件中提炼出四边形对角线互相平分的结论，熟练掌握相关基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
首先从题目已知条件入手，先根据“BD是△ABC的中线”回忆三角形中线的定义，可得点D是AC的中点，即AD=DC；再结合“DF=DE”的条件，能发现四边形AECF的两条对角线AC、EF都被点D平分，也就是对角线互相平分，此时对应平行四边形的判定定理，就能推出四边形的形状。
【解析】
解：
∵BD是△ABC的中线，
∴D是AC的中点，即AD=CD，
又
∵DF=DE，
∴四边形AECF的对角线AC和EF互相平分，
根据平行四边形的判定规则：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形AECF是平行四边形。
【答案】
平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】
三角形中线的定义；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何判定题，将三角形中线的性质和平行四边形的判定结合考查，解题的核心是从已知条件中提炼出四边形对角线互相平分的结论，熟练掌握相关基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
8.在平面直角坐标系中，A,B,D三点的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3)，要使以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，则顶点C的坐标是
(3,-3)或(-3,3)或(7,3)
。答案
8.(3,-3)或(-3,3)或(7,3)
解析
【分析】
已知平行四边形三个顶点的坐标，求第四个顶点坐标时，由于题目未指定四个顶点的排列顺序，因此需要分三种情况讨论：分别以AB、AD、BD为平行四边形的对角线，结合平行四边形对角线互相平分的性质（即两条对角线的中点坐标重合），利用中点坐标公式即可分别算出对应情况下点C的坐标。
【解析】
平面直角坐标系中，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，设点$C$的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当$AB$为平行四边形的对角线时，$AB$与$CD$的中点重合：
$AB$的中点坐标为$(\frac{0+5}{2},\frac{0+0}{2})=(2.5,0)$，$CD$的中点坐标为$(\frac{x+2}{2},\frac{y+3}{2})$，因此：
$\begin{cases}\frac{x+2}{2}=2.5\\\frac{y+3}{2}=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=-3\end{cases}$，即$C(3,-3)$。
2. 当$AD$为平行四边形的对角线时，$AD$与$BC$的中点重合：
$AD$的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+3}{2})=(1,1.5)$，$BC$的中点坐标为$(\frac{5+x}{2},\frac{0+y}{2})$，因此：
$\begin{cases}\frac{5+x}{2}=1\\\frac{y}{2}=1.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=3\end{cases}$，即$C(-3,3)$。
3. 当$BD$为平行四边形的对角线时，$BD$与$AC$的中点重合：
$BD$的中点坐标为$(\frac{5+2}{2},\frac{0+3}{2})=(3.5,1.5)$，$AC$的中点坐标为$(\frac{x}{2},\frac{y}{2})$，因此：
$\begin{cases}\frac{x}{2}=3.5\\\frac{y}{2}=1.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$，即$C(7,3)$。
综上，点$C$的坐标为$(3,-3)$或$(-3,3)$或$(7,3)$。
【答案】
$(3,-3)$或$(-3,3)$或$(7,3)$
【知识点】
平行四边形的性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题考查平行四边形性质的应用，解题的关键是明确未给出顶点顺序的平行四边形问题需要分情况讨论，易错点是漏算情况导致解不完整，掌握对角线中点重合的规律可以快速求解这类坐标问题。
【难度系数】
0.6
已知平行四边形三个顶点的坐标，求第四个顶点坐标时，由于题目未指定四个顶点的排列顺序，因此需要分三种情况讨论：分别以AB、AD、BD为平行四边形的对角线，结合平行四边形对角线互相平分的性质（即两条对角线的中点坐标重合），利用中点坐标公式即可分别算出对应情况下点C的坐标。
【解析】
平面直角坐标系中，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，设点$C$的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当$AB$为平行四边形的对角线时，$AB$与$CD$的中点重合：
$AB$的中点坐标为$(\frac{0+5}{2},\frac{0+0}{2})=(2.5,0)$，$CD$的中点坐标为$(\frac{x+2}{2},\frac{y+3}{2})$，因此：
$\begin{cases}\frac{x+2}{2}=2.5\\\frac{y+3}{2}=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=-3\end{cases}$，即$C(3,-3)$。
2. 当$AD$为平行四边形的对角线时，$AD$与$BC$的中点重合：
$AD$的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+3}{2})=(1,1.5)$，$BC$的中点坐标为$(\frac{5+x}{2},\frac{0+y}{2})$，因此：
$\begin{cases}\frac{5+x}{2}=1\\\frac{y}{2}=1.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=3\end{cases}$，即$C(-3,3)$。
3. 当$BD$为平行四边形的对角线时，$BD$与$AC$的中点重合：
$BD$的中点坐标为$(\frac{5+2}{2},\frac{0+3}{2})=(3.5,1.5)$，$AC$的中点坐标为$(\frac{x}{2},\frac{y}{2})$，因此：
$\begin{cases}\frac{x}{2}=3.5\\\frac{y}{2}=1.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$，即$C(7,3)$。
综上，点$C$的坐标为$(3,-3)$或$(-3,3)$或$(7,3)$。
【答案】
$(3,-3)$或$(-3,3)$或$(7,3)$
【知识点】
平行四边形的性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题考查平行四边形性质的应用，解题的关键是明确未给出顶点顺序的平行四边形问题需要分情况讨论，易错点是漏算情况导致解不完整，掌握对角线中点重合的规律可以快速求解这类坐标问题。
【难度系数】
0.6
9.如图3，在□ABCD中，已知AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F。若∠EAF=60°，BE=2 cm，FD=3 cm，求AB，BC的长和□ABCD的面积。
图3
图3答案
9.$AB=4\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},S_{□ ABCD}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先从已知的垂直关系和∠EAF的度数入手，利用四边形内角和先求出平行四边形的内角∠C的度数，再结合平行四边形邻角互补的性质得到∠B、∠D的度数；接着在直角三角形ABE、AFD中，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”分别求出AB、AD（即BC）的长度；再用勾股定理求出高AE的长度，最后根据平行四边形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：在四边形AECF中，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又
∵四边形内角和为360°，∠EAF=60°，
∴∠C=360°-∠AEC-∠AFC-∠EAF=360°-90°-90°-60°=120°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=180°-∠C=60°，BC=AD。
①在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∵30°角所对的直角边BE=2cm，
∴AB=2BE=2×2=4cm，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
②在Rt△AFD中，∠D=60°，
∴∠DAF=90°-60°=30°，
∵30°角所对的直角边FD=3cm，
∴AD=2FD=2×3=6cm，
∴BC=AD=6cm。
③平行四边形ABCD的面积：$S=BC×AE=6×2\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
AB=4 cm，BC=6 cm，$S_{□ABCD}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与直角三角形的综合基础题，解题的突破口是先推导得到平行四边形的内角度数，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，需要熟练掌握特殊图形的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的垂直关系和∠EAF的度数入手，利用四边形内角和先求出平行四边形的内角∠C的度数，再结合平行四边形邻角互补的性质得到∠B、∠D的度数；接着在直角三角形ABE、AFD中，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”分别求出AB、AD（即BC）的长度；再用勾股定理求出高AE的长度，最后根据平行四边形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：在四边形AECF中，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又
∵四边形内角和为360°，∠EAF=60°，
∴∠C=360°-∠AEC-∠AFC-∠EAF=360°-90°-90°-60°=120°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=180°-∠C=60°，BC=AD。
①在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∵30°角所对的直角边BE=2cm，
∴AB=2BE=2×2=4cm，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
②在Rt△AFD中，∠D=60°，
∴∠DAF=90°-60°=30°，
∵30°角所对的直角边FD=3cm，
∴AD=2FD=2×3=6cm，
∴BC=AD=6cm。
③平行四边形ABCD的面积：$S=BC×AE=6×2\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
AB=4 cm，BC=6 cm，$S_{□ABCD}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与直角三角形的综合基础题，解题的突破口是先推导得到平行四边形的内角度数，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，需要熟练掌握特殊图形的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
10. 在四边形ABCD中,有下列条件:
①∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°;
②∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°;
③∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°;
④∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.
其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
①∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°;
②∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°;
③∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°;
④∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.
其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有 （
B
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
10.B
解析
【分析】
解题时首先明确：同旁内角互补可推出两直线平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。我们只需将每个条件中的角互补关系转化为边的平行关系，判断是否能得到两组对边分别平行，即可确定该条件能否判定四边形是平行四边形。
【解析】
我们逐个分析4个条件：
1. 条件①：$∠ A+∠ B=180°$，可得$AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行）；$∠ C+∠ D=180°$，仍可得$AD// BC$，仅能推出一组对边平行，不能判定为平行四边形。
2. 条件②：$∠ A+∠ D=180°$，可得$AB// CD$；$∠ B+∠ C=180°$，仍可得$AB// CD$，仅能推出一组对边平行，不能判定为平行四边形。
3. 条件③：$∠ A+∠ B=180°$，可得$AD// BC$；$∠ B+∠ C=180°$，可得$AB// CD$。两组对边分别平行，因此四边形$ABCD$是平行四边形，该条件符合要求。
4. 条件④：$∠ A+∠ C=180°$，$∠ B+∠ D=180°$，仅表示四边形对角互补，无法推出两组对边平行，不能判定为平行四边形（如非平行四边形的圆内接四边形满足该条件）。
综上，仅1个条件能使四边形成为平行四边形，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题考查角的数量关系与直线位置关系的转化，解题关键是熟练掌握平行线判定和平行四边形判定的相关定理，注意不要将仅一组对边平行、对角互补的情况误判为平行四边形。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：同旁内角互补可推出两直线平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。我们只需将每个条件中的角互补关系转化为边的平行关系，判断是否能得到两组对边分别平行，即可确定该条件能否判定四边形是平行四边形。
【解析】
我们逐个分析4个条件：
1. 条件①：$∠ A+∠ B=180°$，可得$AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行）；$∠ C+∠ D=180°$，仍可得$AD// BC$，仅能推出一组对边平行，不能判定为平行四边形。
2. 条件②：$∠ A+∠ D=180°$，可得$AB// CD$；$∠ B+∠ C=180°$，仍可得$AB// CD$，仅能推出一组对边平行，不能判定为平行四边形。
3. 条件③：$∠ A+∠ B=180°$，可得$AD// BC$；$∠ B+∠ C=180°$，可得$AB// CD$。两组对边分别平行，因此四边形$ABCD$是平行四边形，该条件符合要求。
4. 条件④：$∠ A+∠ C=180°$，$∠ B+∠ D=180°$，仅表示四边形对角互补，无法推出两组对边平行，不能判定为平行四边形（如非平行四边形的圆内接四边形满足该条件）。
综上，仅1个条件能使四边形成为平行四边形，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题考查角的数量关系与直线位置关系的转化，解题关键是熟练掌握平行线判定和平行四边形判定的相关定理，注意不要将仅一组对边平行、对角互补的情况误判为平行四边形。
【难度系数】
0.7
