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三、解答题
17. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知O是BD的中点,BE=DF,AF//CE.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若OA=OD,则四边形ABCD是什么特殊四边形? 请证明你的结论.
17. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知O是BD的中点,BE=DF,AF//CE.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若OA=OD,则四边形ABCD是什么特殊四边形? 请证明你的结论.
答案
17. (1)证明:
∵ AF // CE,
∴ ∠AFO = ∠CEO,∠FAO = ∠ECO.
∵ O 为 BD 的中点,即 OB = OD,BE = DF,
∴ OB - BE = OD - DF,即 OE = OF. 在$△ AOF$ 和$△ COE$ 中,$\begin{cases} ∠AFO = ∠CEO, \\ ∠FAO = ∠ECO, \\ OE = OF, \end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ COE(\mathrm{AAS})$.
∴ AF = CE.
∵ AF // CE,
∴ 四边形AECF 是平行四边形.
(2)解:若 OA = OD,则四边形 ABCD 是矩形. 证明:
∵ $△ AOF ≌ △ COE$,
∴ OA = OC.
∵ OB = OD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ OA = OD,
∴ OA = OB = OC = OD,即 BD = AC.
∴ 四边形ABCD为矩形.
∵ AF // CE,
∴ ∠AFO = ∠CEO,∠FAO = ∠ECO.
∵ O 为 BD 的中点,即 OB = OD,BE = DF,
∴ OB - BE = OD - DF,即 OE = OF. 在$△ AOF$ 和$△ COE$ 中,$\begin{cases} ∠AFO = ∠CEO, \\ ∠FAO = ∠ECO, \\ OE = OF, \end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ COE(\mathrm{AAS})$.
∴ AF = CE.
∵ AF // CE,
∴ 四边形AECF 是平行四边形.
(2)解:若 OA = OD,则四边形 ABCD 是矩形. 证明:
∵ $△ AOF ≌ △ COE$,
∴ OA = OC.
∵ OB = OD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ OA = OD,
∴ OA = OB = OC = OD,即 BD = AC.
∴ 四边形ABCD为矩形.
解析
【分析】
(1) 要证四边形AECF是平行四边形，已知AF//CE，可通过证明这组对边相等，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定。首先由AF//CE得到一组内错角相等，再结合O是BD中点、BE=DF推导出OE=OF，通过AAS证明△AOF和△COE全等，即可得到AF=CE，完成判定。
(2) 判断OA=OD时四边形ABCD的形状，首先由(1)的全等结论可得OA=OC，结合O是BD中点即OB=OD，可先证ABCD是平行四边形，再由OA=OD推导得对角线AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定形状。
【解析】
(1) 证明:
∵ AF // CE,
∴ ∠AFO = ∠CEO,∠FAO = ∠ECO.
∵ O 为 BD 的中点,即 OB = OD,BE = DF,
∴ OB - BE = OD - DF,即 OE = OF.
在$△ AOF$ 和$△ COE$ 中,
$\begin{cases} ∠AFO = ∠CEO, \\ ∠FAO = ∠ECO, \\ OE = OF, \end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ COE(\mathrm{AAS})$.
∴ AF = CE.
∵ AF // CE,
∴ 四边形AECF 是平行四边形.
(2) 解:若 OA = OD,则四边形 ABCD 是矩形. 证明:
∵ $△ AOF ≌ △ COE$,
∴ OA = OC.
∵ OB = OD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ OA = OD,
∴ OA = OB = OC = OD,即 BD = AC.
∴ 四边形ABCD为矩形.
【答案】
(1) 四边形AECF是平行四边形，证明如上；
(2) 四边形ABCD是矩形，证明如上。
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定
【点评】
本题属于四边形基础综合题，将全等三角形的证明和特殊四边形的判定结合考查，解题时可从判定定理出发，结合已知条件逐步推导边、角的等量关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要证四边形AECF是平行四边形，已知AF//CE，可通过证明这组对边相等，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定。首先由AF//CE得到一组内错角相等，再结合O是BD中点、BE=DF推导出OE=OF，通过AAS证明△AOF和△COE全等，即可得到AF=CE，完成判定。
(2) 判断OA=OD时四边形ABCD的形状，首先由(1)的全等结论可得OA=OC，结合O是BD中点即OB=OD，可先证ABCD是平行四边形，再由OA=OD推导得对角线AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定形状。
【解析】
(1) 证明:
∵ AF // CE,
∴ ∠AFO = ∠CEO,∠FAO = ∠ECO.
∵ O 为 BD 的中点,即 OB = OD,BE = DF,
∴ OB - BE = OD - DF,即 OE = OF.
在$△ AOF$ 和$△ COE$ 中,
$\begin{cases} ∠AFO = ∠CEO, \\ ∠FAO = ∠ECO, \\ OE = OF, \end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ COE(\mathrm{AAS})$.
∴ AF = CE.
∵ AF // CE,
∴ 四边形AECF 是平行四边形.
(2) 解:若 OA = OD,则四边形 ABCD 是矩形. 证明:
∵ $△ AOF ≌ △ COE$,
∴ OA = OC.
∵ OB = OD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ OA = OD,
∴ OA = OB = OC = OD,即 BD = AC.
∴ 四边形ABCD为矩形.
【答案】
(1) 四边形AECF是平行四边形，证明如上；
(2) 四边形ABCD是矩形，证明如上。
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定
【点评】
本题属于四边形基础综合题，将全等三角形的证明和特殊四边形的判定结合考查，解题时可从判定定理出发，结合已知条件逐步推导边、角的等量关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
18.如图，$□ ABCD$的对角线$AC,BD$交于点$O$，$∠ AOD=60°$，$∠ ADO=90°$，$BD=12$，点$P$是$AO$上一动点，点$Q$是$OC$上一动点（$P,Q$不与端点重合），且$AP=OQ$，连接$BQ,DP$.
(1)线段$PQ$的长为
(2)设$△ PDO$的面积为$S_1$，$△ QBO$的面积为$S_2$，$S_1+S_2$的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着$AP$的增大，$S_1+S_2$的值是如何变化的.
(3)$DP+BQ$的最小值是
(1)线段$PQ$的长为
12
.(2)设$△ PDO$的面积为$S_1$，$△ QBO$的面积为$S_2$，$S_1+S_2$的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着$AP$的增大，$S_1+S_2$的值是如何变化的.
(3)$DP+BQ$的最小值是
12
.答案
18.解:(1)12
(2)$S_1 + S_2$ 的值不变,$S_1 + S_2 = 18\sqrt{3}$. 理由如下:如图所示,连接 DQ,
∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
∴ OD = OB.
∴ $S_{△ ODQ} = S_{△ OBQ}$.
∵ AP = OQ,
∴ $S_{△ APD} = S_{△ OQD}$.
∴ $S_1 + S_2 = S_{△ DPQ}=S_{△ AOD}$,在 Rt△AOD 中,由勾股定理得:$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3}$.
∴ $S_1 + S_2 = S_{△ AOD} = \frac{1}{2}AD · OD = \frac{1}{2} × 6\sqrt{3} × 6 = 18\sqrt{3}$.
(3)12
解析
【分析】
(1) 先根据平行四边形对角线互相平分得到OD的长度，再结合直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出OA的长；利用AP=OQ，可将PQ转化为PO+AP，即等于OA的长度，即可求解。
(2) 判断面积和是否变化可通过等面积转化：连接DQ，由平行四边形对角线互相平分得OD=OB，因此同底等高的△ODQ和△OBQ面积相等；再由AP=OQ，得同高的△APD和△OQD面积相等，最终将S₁+S₂转化为固定△AOD的面积，计算即可得到定值。
(3) 求DP+BQ的最小值，利用线段转化和两点之间线段最短的原理，可得到最小值等于OA的长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=12，
∴$OD=OB=\frac{1}{2}BD=6$，且$OA=OC$。
在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$∠ AOD=60°$，
∴$∠ OAD=30°$，
∴$OA=2OD=12$。
又
∵$AP=OQ$，
∴$PQ=PO+OQ=PO+AP=OA=12$。
(2) $S_1+S_2$的值不变，推导如下：
连接DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OD=OB$，
$△ ODQ$和$△ OBQ$以OD、OB为底时，高均为点Q到BD的距离，
∴$S_{△ ODQ}=S_{△ OBQ}=S_2$。
∵$AP=OQ$，$△ APD$和$△ OQD$以AP、OQ为底时，高均为点D到AC的距离，
∴$S_{△ APD}=S_{△ OQD}$。
∴$S_1+S_2=S_{△ PDO} + S_{△ ODQ} = S_{△ AOD}$。
在$Rt△ AOD$中，$OD=6$，$OA=12$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$，
∴$S_{△ AOD}=\frac{1}{2} × AD × OD=\frac{1}{2} × 6\sqrt{3} × 6=18\sqrt{3}$，即$S_1+S_2=18\sqrt{3}$。
(3) 根据线段转化及两点之间线段最短的性质，可得$DP+BQ$的最小值等于OA的长度，即12。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$
(2) $S_1 + S_2$ 的值不变，值为$\boldsymbol{18\sqrt{3}}$，辅助线图：
(3) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 三角形面积计算
3. 最短路径问题
【点评】
本题为四边形综合类习题，结合动点问题考查了平行四边形、直角三角形的基础性质，需要学生熟练运用转化思想处理动态的面积和最值问题，是几何章节的典型训练题。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据平行四边形对角线互相平分得到OD的长度，再结合直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出OA的长；利用AP=OQ，可将PQ转化为PO+AP，即等于OA的长度，即可求解。
(2) 判断面积和是否变化可通过等面积转化：连接DQ，由平行四边形对角线互相平分得OD=OB，因此同底等高的△ODQ和△OBQ面积相等；再由AP=OQ，得同高的△APD和△OQD面积相等，最终将S₁+S₂转化为固定△AOD的面积，计算即可得到定值。
(3) 求DP+BQ的最小值，利用线段转化和两点之间线段最短的原理，可得到最小值等于OA的长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=12，
∴$OD=OB=\frac{1}{2}BD=6$，且$OA=OC$。
在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$∠ AOD=60°$，
∴$∠ OAD=30°$，
∴$OA=2OD=12$。
又
∵$AP=OQ$，
∴$PQ=PO+OQ=PO+AP=OA=12$。
(2) $S_1+S_2$的值不变，推导如下：
连接DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OD=OB$，
$△ ODQ$和$△ OBQ$以OD、OB为底时，高均为点Q到BD的距离，
∴$S_{△ ODQ}=S_{△ OBQ}=S_2$。
∵$AP=OQ$，$△ APD$和$△ OQD$以AP、OQ为底时，高均为点D到AC的距离，
∴$S_{△ APD}=S_{△ OQD}$。
∴$S_1+S_2=S_{△ PDO} + S_{△ ODQ} = S_{△ AOD}$。
在$Rt△ AOD$中，$OD=6$，$OA=12$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$，
∴$S_{△ AOD}=\frac{1}{2} × AD × OD=\frac{1}{2} × 6\sqrt{3} × 6=18\sqrt{3}$，即$S_1+S_2=18\sqrt{3}$。
(3) 根据线段转化及两点之间线段最短的性质，可得$DP+BQ$的最小值等于OA的长度，即12。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$
(2) $S_1 + S_2$ 的值不变，值为$\boldsymbol{18\sqrt{3}}$，辅助线图：
(3) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 三角形面积计算
3. 最短路径问题
【点评】
本题为四边形综合类习题，结合动点问题考查了平行四边形、直角三角形的基础性质，需要学生熟练运用转化思想处理动态的面积和最值问题，是几何章节的典型训练题。
【难度系数】
0.6
