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10.如图,点O为四边形ABCD内任意一点,E,F,G,H分别为OA,OB,OC,OD的中点,则四边形EFGH的周长为 (
A.9
B.12
C.18
D.不能确定
C
)A.9
B.12
C.18
D.不能确定
答案
10.C
解析
【分析】
看到题目中E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，首先想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。由此可得四边形EFGH的每条边都是原四边形ABCD对应边的一半，因此四边形EFGH的周长等于原四边形ABCD周长的一半，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
∵E、F分别为OA、OB的中点，
∴EF是△OAB的中位线，根据三角形中位线定理，得$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$；
同理可得：
$FG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
$GH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$，
$HE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$；
∴四边形EFGH的周长为$EF+FG+GH+HE=3+5+6+4=18$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，四边形周长计算
【点评】
本题属于中位线的基础应用题型，解题的关键是准确识别出各条中位线，将所求四边形的边长与原四边形边长建立关联，计算难度低，是四边形章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.8
看到题目中E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，首先想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。由此可得四边形EFGH的每条边都是原四边形ABCD对应边的一半，因此四边形EFGH的周长等于原四边形ABCD周长的一半，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
∵E、F分别为OA、OB的中点，
∴EF是△OAB的中位线，根据三角形中位线定理，得$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$；
同理可得：
$FG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
$GH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$，
$HE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$；
∴四边形EFGH的周长为$EF+FG+GH+HE=3+5+6+4=18$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，四边形周长计算
【点评】
本题属于中位线的基础应用题型，解题的关键是准确识别出各条中位线，将所求四边形的边长与原四边形边长建立关联，计算难度低，是四边形章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.8
11.如图所示,已知四边形ABCD的四条边长度相等,等边三角形AMN的顶点M,N分别在BC,CD上,且AM=AB,则∠C为 (
A.100°
B.105°
C.110°
D.120°
A
)A.100°
B.105°
C.110°
D.120°
答案
11.A
解析
【分析】
首先由四边形ABCD四条边相等可判定它是菱形，根据菱形性质可得对角相等、邻角互补，四条边长度相等；再结合已知AM=AB、△AMN是等边三角形，可推出AB=AM=AN=AD，即△ABM和△ADN均为等腰三角形。设∠C=x，利用等腰三角形内角和、等边三角形内角为60°的性质，结合∠BAD=∠BAM+∠MAN+∠DAN的角度关系列方程，即可求解∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的四条边长度相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，∠BAD=∠C，AB=AD，且∠B+∠C=180°，即∠B=180°-∠C。
∵AM=AB，△AMN是等边三角形，
∴AB=AM=AN=AD，∠MAN=60°，
∴△ABM和△ADN都是等腰三角形，
∴∠AMB=∠B，∠AND=∠D=∠B，
∴∠BAM=180°-2∠B，∠DAN=180°-2∠D=180°-2∠B。
设∠C=x，则∠BAD=x，∠B=180°-x，
代入得∠BAM=∠DAN=180°-2(180°-x)=2x-180°，
∵∠BAD=∠BAM+∠MAN+∠DAN，
∴x=(2x-180°)+60°+(2x-180°)，
解得x=100°，即∠C=100°。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题结合特殊四边形和特殊三角形的性质，运用方程思想求解角度，解题的关键是理清各角度之间的等量关系，正确列出方程。
【难度系数】
0.65
首先由四边形ABCD四条边相等可判定它是菱形，根据菱形性质可得对角相等、邻角互补，四条边长度相等；再结合已知AM=AB、△AMN是等边三角形，可推出AB=AM=AN=AD，即△ABM和△ADN均为等腰三角形。设∠C=x，利用等腰三角形内角和、等边三角形内角为60°的性质，结合∠BAD=∠BAM+∠MAN+∠DAN的角度关系列方程，即可求解∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的四条边长度相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，∠BAD=∠C，AB=AD，且∠B+∠C=180°，即∠B=180°-∠C。
∵AM=AB，△AMN是等边三角形，
∴AB=AM=AN=AD，∠MAN=60°，
∴△ABM和△ADN都是等腰三角形，
∴∠AMB=∠B，∠AND=∠D=∠B，
∴∠BAM=180°-2∠B，∠DAN=180°-2∠D=180°-2∠B。
设∠C=x，则∠BAD=x，∠B=180°-x，
代入得∠BAM=∠DAN=180°-2(180°-x)=2x-180°，
∵∠BAD=∠BAM+∠MAN+∠DAN，
∴x=(2x-180°)+60°+(2x-180°)，
解得x=100°，即∠C=100°。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题结合特殊四边形和特殊三角形的性质，运用方程思想求解角度，解题的关键是理清各角度之间的等量关系，正确列出方程。
【难度系数】
0.65
12.如图所示,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是 (
A.22.5°
B.25°
C.23°
D.20°
A
)A.22.5°
B.25°
C.23°
D.20°
答案
12.A
解析
【分析】
解题时首先利用正方形的性质得到相关角的度数：正方形的对角线平分内角，因此可得∠CAB=∠ACB=45°，且∠CBE为直角；再结合AE=AC的条件，可知△ACE是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理，可计算出底角∠E的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠ACB=45°，∠ABC=90°，
∴∠CBE=180°-∠ABC=90°。
∵AE=AC，
∴△ACE是等腰三角形，顶角∠CAE=45°，
∴底角∠E=(180°-∠CAE)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°。
在Rt△CBE中，∠BCE+∠E=90°，
∴∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，将正方形和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握特殊图形的角度特征，逐步推导未知角的度数。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正方形的性质得到相关角的度数：正方形的对角线平分内角，因此可得∠CAB=∠ACB=45°，且∠CBE为直角；再结合AE=AC的条件，可知△ACE是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理，可计算出底角∠E的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠ACB=45°，∠ABC=90°，
∴∠CBE=180°-∠ABC=90°。
∵AE=AC，
∴△ACE是等腰三角形，顶角∠CAE=45°，
∴底角∠E=(180°-∠CAE)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°。
在Rt△CBE中，∠BCE+∠E=90°，
∴∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，将正方形和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握特殊图形的角度特征，逐步推导未知角的度数。
【难度系数】
0.7
二、填空题
13. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,AE平分∠DAB交BC的延长线于点F,则CF=
13. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,AE平分∠DAB交BC的延长线于点F,则CF=
2
.答案
13.2
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD与BC的位置和数量关系；再结合角平分线的定义和平行线内错角相等的性质，推导出△ABF为等腰三角形，得到BF的长度；最后用BF减去BC的长度即可求出CF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BC=AD=3，
∴∠DAE=∠F（两直线平行，内错角相等）。
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAF，
∴∠BAF=∠F，
∴BF=AB=5（等角对等边），
∴CF=BF - BC=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形判定结合运用，解题关键是通过角的等量关系推出等腰三角形，是四边形章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD与BC的位置和数量关系；再结合角平分线的定义和平行线内错角相等的性质，推导出△ABF为等腰三角形，得到BF的长度；最后用BF减去BC的长度即可求出CF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BC=AD=3，
∴∠DAE=∠F（两直线平行，内错角相等）。
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAF，
∴∠BAF=∠F，
∴BF=AB=5（等角对等边），
∴CF=BF - BC=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形判定结合运用，解题关键是通过角的等量关系推出等腰三角形，是四边形章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.8
14.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O到边AB的距离OH=
$\frac{12}{5}$
.答案
14.$\frac{12}{5}$
解析
【分析】
解题时首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到直角三角形AOB的两条直角边长度；再用勾股定理计算出斜边AB的长度；最后借助同一个直角三角形面积的两种计算方法（两条直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），建立等式即可求出OH的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=4$，$BO=\frac{1}{2}BD=3$
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AO· BO=\frac{1}{2}AB· OH$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× OH$
解得：$OH=\frac{12}{5}$
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是四边形的基础常考题，将菱形的性质和直角三角形的计算结合考查，掌握等面积法求高的技巧能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到直角三角形AOB的两条直角边长度；再用勾股定理计算出斜边AB的长度；最后借助同一个直角三角形面积的两种计算方法（两条直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），建立等式即可求出OH的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=4$，$BO=\frac{1}{2}BD=3$
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AO· BO=\frac{1}{2}AB· OH$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× OH$
解得：$OH=\frac{12}{5}$
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是四边形的基础常考题，将菱形的性质和直角三角形的计算结合考查，掌握等面积法求高的技巧能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
15.如图,过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积$S_1$与矩形QCNK的面积$S_2$的大小关系是$S_1$
=
$S_2$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
15.=
解析
【分析】
要比较两个矩形的面积大小，可利用矩形对角线的性质推导：矩形的对角线将矩形分成两个面积相等的三角形。首先观察到对角线BD将大矩形ABCD分成两个面积相等的三角形，同时MN、PQ分别平行于矩形的边，得到两个小矩形MBQK、PKND，它们的对角线BK、KD也分别将各自矩形分成面积相等的三角形。最后用大三角形的面积分别减去两个小三角形的面积和，即可得到两个目标矩形的面积关系。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，BD为对角线
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ CDB}$
∵ MN//AB//CD，PQ//AD//BC
∴ 四边形MBQK、四边形PKND均为矩形
∵ BK是矩形MBQK的对角线
∴ $S_{△ MBK} = S_{△ QKB}$
∵ KD是矩形PKND的对角线
∴ $S_{△ PKD} = S_{△ NDK}$
又
∵ $S_1 = S_{△ ABD} - S_{△ MBK} - S_{△ PKD}$，$S_2 = S_{△ CDB} - S_{△ QKB} - S_{△ NDK}$
∴ $S_1 = S_2$
【答案】
=
【知识点】
矩形的性质；等积变换；三角形面积计算
【点评】
本题是四边形面积比较的基础题型，核心利用矩形对角线平分矩形面积的性质，通过作差法进行等积推导，解题关键是找到图中几组面积相等的三角形，无需计算具体数值即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
要比较两个矩形的面积大小，可利用矩形对角线的性质推导：矩形的对角线将矩形分成两个面积相等的三角形。首先观察到对角线BD将大矩形ABCD分成两个面积相等的三角形，同时MN、PQ分别平行于矩形的边，得到两个小矩形MBQK、PKND，它们的对角线BK、KD也分别将各自矩形分成面积相等的三角形。最后用大三角形的面积分别减去两个小三角形的面积和，即可得到两个目标矩形的面积关系。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，BD为对角线
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ CDB}$
∵ MN//AB//CD，PQ//AD//BC
∴ 四边形MBQK、四边形PKND均为矩形
∵ BK是矩形MBQK的对角线
∴ $S_{△ MBK} = S_{△ QKB}$
∵ KD是矩形PKND的对角线
∴ $S_{△ PKD} = S_{△ NDK}$
又
∵ $S_1 = S_{△ ABD} - S_{△ MBK} - S_{△ PKD}$，$S_2 = S_{△ CDB} - S_{△ QKB} - S_{△ NDK}$
∴ $S_1 = S_2$
【答案】
=
【知识点】
矩形的性质；等积变换；三角形面积计算
【点评】
本题是四边形面积比较的基础题型，核心利用矩形对角线平分矩形面积的性质，通过作差法进行等积推导，解题关键是找到图中几组面积相等的三角形，无需计算具体数值即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
16.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点,点P是对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为
好学生暑假生活 八年级数学 JJ
$2\sqrt{5}$
.好学生暑假生活 八年级数学 JJ
答案
16.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题为四边形中的最短路径问题，结合正方形性质求解即可。首先正方形的对角线AC是它的对称轴，点B与点D关于AC对称，因此对角线上任意一点P到B的距离等于到D的距离，可将PE+PB转化为PE+PD；根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，PE+PD取得最小值，即线段DE的长度，最后在直角三角形DCE中用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC是其对称轴
∴点B与点D关于AC对称，可得PB=PD
∴PE+PB = PE+PD
根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，PE+PD的值最小，最小值为DE的长度
∵正方形边长AB=4，
∴CD=BC=4
∵E是BC的中点，
∴CE=½BC=2
又
∵∠DCE=90°，在Rt△DCE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2 + CE^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
因此PE+PB的最小值为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题是正方形性质和最短路径模型的综合基础题，解题核心是利用轴对称将两条折线段的和转化为两点间的线段长度，再结合勾股定理计算，属于四边形最值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题为四边形中的最短路径问题，结合正方形性质求解即可。首先正方形的对角线AC是它的对称轴，点B与点D关于AC对称，因此对角线上任意一点P到B的距离等于到D的距离，可将PE+PB转化为PE+PD；根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，PE+PD取得最小值，即线段DE的长度，最后在直角三角形DCE中用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC是其对称轴
∴点B与点D关于AC对称，可得PB=PD
∴PE+PB = PE+PD
根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，PE+PD的值最小，最小值为DE的长度
∵正方形边长AB=4，
∴CD=BC=4
∵E是BC的中点，
∴CE=½BC=2
又
∵∠DCE=90°，在Rt△DCE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2 + CE^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
因此PE+PB的最小值为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题是正方形性质和最短路径模型的综合基础题，解题核心是利用轴对称将两条折线段的和转化为两点间的线段长度，再结合勾股定理计算，属于四边形最值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
