19.如图,正方形ABCD的边AB,AD分别在等腰Rt△AEF的腰AE,AF上,点C在△AEF内,则有DF=BE(不必证明).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后,连接BE,DF.请在中用实线补全图形,这时DF=BE还成立吗?请说明理由.

19.解:如图,$DF = BE$ 还成立. 理由:
∵ 正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转一定角度 α,
∴ ∠FAD = ∠EAB. 在△ADF 与△ABE 中,$\begin{cases} AF = AE, \\ ∠FAD = ∠EAB, \\ AD = AB. \end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ ABE(\mathrm{SAS})$,
∴ $DF = BE$.

【分析】
要判断旋转后DF与BE是否相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先确定两条线段对应的三角形为$△ ADF$和$△ ABE$，先梳理已知的相等条件：正方形ABCD的邻边相等，可得$AD=AB$；等腰$Rt△ AEF$的两条腰相等，可得$AF=AE$，此时已经具备两组对应边相等，接下来只需证明两组边的夹角$∠ FAD$和$∠ EAB$相等即可。结合旋转的性质，$∠ FAE$和$∠ DAB$均为$90°$，两个角同时加公共角$∠ DAE$后，即可得到$∠ FAD=∠ EAB$，满足SAS全等的判定条件，即可推导出对应边相等。
【解析】
补全图形如图所示，$DF=BE$仍然成立，理由如下：
∵ 正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度$α$，
∴ $∠ FAE=∠ DAB=90°$，
∴ $∠ FAE + ∠ DAE = ∠ DAB + ∠ DAE$，即$∠ FAD=∠ EAB$。
在$△ ADF$与$△ ABE$中：
$\begin{cases}AF = AE, \\∠ FAD = ∠ EAB, \\AD = AB.\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ ABE(\mathrm{SAS})$，
∴ $DF=BE$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$DF = BE$ 还成立，
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何证明的典型基础题，将旋转、特殊三角形、特殊四边形的性质与全等判定相结合，核心考查利用全等三角形证明线段相等的常用方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

20. 如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.

20.(1)证明:在菱形 ABCD 中,AB = CD,AB // CD.又
∵ BE = AB,
∴ BE = CD,
∴ 四边形 BECD 是平行四边形,
∴ BD = EC.
(2)解:在$□ BECD$ 中,$BD // CE$,
∴ ∠ABO = ∠E = 50°. 又
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC ⊥ BD,
∴ ∠AOB = 90°,
∴ ∠BAO = 90° - ∠ABO = 90° - 50° = 40°.

【分析】
(1) 要证明BD=EC，可通过证明线段所在的四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质推导。首先根据菱形对边平行且相等的性质，得到AB=CD、AB//CD，结合已知BE=AB，可推出BE与CD平行且相等，即可判定四边形BECD是平行四边形，进而得到BD=EC的结论。
(2) 求∠BAO的度数时，先利用平行四边形对边平行的性质，得到BD//CE，推出同位角∠ABO=∠E=50°；再结合菱形对角线互相垂直的性质，可知△AOB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的关系，就能计算出∠BAO的大小。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AB // CD，
又
∵BE = AB，
∴BE = CD，且BE//CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD = EC。
(2) 解：由(1)可知四边形BECD是平行四边形，
∴BD // CE，
∴∠ABO = ∠E = 50°，
又
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC ⊥ BD，即∠AOB = 90°，
∴∠BAO = 90° - ∠ABO = 90° - 50° = 40°。
【答案】
(1) BD=EC得证；
(2) ∠BAO=40°
【知识点】
1. 菱形的性质
2. 平行四边形的判定与性质
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题属于四边形基础题，解题核心是熟练掌握特殊四边形的判定和性质，灵活运用平行线的性质、直角三角形两锐角互余的性质推导结论，解题时注意梳理已知条件和待证结论之间的关联即可。
【难度系数】
0.7