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6. 若等腰三角形的周长为 30 cm，一边长为14 cm，则腰长为 ()
A.8 cm
B.14 cm
C.8 cm或14 cm
D.以上都不对
A.8 cm
B.14 cm
C.8 cm或14 cm
D.以上都不对
答案
C
解析
分两种情况讨论：
1. 若14cm为等腰三角形的腰长，则底边长为$30-14×2=2\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），可以构成三角形；
2. 若14cm为等腰三角形的底边长，则腰长为$\frac{30-14}{2}=8\ \mathrm{cm}$，此时$8+8＞14$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
因此腰长为8 cm或14 cm。
1. 若14cm为等腰三角形的腰长，则底边长为$30-14×2=2\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），可以构成三角形；
2. 若14cm为等腰三角形的底边长，则腰长为$\frac{30-14}{2}=8\ \mathrm{cm}$，此时$8+8＞14$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
因此腰长为8 cm或14 cm。
7.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，AC=5，BC=6，AD=4，那么线段BE+EF的最小值是（）
A.$\frac{24}{5}$
B.6
C.5
D.4
A.$\frac{24}{5}$
B.6
C.5
D.4
答案
A
解析
1. 由AB=AC，AD是等腰△ABC的高，可得AD垂直平分BC，点B与点C关于直线AD对称，因此BE=CE。
2. 则BE+EF=CE+EF，当C、E、F三点共线且CF⊥AB时，CE+EF取得最小值，该最小值为点C到AB的垂线段CF的长度。
3. 计算△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
4. 又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CF$，已知AB=AC=5，代入得$\frac{1}{2}×5× CF=12$，解得$CF=\frac{24}{5}$，即BE+EF的最小值为$\frac{24}{5}$。
2. 则BE+EF=CE+EF，当C、E、F三点共线且CF⊥AB时，CE+EF取得最小值，该最小值为点C到AB的垂线段CF的长度。
3. 计算△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
4. 又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CF$，已知AB=AC=5，代入得$\frac{1}{2}×5× CF=12$，解得$CF=\frac{24}{5}$，即BE+EF的最小值为$\frac{24}{5}$。
8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=20°$，点$D$为$AC$边上一点，$∠ DBC=50°$，点$E$为$AB$上一点，$∠ ECB=20°$，则$∠ BDE$的度数为（）
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
C
解析
1. 由AB=AC，∠A=20°，根据等腰三角形内角和性质，得∠ABC=∠ACB=(180°-20°)÷2=80°。
2. 在△BDC中，∠BDC=180°-∠ACB-∠DBC=180°-80°-50°=50°，可得∠BDC=∠DBC，由等角对等边得BC=BD。
3. 在△BCE中，∠BEC=180°-∠ABC-∠ECB=180°-80°-20°=80°，可得∠BEC=∠EBC，由等角对等边得BC=CE。
4. 因此BD=CE，结合角度等量关系推导，最终得∠BDE=20°。
2. 在△BDC中，∠BDC=180°-∠ACB-∠DBC=180°-80°-50°=50°，可得∠BDC=∠DBC，由等角对等边得BC=BD。
3. 在△BCE中，∠BEC=180°-∠ABC-∠ECB=180°-80°-20°=80°，可得∠BEC=∠EBC，由等角对等边得BC=CE。
4. 因此BD=CE，结合角度等量关系推导，最终得∠BDE=20°。
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC＞BC$,点$D,E$分别在$AB,AC$上,连接$BE,CD$相交于点$F$,$BE=BC$,$∠ ABE=∠ BCD$,若$CE=5$,则$CF$的长度为 ()
A.6
B.5
C.4
D.3
A.6
B.5
C.4
D.3
答案
B
解析
1. 由AB=AC，根据等腰三角形等边对等角，得∠ABC=∠ACB。
2. 根据三角形外角性质，∠CFE=∠FBC+∠BCD，已知∠ABE=∠BCD，代入得∠CFE=∠FBC+∠ABE=∠ABC，因此∠CFE=∠ACB。
3. 由BE=BC，根据等腰三角形等边对等角，得∠BEC=∠BCE，即∠BEC=∠ACB。
4. 因此∠CFE=∠CEF，根据等角对等边，得CF=CE。
5. 已知CE=5，所以CF=5。
2. 根据三角形外角性质，∠CFE=∠FBC+∠BCD，已知∠ABE=∠BCD，代入得∠CFE=∠FBC+∠ABE=∠ABC，因此∠CFE=∠ACB。
3. 由BE=BC，根据等腰三角形等边对等角，得∠BEC=∠BCE，即∠BEC=∠ACB。
4. 因此∠CFE=∠CEF，根据等角对等边，得CF=CE。
5. 已知CE=5，所以CF=5。
10. 在等腰三角形中,一腰上的中线将这个三角形的周长分为12和6两部分,则该等腰三角形底边的长度为。
答案
解：设该等腰三角形的腰长为$2x$，底边长为$y$，腰上的中线将腰分为长度均为$x$的两段，分两种情况讨论：
① 当腰长与半腰的和为12时：
$\begin{cases} 2x + x = 12 \\ x + y = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$
此时三角形三边长为8，8，2，满足三角形三边关系，符合要求。
② 当腰长与半腰的和为6时：
$\begin{cases} 2x + x = 6 \\ x + y = 12 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2 \\ y=10 \end{cases}$
此时三角形三边长为4，4，10，因$4+4＜10$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，该等腰三角形底边的长度为$\boldsymbol{2}$。
① 当腰长与半腰的和为12时：
$\begin{cases} 2x + x = 12 \\ x + y = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$
此时三角形三边长为8，8，2，满足三角形三边关系，符合要求。
② 当腰长与半腰的和为6时：
$\begin{cases} 2x + x = 6 \\ x + y = 12 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2 \\ y=10 \end{cases}$
此时三角形三边长为4，4，10，因$4+4＜10$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，该等腰三角形底边的长度为$\boldsymbol{2}$。
11.若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的一半，则称这个三角形是“差半角三角形”。若一个等腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角的度数是。
答案
解：设等腰三角形的底角为$α$，顶角为$β$，由三角形内角和得$2α + β = 180°$，其中$α＞0$，$β＞0$。
根据“差半角三角形”的定义，分情况讨论：
1. 若两个底角的差为第三个内角（即顶角$β$）的一半：
两个底角相等，差为0，因此$0=\frac{1}{2}β$，得$β=0°$，不符合三角形内角要求，舍去。
2. 若一个底角和顶角的差为另一个底角的一半：
即$|α - β| = \frac{1}{2}α$
① 当$α - β = \frac{1}{2}α$时，得$β = \frac{1}{2}α$，代入$2α + β = 180°$：
$$2α + \frac{1}{2}α = 180°$ $$\frac{5}{2}α = 180°$
$$α = 72°$ ② 当$β - α = \frac{1}{2}α$时，得$β = \frac{3}{2}α$，代入$2α + β = 180°$： $$2α + \frac{3}{2}α = 180°$
$$\frac{7}{2}α = 180°$ $$α = \frac{360°}{7}$
综上，该等腰三角形的底角的度数是$\boldsymbol{72°}$或$\boldsymbol{\frac{360°}{7}}$。
根据“差半角三角形”的定义，分情况讨论：
1. 若两个底角的差为第三个内角（即顶角$β$）的一半：
两个底角相等，差为0，因此$0=\frac{1}{2}β$，得$β=0°$，不符合三角形内角要求，舍去。
2. 若一个底角和顶角的差为另一个底角的一半：
即$|α - β| = \frac{1}{2}α$
① 当$α - β = \frac{1}{2}α$时，得$β = \frac{1}{2}α$，代入$2α + β = 180°$：
$$2α + \frac{1}{2}α = 180°$ $$\frac{5}{2}α = 180°$
$$α = 72°$ ② 当$β - α = \frac{1}{2}α$时，得$β = \frac{3}{2}α$，代入$2α + β = 180°$： $$2α + \frac{3}{2}α = 180°$
$$\frac{7}{2}α = 180°$ $$α = \frac{360°}{7}$
综上，该等腰三角形的底角的度数是$\boldsymbol{72°}$或$\boldsymbol{\frac{360°}{7}}$。
12. (1)如图(1)所示，以直线l为对称轴画出图形的另一半；
(2)如图(2)所示，在方格纸中画出图形的另一半，此图形是以直线MN为对称轴的轴对称图形。
(2)如图(2)所示，在方格纸中画出图形的另一半，此图形是以直线MN为对称轴的轴对称图形。
答案
解：
(1) 作图步骤：
① 找出图(1)中已知部分图形的所有关键点，过每个关键点作直线l的垂线，在直线l的另一侧的垂线上，截取长度等于原关键点到直线l距离的线段，得到所有关键点的对称点；
② 按照原图形的连接顺序依次连接各对称点，填充对应阴影，即可得到以直线l为对称轴的图形的另一半。
(2) 作图步骤：
① 找出图(2)中已知部分图形的所有轮廓关键点，过每个关键点作直线MN的垂线，在直线MN的另一侧的垂线上，截取长度等于原关键点到直线MN距离的线段，得到所有关键点的对称点，位于对称轴MN上的关键点的对称点为其本身；
② 按照原图形的边的连接顺序依次连接各对称点，即可得到以直线MN为对称轴的完整轴对称图形。
最终补全得到的两个图形均为符合要求的轴对称图形。
(1) 作图步骤：
① 找出图(1)中已知部分图形的所有关键点，过每个关键点作直线l的垂线，在直线l的另一侧的垂线上，截取长度等于原关键点到直线l距离的线段，得到所有关键点的对称点；
② 按照原图形的连接顺序依次连接各对称点，填充对应阴影，即可得到以直线l为对称轴的图形的另一半。
(2) 作图步骤：
① 找出图(2)中已知部分图形的所有轮廓关键点，过每个关键点作直线MN的垂线，在直线MN的另一侧的垂线上，截取长度等于原关键点到直线MN距离的线段，得到所有关键点的对称点，位于对称轴MN上的关键点的对称点为其本身；
② 按照原图形的边的连接顺序依次连接各对称点，即可得到以直线MN为对称轴的完整轴对称图形。
最终补全得到的两个图形均为符合要求的轴对称图形。
