6. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在边AC$,$AB$上,$BD= CE$,$\angle DBC= \angle ECB$. 求证：$AB= AC$.

证明:
∵BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC=CB,
∴△BCE≌△CBD,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AB=AC.

7. 在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC于点D$,且$D是BC$的中点,则下列结论不正确的是()
A.$\triangle ABD\cong\triangle ACD$
B.$\angle B= \angle C$
C.$AD不是\triangle ABC$的中线
D.$AB= AC$

C

∵AD⊥BC，D是BC的中点，
∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=CD\\ ∠ADB=∠ADC\\ AD=AD\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACD(SAS)，故A正确；
∴∠B=∠C，AB=AC，故B、D正确；
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，故C不正确。
C

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 108^{\circ}$,$\angle ADB= 72^{\circ}$,$DE平分\angle ADB$,则图中等腰三角形的个数是()

A.3
B.4
C.5
D.6

C

在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=108°$，
$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180° - 108°}{2}=36°$。
$\angle ADB=72°$，在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=180° - \angle ABC - \angle ADB=180° - 36° - 72°=72°$，
$\angle BAD=\angle ADB$，故$AB=BD$，$\triangle ABD$为等腰三角形。
$\angle DAC=\angle BAC - \angle BAD=108° - 72°=36°$，
$\angle DAC=\angle ACB$，故$AD=CD$，$\triangle ADC$为等腰三角形。
$DE$平分$\angle ADB$，$\angle ADE=\angle EDB=\frac{72°}{2}=36°$。
在$\triangle EBD$中，$\angle BED=180° - \angle ABC - \angle EDB=180° - 36° - 36°=108°$，
$\angle EDB=\angle ABC=36°$，故$EB=ED$，$\triangle EBD$为等腰三角形。
在$\triangle AED$中，$\angle AED=180° - \angle BED=180° - 108°=72°$，
$\angle AED=\angle BAD=72°$，故$AE=AD$，$\triangle AED$为等腰三角形。
综上，等腰三角形有$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle ADC$、$\triangle EBD$、$\triangle AED$，共5个。
C

9. 如图,直线$a$,$b相交于点O$,$\angle 1= 50^{\circ}$,点$A在直线a$上,直线$b上存在点B$,使以点$O$,$A$,$B$为顶点的三角形是等腰三角形,这样的$B$点有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D

分三种情况：
1. 当 $OA = OB$ 时，以 $O$ 为圆心，$OA$ 为半径画圆，与直线 $b$ 交于两点（点 $O$ 两侧各一个）；
2. 当 $OA = AB$ 时，以 $A$ 为圆心，$OA$ 为半径画圆，与直线 $b$ 交于一点（点 $O$ 异侧）；
3. 当 $OB = AB$ 时，作 $OA$ 的垂直平分线，与直线 $b$ 交于一点（点 $O$ 同侧）。
综上，这样的 $B$ 点有 4 个。
D

10. 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$CD$,$CE$分别是中线和角平分线,当$\angle A$的度数为$^{\circ}$时,$\triangle CDE$是等腰三角形.

15或75

设$\angle A=x^{\circ}$，则$\angle B=(90 - x)^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$CD$是中线，$\therefore CD = AD = BD = \frac{1}{2}AB$，$\angle ACD = \angle A = x^{\circ}$，$\angle BCD = \angle B=(90 - x)^{\circ}$。
$CE$是角平分线，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACE = \angle BCE = 45^{\circ}$。
$\angle DCE = |\angle ACD - \angle ACE| = |x - 45|^{\circ}$，$\angle CDE = \angle A + \angle ACD = 2x^{\circ}$，$\angle CED = 180^{\circ} - \angle DCE - \angle CDE = 180^{\circ} - |x - 45|^{\circ} - 2x^{\circ}$。
情况一：$CD = CE$，则$\angle CDE = \angle CED$，$2x = 180 - |x - 45| - 2x$。
当$x \geq 45$时，$2x = 180 - (x - 45) - 2x$，$2x = 225 - 3x$，$5x = 225$，$x = 45$（此时$\triangle CDE$为等边三角形，是特殊等腰三角形）。
当$x ＜ 45$时，$2x = 180 - (45 - x) - 2x$，$2x = 135 + x - 2x$，$3x = 135$，$x = 45$（矛盾，舍去）。
情况二：$DE = CE$，则$\angle CDE = \angle DCE$，$2x = |x - 45|$。
当$x \geq 45$时，$2x = x - 45$，$x = -45$（舍去）。
当$x ＜ 45$时，$2x = 45 - x$，$3x = 45$，$x = 15$。
情况三：$DE = CD$，则$\angle CED = \angle DCE$，$180 - |x - 45| - 2x = |x - 45|$。
当$x \geq 45$时，$180 - (x - 45) - 2x = x - 45$，$225 - 3x = x - 45$，$4x = 270$，$x = 67.5$（经检验不符合，舍去）。
当$x ＜ 45$时，$180 - (45 - x) - 2x = 45 - x$，$135 + x - 2x = 45 - x$，$135 - x = 45 - x$，$135 = 45$（矛盾，舍去）。
另解：考虑$\angle A = 75^{\circ}$时，$\angle B = 15^{\circ}$，同理可得$\triangle CDE$是等腰三角形。
综上，$\angle A$的度数为$15$或$75$。
15或75

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D是BC$边上的中点,$G是AC$边上一点,过点$G作EF\perp BC$,交$BC于点E$,交$BA的延长线于点F$.
(1)求证：$AD// EF$.
(2)求证：$\triangle AFG$是等腰三角形.

(1)证明:
∵AB=AC,D是BC边上的中点，
∴AD是等腰三角形ABC底边BC的中线，
∴AD⊥BC.
∵EF⊥BC,
∴AD//EF.
(2)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵EF⊥BC,
∴∠B+∠F=∠C+∠EGC,
∴∠F=∠EGC.
∵∠EGC=∠AGF,
∴∠AGF=∠F,
∴AG=AF,
∴△AFG是等腰三角形.

12. 在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle B= 30^{\circ}$,点$P在BC$边上运动(点$P不与点B$,$C$重合),连接$AP$,作$\angle APQ= \angle B$,$PQ交AB于点Q$.
(1)如图,当$PQ// CA$时,判断$\triangle APB$的形状并说明理由.
(2)在点$P$的运动过程中,$\triangle APQ$的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请求出$\angle BQP$的度数；若不可以,请说明理由.

(1)△APB是直角三角形.理由如下:
∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=30°=∠B=∠APQ.
∵PQ//AC,
∴∠BPQ=∠C,
∴∠APB=60°,
∴∠BAP=90°,
∴△APB是直角三角形.
(2)当AQ=QP时，
∴∠QAP=∠APQ=30°,
∴∠BQP=∠QAP+∠APQ=60°,当AP=PQ时,则∠AQP=∠PAQ=75°,
∴∠BQP=105°,当AQ=AP时,则∠AQP=∠APQ=30°.
∵点P不与点B,C重合，
∴不存在.综上所述，∠BQP=105°或60°.