1. 我们知道，利用潜望镜可以在水面下观察水面上的情况，可以在战壕里观察战壕外的情况. 潜望镜就是利用“光线照在平面镜上发生反射，光线的反射角等于入射角”的原理来设计的.
(1) 请通过查阅资料，了解法线、反射角、入射角的概念以及反射角与入射角的数量关系.
(2) 图 Q3-1①是用潜望镜在水面下观察水面上的示意图，图 Q3-1②是抽象出来的几何图形. 其中 AB，CD 表示互相平行的镜面. 请说明 EF 和 HG 是互相平行的.

(3) 如图 Q3-1③，AB，BC 表示互相垂直的平面镜. 其中，入射光线 m 水平射向镜面 AB. 请判断入射光线 m 与其经过两次反射后的光线 n 的位置关系，并说明理由.

1.(1)略
(2)略
(3)m//n，理由略.

【分析】
(2)要证明EF//HG，可通过证明内错角∠EFG=∠FGH实现：首先利用平行线的性质，由AB//CD得到一组内错角相等，再结合光的反射角等于入射角的规律，推导得出∠EFG和∠FGH相等，即可证两直线平行。
(3)要判断m和n的位置关系，可通过证明同旁内角互补得到两直线平行：首先由AB⊥BC得出∠2+∠3=90°，再结合反射角等于入射角得到∠1=∠2、∠3=∠4，进而推导得出m和n的同旁内角和为180°，即可判断两直线平行。
【解析】
(2)证明：
∵ AB//CD（已知）
∴ ∠BFG = ∠CGF（两直线平行，内错角相等）
根据光的反射规律，反射角等于入射角，可得：
∠AFE = ∠BFG，∠CGF = ∠DGH
∴ ∠AFE = ∠BFG = ∠CGF = ∠DGH
∵ ∠EFG = 180° - ∠AFE - ∠BFG，∠FGH = 180° - ∠CGF - ∠DGH
∴ ∠EFG = ∠FGH（等量代换）
∴ EF//HG（内错角相等，两直线平行）
(3)解：m//n，理由如下：
∵ AB⊥BC（已知）
∴ ∠B = 90°，则∠2 + ∠3 = 180° - 90° = 90°（三角形内角和为180°）
根据光的反射规律，反射角等于入射角，可得：
∠1 = ∠2，∠3 = ∠4
∴ ∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3 = 90°
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 2×(∠2 + ∠3) = 180°
∴ m和n的同旁内角和为：$(180°-∠1-∠2)+(180°-∠3-∠4)=360°-180°=180°$
∴ m//n（同旁内角互补，两直线平行）
【答案】
(1)略
(2)EF和HG互相平行
(3)$m// n$
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，光的反射规律
【点评】
本题结合潜望镜的生活情境，融合了物理光的反射原理与数学平行线的相关知识，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，有助于培养跨学科思维。
【难度系数】
0.7

2. 在日常生活中，我们最常见的纸就是A号纸，A号纸的规格有A0，A1，A2等，其中1张A0纸对折后可以得到2张A1纸，1张A1纸对折后可以得到2张A2纸……那么它们的尺寸有没有什么特点呢？
【查一查】书籍和纸张的长与宽都有固定的尺寸，请你查阅资料，填写表Q3-1和表Q3-2(单位：mm).
表Q3-1

表Q3-2

【做一做】(1)填写表Q3-3.(结果保留三位小数)
表Q3-3

(2)观察表Q3-3，你有什么发现？
(3)折叠上面的纸张，你发现了什么？
【试一试】请你分别找三本教科书或三张其他规格的纸张，动手测量一下它们的长与宽，看看它们的长与宽是否也有类似的比例关系。

【查一查】略
【做一做】(1)1.416 1.414 1.414 1.414
1.419 1.414 1.414 1.416 1.412 1.420
(2)发现长与宽的比值都近似为√2.
(3)将 A1 规格的纸张沿较长边对折，变为 A2规格的纸张；再沿较长边对折，变为 A3 规格的纸张……将 B1 规格的纸张沿较长边对折，变为 B2 规格的纸张；再沿较长边对折，变为B3 规格的纸张……
【试一试】略

【分析】
这道题以生活中常见的A号、B号纸张为研究对象，解题可按以下思路开展：1. 先通过查阅资料获取标准A系列、B系列纸张的长宽具体数值；2. 做一做第(1)问用每张纸的长除以宽，计算出比值后按要求保留三位小数即可；3. 第(2)问将计算得到的比值和已知的$\sqrt{2}$（约等于1.4142）对比，就能总结出规律；4. 第(3)问动手折叠纸张时，观察对折前后纸张的规格变化和长宽比的变化即可；5. 试一试部分只需选取身边的课本等纸张，测量长宽后计算比值对比规律即可。
【解析】
【查一查】可通过网络或工具书查阅A、B系列纸张的标准尺寸，例如A0：841mm×1189mm，A1：594mm×841mm，A2：420mm×594mm；B0：1000mm×1414mm，B1：707mm×1000mm，B2：500mm×707mm等，合理即可。
【做一做】(1)将查得的各规格纸张的长除以宽，计算出商后按四舍五入保留三位小数，即可得到对应比值。
(2)观察计算得到的所有比值都在1.414附近，与$\sqrt{2}\approx1.4142$的数值接近，因此可得到对应规律。
(3)动手折叠时，将当前规格纸张沿较长边的中点对折，可得到下一标号的同系列纸张，且对折后新纸张的长宽比仍和原纸张一致。
【试一试】可选取3本不同的教科书，分别测量其长和宽，计算长与宽的比值后和$\sqrt{2}$对比即可，结果合理即可。
【答案】
【查一查】略
【做一做】(1)1.416 1.414 1.414 1.414
1.419 1.414 1.414 1.416 1.412 1.420
(2)发现长与宽的比值都近似为$\sqrt{2}$.
(3)将 A1 规格的纸张沿较长边对折，变为 A2规格的纸张；再沿较长边对折，变为 A3 规格的纸张……将 B1 规格的纸张沿较长边对折，变为 B2 规格的纸张；再沿较长边对折，变为B3 规格的纸张……
【试一试】略
【知识点】
比值计算，无理数$\sqrt{2}$，图形折叠
【点评】
本题结合日常常见的纸张规格出题，将数学知识与生活实际紧密结合，既考查了比值计算、无理数的相关知识，又锻炼了查阅资料、动手操作的实践能力，能让大家直观感受到数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8