10. 在平面直角坐标系中，已知点$A(a+1, -1)$和点$B(2, a-1)$，且直线$AB// x$轴，则点$(-a+2, a-1)$位于第象限。

10.四

【分析】
解题思路可分为两步：首先，我们知道平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，结合点A、B的坐标，可列出关于a的等式求出a的值；其次，将求得的a代入待判断的点的坐标，根据各象限内点的坐标正负特征，即可确定该点所在的象限。
【解析】
∵ 直线$AB// x$轴，
∴ 点A和点B的纵坐标相等，即：
$-1 = a - 1$
解得：$a = 0$
将$a=0$代入点$(-a+2, a-1)$，得：
横坐标：$-0 + 2 = 2$，纵坐标：$0 - 1 = -1$
∴ 该点坐标为$(2, -1)$，横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限的坐标特征。
【答案】
四
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征、一元一次方程求解、象限的判断
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，解题的关键是掌握平行于x轴的直线上点的纵坐标相等这一核心性质，再结合象限坐标的正负规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

11. 如图 2-5-3，在正方形网格中，点 A 的坐标是 (1，2)，点 B 的坐标是(2，1).
(1)依题意，在图 2-5-3 中建立平面直角坐标系；
(2)图中点 C 的坐标是 ；
(3)若点 D 的坐标为(0，3)，在图 2-5-3 中标出点 D 的位置；
(4)将点 B 先向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得的点 B'的坐标是 ，△AB'C 的面积为 .

图 2-5-3

11.(1)平面直角坐标系如答图2-5-1所示.
(2)$(-1, -1)$
(3)如答图2-5-1所示，点D即所求.
(4)$(-1, 2)$ 3

【分析】
首先解决平面直角坐标系建立的问题：已知点A(1,2)、B(2,1)，根据点坐标的定义，横坐标为点到y轴的距离（右正左负），纵坐标为点到x轴的距离（上正下负），因此原点在A点左侧1个单位、下方2个单位的格点处，以水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向即可建立坐标系。接下来求点C的坐标，只需观察C到两坐标轴的距离和所在象限即可写出坐标；标注D点时，(0,3)说明点在y轴上，x轴上方3个单位处，直接找对应位置即可。点平移遵循“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的规则，可求出B'的坐标；计算△AB'C面积时，观察三个点的坐标特征，发现两边分别平行于x轴和y轴，是直角三角形，用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 确定原点位置：根据A(1,2)，可知原点在A点左侧1格、下方2格的格点处，过原点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，建立平面直角坐标系，如答图2-5-1所示。
(2) 观察建立好的坐标系，点C在y轴左侧1个单位，x轴下方1个单位，因此坐标为$\boldsymbol{(-1,-1)}$。
(3) 点D(0,3)的横坐标为0，说明在y轴上，纵坐标为3说明在x轴上方3个单位处，在对应位置标注点D，如答图2-5-1所示。
(4) 点平移规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减。点B(2,1)向左平移3个单位，横坐标变为$2-3=-1$，再向上平移1个单位，纵坐标变为$1+1=2$，因此B'的坐标为$\boldsymbol{(-1,2)}$。
计算△AB'C的面积：A(1,2)、B'(-1,2)，两点纵坐标相同，因此AB'平行于x轴，长度为$1-(-1)=2$；B'(-1,2)、C(-1,-1)，两点横坐标相同，因此B'C平行于y轴，长度为$2-(-1)=3$。且AB'⊥B'C，△AB'C是直角三角形，面积为$\frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
【答案】
11.(1)平面直角坐标系如答图2-5-1所示.
(2)$(-1, -1)$
(3)如答图2-5-1所示，点D即所求.
(4)$(-1, 2)$ 3

【知识点】
平面直角坐标系；点的平移；三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了坐标系建立、点坐标确定、平移规律和面积计算，侧重对基础知识的理解和运用，解题的关键是熟练掌握坐标系相关的基础规则。
【难度系数】
0.7

12. 在平面直角坐标系$xOy$中，对于任意一点$A(x, y)$，定义点$A$的“离心值”
$p(A): p(A)= \begin{cases} |x|, & |x| ≥ |y|, \\ |y|, & |x| ＜ |y|. \end{cases}$
例如，对于点$A(-6, 3)$，因为$|-6| ＞ |3|$，所以$p(A)=|-6|=6$.
(1)已知$B(0, 5)$，$C(-3, 3)$，$D(-\sqrt{2}, -1)$，将$p(B)$，$p(C)$，$p(D)$按从小到大的顺序排列(用“＜”连接)：.
(2)如图2-5-4①，点$P(-1, 3)$，$E(-1, -3)$，点$M(x, y)$在线段$PE$上.
①若$p(M)=1.5$，写出点$M$的坐标；
②在图2-5-4①中画出满足$p(M)=1$的点$M$组成的图形.
(3)如图2-5-4②，直线$l$过点$(0, -3)$和点$(3, 0)$，将直线$l$向上平移$m(m＞0)$个单位长度得到直线$l'$，若$l'$上恰好有两个点的“离心值”为1，直接写出$m$的取值范围.

12.(1)$p(D)＜p(C)＜p(B)$
(2)①点M的坐标为$(-1, 1.5)$或$(-1, -1.5)$.
②点M组成的图形即线段HF，如答图2-5-2，其中$H(-1, 1)$，$F(-1, -1)$.

(3)$1＜m＜5$

【分析】
首先明确“离心值”$p(A)$的定义：对于点$A(x,y)$，$p(A)$取$|x|$和$|y|$中较大的数值。
(1)分别计算三个点的$p$值，再比较大小排序即可。
(2)线段$PE$上所有点的横坐标都是$-1$，即$|x|=1$：①若$p(M)=1.5$，说明$|y|=1.5$，结合$x=-1$即可求出$M$的坐标；②若$p(M)=1$，说明$|y|≤1$，对应$x=-1$、$y$在$-1$到$1$之间的线段。
(3)先求出直线$l$的解析式，再根据平移规律得到平移后$l'$的解析式；离心值为$1$的点满足$\max(|x|,|y|)=1$，找到直线$l'$与该图形刚好只有$1$个交点的临界$m$值，即可得到恰好有$2$个点时$m$的取值范围。
【解析】
(1)计算各点离心值：
对$B(0,5)$：$|0|=0＜|5|=5$，故$p(B)=5$；
对$C(-3,3)$：$|-3|=3=|3|$，故$p(C)=3$；
对$D(-\sqrt{2},-1)$：$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}＞|-1|=1$，故$p(D)=\sqrt{2}$；
因为$\sqrt{2}＜3＜5$，所以排序为$p(D)＜p(C)＜p(B)$。
(2)①线段$PE$上的点横坐标均为$-1$，即$x=-1$，$|x|=1$。若$p(M)=1.5$，说明$|y|＞1$，此时$p(M)=|y|=1.5$，解得$y=1.5$或$y=-1.5$，故点$M$的坐标为$(-1,1.5)$或$(-1,-1.5)$。
②若$p(M)=1$，结合$|x|=1$，可知$|y|≤1$，因此满足条件的点$M$是横坐标为$-1$，纵坐标在$-1$到$1$之间的线段，即端点为$H(-1,1)$、$F(-1,-1)$的线段$HF$，图形如下：

(3)先求直线$l$的解析式：设$l$的解析式为$y=kx+b$，将$(0,-3)$、$(3,0)$代入得$\begin{cases}b=-3\\3k+b=0\end{cases}$，解得$k=1$，$b=-3$，即$l:y=x-3$。
根据平移“上加下减”的规律，向上平移$m$个单位后$l'$的解析式为$y=x-3+m$。
离心值为$1$的点满足$\max(|x|,|y|)=1$，当$l'$恰好过$(1,-1)$时，代入得$-1=1-3+m$，解得$m=1$，此时仅1个交点；当$l'$恰好过$(-1,1)$时，代入得$1=-1-3+m$，解得$m=5$，此时仅1个交点。因此当$1＜m＜5$时，$l'$上恰好有2个点的离心值为1。
【答案】
(1)$p(D)＜p(C)＜p(B)$
(2)①点M的坐标为$(-1, 1.5)$或$(-1, -1.5)$.
②点M组成的图形即线段HF，如答图2-5-2，其中$H(-1, 1)$，$F(-1, -1)$.

(3)$1＜m＜5$
【知识点】
新定义运算，一次函数平移，平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系与一次函数的相关知识，解题核心是准确理解“离心值”的含义，结合数形结合思想分析问题，注意临界取值的判断，避免漏解或范围出错。
【难度系数】
0.6