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13.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（
A.(1)处可填$∠ A=90°$
B.(2)处可填$AD=BC$
C.(3)处可填$AB=AD$
D.(4)处可填$∠ A=90°$
B
）A.(1)处可填$∠ A=90°$
B.(2)处可填$AD=BC$
C.(3)处可填$AB=AD$
D.(4)处可填$∠ A=90°$
答案
13.B
解析
【分析】
要解决本题，需先明确平行四边形、矩形、菱形、正方形四类特殊四边形的判定转化关系，再逐一验证每个选项给出的条件是否符合对应位置的转化要求，即可找到添加错误的选项。
首先回忆转化规则：
1. 平行四边形变为矩形：需添加“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件；
2. 矩形变为正方形：需添加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件；
3. 平行四边形变为菱形：需添加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件；
4. 菱形变为正方形：需添加“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. (1)处是平行四边形转化为矩形，添加∠A=90°，符合“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理，条件添加正确，不符合题意；
B. (2)处是矩形转化为正方形，矩形本身属于平行四边形，天然具有对边相等的性质，即AD=BC本来就成立，添加该条件无法使矩形变为正方形，应添加邻边相等的条件（如AB=AD），本项条件添加错误，符合题意；
C. (3)处是平行四边形转化为菱形，添加AB=AD，符合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定定理，条件添加正确，不符合题意；
D. (4)处是菱形转化为正方形，添加∠A=90°，符合“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理，条件添加正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形之间的转化关系，解题核心是熟练掌握各类特殊平行四边形的判定定理，注意区分不同转化路径的要求，不要混淆矩形和菱形推导为正方形所需的条件。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先明确平行四边形、矩形、菱形、正方形四类特殊四边形的判定转化关系，再逐一验证每个选项给出的条件是否符合对应位置的转化要求，即可找到添加错误的选项。
首先回忆转化规则：
1. 平行四边形变为矩形：需添加“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件；
2. 矩形变为正方形：需添加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件；
3. 平行四边形变为菱形：需添加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件；
4. 菱形变为正方形：需添加“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. (1)处是平行四边形转化为矩形，添加∠A=90°，符合“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理，条件添加正确，不符合题意；
B. (2)处是矩形转化为正方形，矩形本身属于平行四边形，天然具有对边相等的性质，即AD=BC本来就成立，添加该条件无法使矩形变为正方形，应添加邻边相等的条件（如AB=AD），本项条件添加错误，符合题意；
C. (3)处是平行四边形转化为菱形，添加AB=AD，符合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定定理，条件添加正确，不符合题意；
D. (4)处是菱形转化为正方形，添加∠A=90°，符合“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理，条件添加正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形之间的转化关系，解题核心是熟练掌握各类特殊平行四边形的判定定理，注意区分不同转化路径的要求，不要混淆矩形和菱形推导为正方形所需的条件。
【难度系数】
0.8
14. 如图所示,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,点$D$从点$B$出发沿$BC$边向点$C$运动,运动到点$C$停止,过点$D$分别作$DE// AC$交$AB$于点$E$,$DF// AB$交$AC$于点$F$,则四边形$AEDF$形状的变化依次为（
A.矩形→菱形→矩形
B.矩形→正方形→矩形
C.平行四边形→菱形→平行四边形
D.平行四边形→正方形→平行四边形
B
）A.矩形→菱形→矩形
B.矩形→正方形→矩形
C.平行四边形→菱形→平行四边形
D.平行四边形→正方形→平行四边形
答案
14.B
解析
【分析】
解题时先从恒定条件入手：首先由两组对边分别平行可判定四边形AEDF始终是平行四边形，再结合∠A=90°的恒定条件，可知这个平行四边形始终是矩形，因此可直接排除含菱形、普通平行四边形的选项；再分析动点运动过程，当矩形邻边相等时会变为正方形，过了该位置后又恢复为矩形，即可得出形状变化顺序。
【解析】
1. 初始形状判定：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），又
∵∠A=90°，
∴有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时四边形AEDF为矩形。
2. 中间变化分析：当点D运动到使AE=AF的位置时，邻边相等的矩形满足正方形的判定条件，此时四边形AEDF变为正方形。
3. 后续运动判定：D继续向C运动后，AE≠AF，邻边不再相等，四边形AEDF变回矩形，直到运动停止。
整个过程不会出现菱形、普通平行四边形，排除A、C、D，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题结合动点问题考查特殊四边形的判定，解题关键是抓住∠A为直角的恒定条件，可快速排除错误选项，再结合正方形的判定条件分析中间变化即可得到答案。
【难度系数】
0.7
解题时先从恒定条件入手：首先由两组对边分别平行可判定四边形AEDF始终是平行四边形，再结合∠A=90°的恒定条件，可知这个平行四边形始终是矩形，因此可直接排除含菱形、普通平行四边形的选项；再分析动点运动过程，当矩形邻边相等时会变为正方形，过了该位置后又恢复为矩形，即可得出形状变化顺序。
【解析】
1. 初始形状判定：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），又
∵∠A=90°，
∴有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时四边形AEDF为矩形。
2. 中间变化分析：当点D运动到使AE=AF的位置时，邻边相等的矩形满足正方形的判定条件，此时四边形AEDF变为正方形。
3. 后续运动判定：D继续向C运动后，AE≠AF，邻边不再相等，四边形AEDF变回矩形，直到运动停止。
整个过程不会出现菱形、普通平行四边形，排除A、C、D，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题结合动点问题考查特殊四边形的判定，解题关键是抓住∠A为直角的恒定条件，可快速排除错误选项，再结合正方形的判定条件分析中间变化即可得到答案。
【难度系数】
0.7
15.如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-1,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,3),则AB的长为
$5$
,点E的坐标为$( \dfrac{3}{2},5 )$
.答案
15.$5\ \ ( \dfrac{3}{2},5 )$
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步求AB的长，利用折叠前后对应边相等，可得BF=BC，而正方形边长相等，故BF=AB，设AB长为a，可表示出B点坐标，在Rt△BOF中用勾股定理列方程即可求出a的值；第二步求E点坐标，正方形CD边的纵坐标等于AB的长，设E的横坐标为x，结合折叠性质得EF=CE，再利用勾股定理列方程求解x，即可得到E的坐标。
【解析】
设正方形ABCD的边长AB为$a$。
1. 求AB的长：
已知点$A(-1,0)$，AB在x轴上，因此点B坐标为$(a-1,0)$，正方形边长$BC=AB=a$。
由折叠的性质可得$BF=BC=a$，又$F(0,3)$，故$OF=3$，$OB=a-1$。
在$Rt△ BOF$中，由勾股定理得：
$OB^2+OF^2=BF^2$，即$(a-1)^2+3^2=a^2$
展开化简：$a^2-2a+1+9=a^2$，解得$a=5$，即AB长为5。
2. 求点E的坐标：
由$AB=5$得B点坐标为$(4,0)$，正方形CD边所在直线为$y=5$，设$E(x,5)$，则C点坐标为$(4,5)$，故$CE=4-x$。
由折叠性质得$EF=CE=4-x$，根据两点间距离的勾股关系：
$EF^2=x^2+(5-3)^2=x^2+4$
因此$x^2+4=(4-x)^2$
展开化简：$x^2+4=16-8x+x^2$，解得$x=\frac{3}{2}$，故E点坐标为$(\frac{3}{2},5)$。
【答案】
$5\ \ (\dfrac{3}{2},5)$
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何折叠结合的典型题型，解题核心是利用折叠的相等关系结合勾股定理列方程求解，能有效考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.65
解题分两步进行：第一步求AB的长，利用折叠前后对应边相等，可得BF=BC，而正方形边长相等，故BF=AB，设AB长为a，可表示出B点坐标，在Rt△BOF中用勾股定理列方程即可求出a的值；第二步求E点坐标，正方形CD边的纵坐标等于AB的长，设E的横坐标为x，结合折叠性质得EF=CE，再利用勾股定理列方程求解x，即可得到E的坐标。
【解析】
设正方形ABCD的边长AB为$a$。
1. 求AB的长：
已知点$A(-1,0)$，AB在x轴上，因此点B坐标为$(a-1,0)$，正方形边长$BC=AB=a$。
由折叠的性质可得$BF=BC=a$，又$F(0,3)$，故$OF=3$，$OB=a-1$。
在$Rt△ BOF$中，由勾股定理得：
$OB^2+OF^2=BF^2$，即$(a-1)^2+3^2=a^2$
展开化简：$a^2-2a+1+9=a^2$，解得$a=5$，即AB长为5。
2. 求点E的坐标：
由$AB=5$得B点坐标为$(4,0)$，正方形CD边所在直线为$y=5$，设$E(x,5)$，则C点坐标为$(4,5)$，故$CE=4-x$。
由折叠性质得$EF=CE=4-x$，根据两点间距离的勾股关系：
$EF^2=x^2+(5-3)^2=x^2+4$
因此$x^2+4=(4-x)^2$
展开化简：$x^2+4=16-8x+x^2$，解得$x=\frac{3}{2}$，故E点坐标为$(\frac{3}{2},5)$。
【答案】
$5\ \ (\dfrac{3}{2},5)$
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何折叠结合的典型题型，解题核心是利用折叠的相等关系结合勾股定理列方程求解，能有效考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.65
16.如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且E，F两点关于对角线AC所在的直线对称，连接AE，AF，EF，∠EAF=60°。
（1）∠BAE的度数是
（2）若对角线AC交EF于点G，CF=$\sqrt{2}$，则线段AG的长是
（1）∠BAE的度数是
$15°$
；（2）若对角线AC交EF于点G，CF=$\sqrt{2}$，则线段AG的长是
$\sqrt{3}$
。答案
16.(1)$15°$ (2)$\sqrt{3}$
解析
【分析】
（1）解题思路：首先利用正方形的性质可得∠BAD=90°，对角线AC平分∠BAD，因此∠BAC=∠DAC=45°；再结合E、F关于AC对称的性质，可得AE=AF，∠BAE=∠DAF；已知∠EAF=60°，可推出△AEF是等边三角形，先计算∠BAE与∠DAF的和为90°-60°=30°，即可求出单个角的度数。
（2）解题思路：先由CE=CF，∠C=90°，判定△ECF是等腰直角三角形，结合CF=√2求出EF的长度；再根据AC垂直平分EF，得G是EF中点，△AEF为等边三角形，利用等边三角形高的计算公式即可求出AG的长度。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，对角线AC平分∠BAD，即∠BAC=∠DAC=45°。
∵点E、F关于AC所在直线对称，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，CE=CF。
又
∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF是等边三角形。
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，
∴∠BAE=30°÷2=15°。
（2）
∵CE=CF，∠BCD=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
已知CF=√2，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CF^2+CE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
∵E、F关于AC对称，
∴AC⊥EF，且G为EF的中点。
∵△AEF是等边三角形，AG是等边三角形的高，
∴$AG=\frac{\sqrt{3}}{2} × EF = \frac{\sqrt{3}}{2} ×2=\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$15°$；（2）$\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【点评】
本题将正方形、轴对称、特殊三角形的性质结合考查，需要熟练掌握各类几何图形的性质，利用对称性找到边、角的等量关系是解题的突破口，能有效考查学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.65
（1）解题思路：首先利用正方形的性质可得∠BAD=90°，对角线AC平分∠BAD，因此∠BAC=∠DAC=45°；再结合E、F关于AC对称的性质，可得AE=AF，∠BAE=∠DAF；已知∠EAF=60°，可推出△AEF是等边三角形，先计算∠BAE与∠DAF的和为90°-60°=30°，即可求出单个角的度数。
（2）解题思路：先由CE=CF，∠C=90°，判定△ECF是等腰直角三角形，结合CF=√2求出EF的长度；再根据AC垂直平分EF，得G是EF中点，△AEF为等边三角形，利用等边三角形高的计算公式即可求出AG的长度。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，对角线AC平分∠BAD，即∠BAC=∠DAC=45°。
∵点E、F关于AC所在直线对称，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，CE=CF。
又
∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF是等边三角形。
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，
∴∠BAE=30°÷2=15°。
（2）
∵CE=CF，∠BCD=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
已知CF=√2，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CF^2+CE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
∵E、F关于AC对称，
∴AC⊥EF，且G为EF的中点。
∵△AEF是等边三角形，AG是等边三角形的高，
∴$AG=\frac{\sqrt{3}}{2} × EF = \frac{\sqrt{3}}{2} ×2=\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$15°$；（2）$\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【点评】
本题将正方形、轴对称、特殊三角形的性质结合考查，需要熟练掌握各类几何图形的性质，利用对称性找到边、角的等量关系是解题的突破口，能有效考查学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.65
