登录
17.如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线BD上一点，连接AO，OC，OE⊥AO交BC于点E.求证：
(1)$AO=OC$；
(2)$OC=OE$.
(1)$AO=OC$；
(2)$OC=OE$.
答案
17.证明:(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore ∠ ADO=∠ CDO=45°,AD=CD$.
又 $OD=OD,\therefore △ AOD≌△ COD(\mathrm{SAS}).\therefore AO=OC$.
(2)如图所示,过点 $O$ 作 $OF⊥ AB$ 于点 $F$,$OG⊥ BC$ 于点 $G$,则 $∠ AFO=∠ EGO=90°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore BD$ 平分 $∠ ABC,∠ ABC=90°$.
$\therefore OF=OG,∠ FOG=90°$.
$\because OE⊥ AO,\therefore ∠ AOE=90°$.
$\therefore ∠ AOF+∠ EOF=∠ EOF+∠ EOG.\therefore ∠ AOF=∠ EOG$.
$\therefore △ AOF≌△ EOG(\mathrm{ASA}).\therefore AO=OE$.
由(1),得 $AO=OC,\therefore OC=OE$.
解析
【分析】
(1) 要证AO=OC，可通过证明△AOD与△COD全等推导。正方形的边AD=CD，对角线BD平分∠ADC得∠ADO=∠CDO，结合公共边OD，满足SAS全等判定条件，即可证得对应边AO=OC。
(2) 要证OC=OE，结合(1)的结论可转化为证AO=OE。过O作OF⊥AB、OG⊥BC，利用BD是正方形角平分线的性质得OF=OG；再根据AO⊥OE和∠FOG=90°，推导得∠AOF=∠EOG，满足ASA全等判定条件证△AOF≌△EOG，得AO=OE，最后等量代换即可得证。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ADO=∠CDO=45°，AD=CD。
又OD=OD，
∴ △AOD≌△COD（SAS），
∴ AO=OC。
(2) 过点O作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，则∠AFO=∠EGO=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BD平分∠ABC，∠ABC=90°。
∴ OF=OG，∠FOG=90°。
∵ OE⊥AO，
∴ ∠AOE=90°。
∴ ∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠EOG，即∠AOF=∠EOG。
∴ △AOF≌△EOG（ASA），
∴ AO=OE。
由(1)得AO=OC，
∴ OC=OE。
【答案】
证明如下：
(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore ∠ ADO=∠ CDO=45°,AD=CD$.
又 $OD=OD,\therefore △ AOD≌△ COD(\mathrm{SAS}).\therefore AO=OC$.
(2)如图所示,过点 $O$ 作 $OF⊥ AB$ 于点 $F$,$OG⊥ BC$ 于点 $G$,则 $∠ AFO=∠ EGO=90°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore BD$ 平分 $∠ ABC,∠ ABC=90°$.
$\therefore OF=OG,∠ FOG=90°$.
$\because OE⊥ AO,\therefore ∠ AOE=90°$.
$\therefore ∠ AOF+∠ EOF=∠ EOF+∠ EOG.\therefore ∠ AOF=∠ EOG$.
$\therefore △ AOF≌△ EOG(\mathrm{ASA}).\therefore AO=OE$.
由(1),得 $AO=OC,\therefore OC=OE$.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，第一问可直接利用正方形性质找全等条件快速证明；第二问的解题关键是合理构造垂直辅助线得到全等三角形，能有效锻炼几何逻辑推理和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AO=OC，可通过证明△AOD与△COD全等推导。正方形的边AD=CD，对角线BD平分∠ADC得∠ADO=∠CDO，结合公共边OD，满足SAS全等判定条件，即可证得对应边AO=OC。
(2) 要证OC=OE，结合(1)的结论可转化为证AO=OE。过O作OF⊥AB、OG⊥BC，利用BD是正方形角平分线的性质得OF=OG；再根据AO⊥OE和∠FOG=90°，推导得∠AOF=∠EOG，满足ASA全等判定条件证△AOF≌△EOG，得AO=OE，最后等量代换即可得证。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ADO=∠CDO=45°，AD=CD。
又OD=OD，
∴ △AOD≌△COD（SAS），
∴ AO=OC。
(2) 过点O作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，则∠AFO=∠EGO=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BD平分∠ABC，∠ABC=90°。
∴ OF=OG，∠FOG=90°。
∵ OE⊥AO，
∴ ∠AOE=90°。
∴ ∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠EOG，即∠AOF=∠EOG。
∴ △AOF≌△EOG（ASA），
∴ AO=OE。
由(1)得AO=OC，
∴ OC=OE。
【答案】
证明如下：
(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore ∠ ADO=∠ CDO=45°,AD=CD$.
又 $OD=OD,\therefore △ AOD≌△ COD(\mathrm{SAS}).\therefore AO=OC$.
(2)如图所示,过点 $O$ 作 $OF⊥ AB$ 于点 $F$,$OG⊥ BC$ 于点 $G$,则 $∠ AFO=∠ EGO=90°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore BD$ 平分 $∠ ABC,∠ ABC=90°$.
$\therefore OF=OG,∠ FOG=90°$.
$\because OE⊥ AO,\therefore ∠ AOE=90°$.
$\therefore ∠ AOF+∠ EOF=∠ EOF+∠ EOG.\therefore ∠ AOF=∠ EOG$.
$\therefore △ AOF≌△ EOG(\mathrm{ASA}).\therefore AO=OE$.
由(1),得 $AO=OC,\therefore OC=OE$.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，第一问可直接利用正方形性质找全等条件快速证明；第二问的解题关键是合理构造垂直辅助线得到全等三角形，能有效锻炼几何逻辑推理和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7
18.综合与实践.
【问题情境】
如图(1)所示,在正方形ABCD中,∠EAF=45°,AE,AF分别与BC,CD交于点E,F.
【探索发现】
(1)如图(1)所示,为探究线段BE,EF,DF之间的数量关系,小杨延长CB至点G,使得BG=DF,连接AG.先证明△ABG≌△ADF,再证明△AEF≌△AEG,即可得到BE,EF,DF之间的数量关系为
【操作探究】
(2)如图(2)所示,当点E,F分别在CB,DC的延长线上时,请根据上述小杨的思路,探究线段BE,EF,DF之间的数量关系.
【问题解决】
(3)如图(3)所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E在BC边上,且∠DAE=45°.若BD=3,DE=5,则BC的长为
【问题情境】
如图(1)所示,在正方形ABCD中,∠EAF=45°,AE,AF分别与BC,CD交于点E,F.
【探索发现】
(1)如图(1)所示,为探究线段BE,EF,DF之间的数量关系,小杨延长CB至点G,使得BG=DF,连接AG.先证明△ABG≌△ADF,再证明△AEF≌△AEG,即可得到BE,EF,DF之间的数量关系为
$BE+DF=EF$
.【操作探究】
(2)如图(2)所示,当点E,F分别在CB,DC的延长线上时,请根据上述小杨的思路,探究线段BE,EF,DF之间的数量关系.
【问题解决】
(3)如图(3)所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E在BC边上,且∠DAE=45°.若BD=3,DE=5,则BC的长为
$12$
.答案
18.(1)$BE+DF=EF$
(2)解:如图所示,延长 $BE$ 至点 $G$,使得 $BG=DF$,连接 $AG$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AD=AB,∠ D=∠ ABC=90°$.
$\therefore ∠ ABG=90°$.
在 $△ ADF$ 和 $△ ABG$ 中,$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ D=∠ ABG, \\ DF=BG, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ ABG(\mathrm{SAS}).\therefore ∠ DAF=∠ BAG,AF=AG$.
$\therefore ∠ GAF=∠ BAG+∠ BAF=∠ DAF+∠ BAF=90°$.
$\because ∠ EAF=45°,\therefore ∠ EAG=∠ GAF-∠ EAF=45°.\therefore ∠ EAF=∠ EAG$.
在 $△ EAF$ 和 $△ EAG$ 中,$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠ EAF=∠ EAG, \\ AF=AG. \end{cases}$
$\therefore △ EAF≌△ EAG(\mathrm{SAS}).\therefore EF=EG$.
$\because BG=BE+GE,BG=DF,\therefore DF=BE+EF$.
(3)$12$
解析
【分析】
(1) 采用截长补短的构造思路：延长CB到G使BG=DF，先利用正方形边相等、角为直角的性质证明△ABG≌△ADF，得到AG=AF、∠BAG=∠DAF，结合∠EAF=45°可推出∠EAG=∠EAF=45°，再证明△AEF≌△AEG，将EF转化为EG，而EG=BE+BG=BE+DF，即可得到三者数量关系。
(2) 类比第(1)问的构造方法，在BE延长线上取点G使BG=DF，先证△ADF≌△ABG得到边和角的等量关系，结合∠EAF=45°推出∠EAG=∠EAF，再证明△EAF≌△EAG，将EF转化为EG，根据BG=BE+EG、BG=DF推导即可得到线段关系。
(3) 属于等腰直角三角形半角模型，类比正方形半角模型的构造方法，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，先证△ADE≌△AFE得到EF=DE=5，再推导得∠ECF=90°，用勾股定理求出CE长度，即可得到BC总长。
【解析】
(1) 按题中证明思路，△ABG≌△ADF得BG=DF，△AEF≌△AEG得EF=EG，
∵EG=BE+BG=BE+DF，
∴EF=BE+DF。
(2) 如图所示，延长 $BE$ 至点 $G$,使得 $BG=DF$,连接 $AG$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AD=AB,∠ D=∠ ABC=90°$.
$\therefore ∠ ABG=90°$.
在 $△ ADF$ 和 $△ ABG$ 中,$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ D=∠ ABG, \\ DF=BG, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ ABG(\mathrm{SAS}).\therefore ∠ DAF=∠ BAG,AF=AG$.
$\therefore ∠ GAF=∠ BAG+∠ BAF=∠ DAF+∠ BAF=90°$.
$\because ∠ EAF=45°,\therefore ∠ EAG=∠ GAF-∠ EAF=45°.\therefore ∠ EAF=∠ EAG$.
在 $△ EAF$ 和 $△ EAG$ 中,$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠ EAF=∠ EAG, \\ AF=AG. \end{cases}$
$\therefore △ EAF≌△ EAG(\mathrm{SAS}).\therefore EF=EG$.
$\because BG=BE+GE,BG=DF,\therefore DF=BE+EF$.
(3) 将△ABD绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，得到△ACF，连接EF。
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，由旋转性质得△ABD≌△ACF，
∴CF=BD=3，∠ACF=∠B=45°，∠CAF=∠BAD，AD=AF。
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠DAC+∠BAD=∠BAC=90°。
∵∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠DAF-∠DAE=45°=∠DAE。
在△ADE和△AFE中，$\begin{cases} AD=AF \\ ∠DAE=∠FAE \\ AE=AE \end{cases}$
∴△ADE≌△AFE(SAS)，
∴EF=DE=5。
在Rt△ECF中，由勾股定理得$EC=\sqrt{EF^2-CF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∴BC=BD+DE+EC=3+5+4=12。
【答案】
(1)$BE+DF=EF$
(2)解:如图所示,延长 $BE$ 至点 $G$,使得 $BG=DF$,连接 $AG$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AD=AB,∠ D=∠ ABC=90°$.
$\therefore ∠ ABG=90°$.
在 $△ ADF$ 和 $△ ABG$ 中,$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ D=∠ ABG, \\ DF=BG, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ ABG(\mathrm{SAS}).\therefore ∠ DAF=∠ BAG,AF=AG$.
$\therefore ∠ GAF=∠ BAG+∠ BAF=∠ DAF+∠ BAF=90°$.
$\because ∠ EAF=45°,\therefore ∠ EAG=∠ GAF-∠ EAF=45°.\therefore ∠ EAF=∠ EAG$.
在 $△ EAF$ 和 $△ EAG$ 中,$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠ EAF=∠ EAG, \\ AF=AG. \end{cases}$
$\therefore △ EAF≌△ EAG(\mathrm{SAS}).\therefore EF=EG$.
$\because BG=BE+GE,BG=DF,\therefore DF=BE+EF$.
(3)$12$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题围绕半角模型展开，通过构造全等三角形实现线段和角的转化，考查了类比迁移的解题思想，解题时要注意图形位置变化时线段和差关系的调整，熟练掌握半角模型的构造方法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
(1) 采用截长补短的构造思路：延长CB到G使BG=DF，先利用正方形边相等、角为直角的性质证明△ABG≌△ADF，得到AG=AF、∠BAG=∠DAF，结合∠EAF=45°可推出∠EAG=∠EAF=45°，再证明△AEF≌△AEG，将EF转化为EG，而EG=BE+BG=BE+DF，即可得到三者数量关系。
(2) 类比第(1)问的构造方法，在BE延长线上取点G使BG=DF，先证△ADF≌△ABG得到边和角的等量关系，结合∠EAF=45°推出∠EAG=∠EAF，再证明△EAF≌△EAG，将EF转化为EG，根据BG=BE+EG、BG=DF推导即可得到线段关系。
(3) 属于等腰直角三角形半角模型，类比正方形半角模型的构造方法，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，先证△ADE≌△AFE得到EF=DE=5，再推导得∠ECF=90°，用勾股定理求出CE长度，即可得到BC总长。
【解析】
(1) 按题中证明思路，△ABG≌△ADF得BG=DF，△AEF≌△AEG得EF=EG，
∵EG=BE+BG=BE+DF，
∴EF=BE+DF。
(2) 如图所示，延长 $BE$ 至点 $G$,使得 $BG=DF$,连接 $AG$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AD=AB,∠ D=∠ ABC=90°$.
$\therefore ∠ ABG=90°$.
在 $△ ADF$ 和 $△ ABG$ 中,$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ D=∠ ABG, \\ DF=BG, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ ABG(\mathrm{SAS}).\therefore ∠ DAF=∠ BAG,AF=AG$.
$\therefore ∠ GAF=∠ BAG+∠ BAF=∠ DAF+∠ BAF=90°$.
$\because ∠ EAF=45°,\therefore ∠ EAG=∠ GAF-∠ EAF=45°.\therefore ∠ EAF=∠ EAG$.
在 $△ EAF$ 和 $△ EAG$ 中,$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠ EAF=∠ EAG, \\ AF=AG. \end{cases}$
$\therefore △ EAF≌△ EAG(\mathrm{SAS}).\therefore EF=EG$.
$\because BG=BE+GE,BG=DF,\therefore DF=BE+EF$.
(3) 将△ABD绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，得到△ACF，连接EF。
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，由旋转性质得△ABD≌△ACF，
∴CF=BD=3，∠ACF=∠B=45°，∠CAF=∠BAD，AD=AF。
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠DAC+∠BAD=∠BAC=90°。
∵∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠DAF-∠DAE=45°=∠DAE。
在△ADE和△AFE中，$\begin{cases} AD=AF \\ ∠DAE=∠FAE \\ AE=AE \end{cases}$
∴△ADE≌△AFE(SAS)，
∴EF=DE=5。
在Rt△ECF中，由勾股定理得$EC=\sqrt{EF^2-CF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∴BC=BD+DE+EC=3+5+4=12。
【答案】
(1)$BE+DF=EF$
(2)解:如图所示,延长 $BE$ 至点 $G$,使得 $BG=DF$,连接 $AG$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AD=AB,∠ D=∠ ABC=90°$.
$\therefore ∠ ABG=90°$.
在 $△ ADF$ 和 $△ ABG$ 中,$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ D=∠ ABG, \\ DF=BG, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ ABG(\mathrm{SAS}).\therefore ∠ DAF=∠ BAG,AF=AG$.
$\therefore ∠ GAF=∠ BAG+∠ BAF=∠ DAF+∠ BAF=90°$.
$\because ∠ EAF=45°,\therefore ∠ EAG=∠ GAF-∠ EAF=45°.\therefore ∠ EAF=∠ EAG$.
在 $△ EAF$ 和 $△ EAG$ 中,$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠ EAF=∠ EAG, \\ AF=AG. \end{cases}$
$\therefore △ EAF≌△ EAG(\mathrm{SAS}).\therefore EF=EG$.
$\because BG=BE+GE,BG=DF,\therefore DF=BE+EF$.
(3)$12$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题围绕半角模型展开，通过构造全等三角形实现线段和角的转化，考查了类比迁移的解题思想，解题时要注意图形位置变化时线段和差关系的调整，熟练掌握半角模型的构造方法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
