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一、选择题
1.若 $xy＜0$，则化简$\sqrt{x^2 y}$的结果是 （）
A.$x\sqrt{y}$
B.$-x\sqrt{y}$
C.$x\sqrt{-y}$
D.$-x\sqrt{-y}$
1.若 $xy＜0$，则化简$\sqrt{x^2 y}$的结果是 （）
A.$x\sqrt{y}$
B.$-x\sqrt{y}$
C.$x\sqrt{-y}$
D.$-x\sqrt{-y}$
答案
B
解析
要使二次根式$\sqrt{x^2 y}$有意义，则被开方数$x^2 y ≥ 0$，
因为$x^2 ≥ 0$恒成立，所以可得$y ≥ 0$。
已知$xy ＜ 0$，说明$x$和$y$异号，结合$y ≥ 0$且$xy ≠ 0$，可得$y＞0$，$x＜0$。
对$\sqrt{x^2 y}$化简：
$\sqrt{x^2 y} = \sqrt{x^2} · \sqrt{y} = |x| · \sqrt{y}$，
因为$x＜0$，所以$|x|=-x$，因此化简结果为$-x\sqrt{y}$。
因为$x^2 ≥ 0$恒成立，所以可得$y ≥ 0$。
已知$xy ＜ 0$，说明$x$和$y$异号，结合$y ≥ 0$且$xy ≠ 0$，可得$y＞0$，$x＜0$。
对$\sqrt{x^2 y}$化简：
$\sqrt{x^2 y} = \sqrt{x^2} · \sqrt{y} = |x| · \sqrt{y}$，
因为$x＜0$，所以$|x|=-x$，因此化简结果为$-x\sqrt{y}$。
2.下列说法中，正确的有（）
①对角线相等且互相垂直的四边形是菱形；
②邻边相等的平行四边形是正方形；
③对角线相等且互相垂直平分的四边形是矩形；
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；
⑤有一个内角是$60°$的平行四边形是菱形。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①对角线相等且互相垂直的四边形是菱形；
②邻边相等的平行四边形是正方形；
③对角线相等且互相垂直平分的四边形是矩形；
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；
⑤有一个内角是$60°$的平行四边形是菱形。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
逐个判断各说法：
①对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅相等且垂直无法判定是菱形，①错误；
②邻边相等的平行四边形是菱形，不是正方形，②错误；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，再加对角线相等则为正方形，不是矩形，③错误；
④根据三角形中位线性质，顺次连接菱形各边中点的四边形，对边平行且邻边互相垂直，是矩形，④正确；
⑤有一个内角是60°的平行四边形，邻边不一定相等，无法判定是菱形，⑤错误。
综上只有1个说法正确。
①对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅相等且垂直无法判定是菱形，①错误；
②邻边相等的平行四边形是菱形，不是正方形，②错误；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，再加对角线相等则为正方形，不是矩形，③错误；
④根据三角形中位线性质，顺次连接菱形各边中点的四边形，对边平行且邻边互相垂直，是矩形，④正确；
⑤有一个内角是60°的平行四边形，邻边不一定相等，无法判定是菱形，⑤错误。
综上只有1个说法正确。
3.若函数$y=kx+b(k,b$是常数$)$的图象不经过第二象限,则$k,b$应满足的条件是
$\begin{array}{llll}\mathrm{A.}k≥ 0\mathrm{且}b≤ 0&\mathrm{B.}k＞0\mathrm{且}b≤ 0&\mathrm{C.}k≥ 0\mathrm{且}b＜0&\mathrm{D.}k＞0\mathrm{且}b＜0\end{array}$
$\begin{array}{llll}\mathrm{A.}k≥ 0\mathrm{且}b≤ 0&\mathrm{B.}k＞0\mathrm{且}b≤ 0&\mathrm{C.}k≥ 0\mathrm{且}b＜0&\mathrm{D.}k＞0\mathrm{且}b＜0\end{array}$
答案
解：
分情况讨论：
1. 当k=0时，函数为常值函数y=b，若图像不经过第二象限，需满足b≤0，此时图像为平行于x轴的直线（或x轴本身），所有点的纵坐标均不大于0，不会出现在y＞0的第二象限，符合要求。
2. 当k≠0时，函数为一次函数，若图像不经过第二象限，直线需呈上升趋势，即k＞0，且直线与y轴的交点不能落在y轴正半轴，即b≤0，此时图像经过第一、第三象限（b=0时）或第一、第三、第四象限（b＜0时），均不经过第二象限，符合要求。
3. 当k＜0时，无论b取何值，直线呈下降趋势，必然经过第二象限，不符合要求。
综上，k、b应满足的条件是k≥0且b≤0，故选A。
分情况讨论：
1. 当k=0时，函数为常值函数y=b，若图像不经过第二象限，需满足b≤0，此时图像为平行于x轴的直线（或x轴本身），所有点的纵坐标均不大于0，不会出现在y＞0的第二象限，符合要求。
2. 当k≠0时，函数为一次函数，若图像不经过第二象限，直线需呈上升趋势，即k＞0，且直线与y轴的交点不能落在y轴正半轴，即b≤0，此时图像经过第一、第三象限（b=0时）或第一、第三、第四象限（b＜0时），均不经过第二象限，符合要求。
3. 当k＜0时，无论b取何值，直线呈下降趋势，必然经过第二象限，不符合要求。
综上，k、b应满足的条件是k≥0且b≤0，故选A。
4.学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生，在这次义卖活动中，某班级售书情况如下表：
下列说法正确的是 （）
A.该班级所售图书的总收入是226元
B.在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4
C.在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15
D.在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2
下列说法正确的是 （）
A.该班级所售图书的总收入是226元
B.在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4
C.在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15
D.在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2
答案
A
解析
我们逐个验证选项：
1. 验证A：计算总收入：$3×14 + 4×11 + 5×10 + 6×15 = 42 + 44 + 50 + 90 = 226$元，A正确。
2. 验证B：总售书数量为$14+11+10+15=50$本，中位数是排序后第25、26个数据的平均数：前14个数据为3，第15~25个数据为4，第26个数据为5，因此中位数为$\frac{4+5}{2}=4.5$，B错误。
3. 验证C：售价6元的图书售出数量最多，因此售价数据的众数是6，C错误。
4. 验证D：售价数据的平均数为$226÷50=4.52$，代入方差公式计算，结果不等于2，D错误。
1. 验证A：计算总收入：$3×14 + 4×11 + 5×10 + 6×15 = 42 + 44 + 50 + 90 = 226$元，A正确。
2. 验证B：总售书数量为$14+11+10+15=50$本，中位数是排序后第25、26个数据的平均数：前14个数据为3，第15~25个数据为4，第26个数据为5，因此中位数为$\frac{4+5}{2}=4.5$，B错误。
3. 验证C：售价6元的图书售出数量最多，因此售价数据的众数是6，C错误。
4. 验证D：售价数据的平均数为$226÷50=4.52$，代入方差公式计算，结果不等于2，D错误。
5.如图，这是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成的.若小正方形的面积是1，$AM=2$，则大正方形的边长是（）
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{13}$
D.13
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{13}$
D.13
答案
C
解析
1. 由小正方形的面积是1，可得小正方形的边长为1。
2. 因为四个直角三角形全等，已知AM=2，所以直角三角形的另一条直角边长为2+1=3。
3. 根据勾股定理，大正方形的边长等于该直角三角形的斜边长，计算得斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
2. 因为四个直角三角形全等，已知AM=2，所以直角三角形的另一条直角边长为2+1=3。
3. 根据勾股定理，大正方形的边长等于该直角三角形的斜边长，计算得斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
