登录
1. 如图，AD 是$△ ABC$的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，其中能判断$□ ADCE$是菱形的是（
A.$∠ BAC=90°$
B.$∠ DAE=90°$
C.$AB=AC$
D.$AB=AE$
A
）A.$∠ BAC=90°$
B.$∠ DAE=90°$
C.$AB=AC$
D.$AB=AE$
答案
1. A
解析
【分析】要判断平行四边形ADCE是菱形，需依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”这一判定定理分析。首先由AD是△ABC的中线可得D是BC的中点，即BD=DC；平行四边形ADCE中DC与AE相等、AD与EC相等，只需推出AD=DC，即可证明其为菱形，接下来逐一分析各选项条件是否能推出AD=DC即可。
【解析】
已知AD是△ABC的中线，因此D为BC的中点，即BD=DC。
四边形ADCE是平行四边形，因此有AE=DC，AD=EC，AE//DC。
对各选项逐一分析：
选项A：若∠BAC=90°，则△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AD=½BC=DC。平行四边形ADCE中邻边AD=DC，因此□ADCE是菱形，该选项符合要求。
选项B：若∠DAE=90°，则有一个内角为直角的平行四边形是矩形，无法判定为菱形，该选项不符合要求。
选项C：若AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，即∠ADC=90°，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，无法判定为菱形，该选项不符合要求。
选项D：若AB=AE，由AE=DC=BD可得AB=BD，无法推出AD=DC，不能判定□ADCE是菱形，该选项不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】菱形的判定；直角三角形的性质；平行四边形的性质
【点评】本题属于几何基础判定题，需要结合三角形和平行四边形的性质综合分析，熟练掌握各类特殊图形的性质和判定定理是解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】
已知AD是△ABC的中线，因此D为BC的中点，即BD=DC。
四边形ADCE是平行四边形，因此有AE=DC，AD=EC，AE//DC。
对各选项逐一分析：
选项A：若∠BAC=90°，则△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AD=½BC=DC。平行四边形ADCE中邻边AD=DC，因此□ADCE是菱形，该选项符合要求。
选项B：若∠DAE=90°，则有一个内角为直角的平行四边形是矩形，无法判定为菱形，该选项不符合要求。
选项C：若AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，即∠ADC=90°，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，无法判定为菱形，该选项不符合要求。
选项D：若AB=AE，由AE=DC=BD可得AB=BD，无法推出AD=DC，不能判定□ADCE是菱形，该选项不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】菱形的判定；直角三角形的性质；平行四边形的性质
【点评】本题属于几何基础判定题，需要结合三角形和平行四边形的性质综合分析，熟练掌握各类特殊图形的性质和判定定理是解题的关键。
【难度系数】0.7
2. 如图,四边形 ABCD 是正方形,延长BC 至点 E,使 $CE=CA$,连接 AE 交CD 于点 F,则$∠AFC$是（
A.$150°$
B.$125°$
C.$135°$
D.$112.5°$
D
）A.$150°$
B.$125°$
C.$135°$
D.$112.5°$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质得到对角线分内角为45°、CD与BE垂直的结论，再结合CE=CA的条件可知△ACE是等腰三角形，先计算出△ACE的顶角度数，进而求出底角∠E的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠AFC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为正方形的对角线
∴∠ACB=∠ACD=45°，∠DCE=90°
∵CE=CA
∴△ACE为等腰三角形，∠CAE=∠E
∵∠ACE=180°-∠ACB=180°-45°=135°
∴∠E=(180°-∠ACE)÷2=(180°-135°)÷2=22.5°
∵∠AFC是△FCE的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠AFC=∠DCE+∠E=90°+22.5°=112.5°
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握正方形、等腰三角形的相关性质，结合三角形外角性质即可快速求解，有助于训练学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形的性质得到对角线分内角为45°、CD与BE垂直的结论，再结合CE=CA的条件可知△ACE是等腰三角形，先计算出△ACE的顶角度数，进而求出底角∠E的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠AFC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为正方形的对角线
∴∠ACB=∠ACD=45°，∠DCE=90°
∵CE=CA
∴△ACE为等腰三角形，∠CAE=∠E
∵∠ACE=180°-∠ACB=180°-45°=135°
∴∠E=(180°-∠ACE)÷2=(180°-135°)÷2=22.5°
∵∠AFC是△FCE的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠AFC=∠DCE+∠E=90°+22.5°=112.5°
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握正方形、等腰三角形的相关性质，结合三角形外角性质即可快速求解，有助于训练学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,AC 的垂直平分线分别交 AC,AB 于点 D,F,$BE ⊥ DF$交 DF 的延长线于点 E.已知$∠ A = 30°$,$DF = 2$,$AF = BF$,则四边形BCDE 的周长为（
A.$4\sqrt{3}$
B.$8$
C.$4 + 4\sqrt{3}$
D.$8 + 4\sqrt{3}$
D
）A.$4\sqrt{3}$
B.$8$
C.$4 + 4\sqrt{3}$
D.$8 + 4\sqrt{3}$
答案
3. D
解析
【分析】
首先根据线段垂直平分线的性质，可得D是AC中点且DE⊥AC；再结合AF=BF可知F是AB中点，因此DF是△ABC的中位线，可推出DF与BC的数量和位置关系，得到BC的长度，同时可判定四边形BCDE是矩形；接着在Rt△ADF中利用30°直角三角形的性质和勾股定理算出AD的长，即可得到CD的长度；最后根据矩形边长的关系计算周长即可。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，∠ADF=∠CDE=90°，
又
∵AF=BF，即F为AB中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF//BC，$DF=\frac{1}{2}BC$，
∴$BC=2DF=2×2=4$，∠C=∠ADF=90°，
∵BE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD，DE=BC=4，
在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=2，
∴AF=2DF=4，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$CD=AD=2\sqrt{3}$，$BE=2\sqrt{3}$，
∴四边形BCDE的周长为：$BC+CD+DE+BE=4+2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}=8+4\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，矩形的性质
【点评】
本题属于中等难度的综合题，将三角形的相关性质和矩形的判定、性质结合考查，解题的关键是先明确DF的中位线属性，再推导四边形的形状，结合直角三角形的性质计算各边长度。
【难度系数】
0.6
首先根据线段垂直平分线的性质，可得D是AC中点且DE⊥AC；再结合AF=BF可知F是AB中点，因此DF是△ABC的中位线，可推出DF与BC的数量和位置关系，得到BC的长度，同时可判定四边形BCDE是矩形；接着在Rt△ADF中利用30°直角三角形的性质和勾股定理算出AD的长，即可得到CD的长度；最后根据矩形边长的关系计算周长即可。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，∠ADF=∠CDE=90°，
又
∵AF=BF，即F为AB中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF//BC，$DF=\frac{1}{2}BC$，
∴$BC=2DF=2×2=4$，∠C=∠ADF=90°，
∵BE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD，DE=BC=4，
在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=2，
∴AF=2DF=4，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$CD=AD=2\sqrt{3}$，$BE=2\sqrt{3}$，
∴四边形BCDE的周长为：$BC+CD+DE+BE=4+2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}=8+4\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，矩形的性质
【点评】
本题属于中等难度的综合题，将三角形的相关性质和矩形的判定、性质结合考查，解题的关键是先明确DF的中位线属性，再推导四边形的形状，结合直角三角形的性质计算各边长度。
【难度系数】
0.6
4. 下列条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（
A.$AB=CD,AD=BC$
B.$AB// CD,∠ B=∠ D$
C.$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$
D.$AB=CD,∠ BAC=∠ ACD$
C
）A.$AB=CD,AD=BC$
B.$AB// CD,∠ B=∠ D$
C.$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$
D.$AB=CD,∠ BAC=∠ ACD$
答案
4. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求是选出不能判定四边形ABCD为平行四边形的选项。解题思路为：先回忆平行四边形的判定定理，再结合平行线性质、四边形内角和定理，对每个选项逐一分析推导，能证明是平行四边形的选项直接排除；若无法推导或存在反例，则为符合题意的答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，由$AB=CD,AD=BC$可直接判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意。
选项B：已知$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”得$∠ B + ∠ C = 180°$，又$∠ B=∠ D$，因此$∠ D + ∠ C = 180°$，可推出$AD// BC$。两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此可判定，不符合题意。
选项C：四边形内角和为$360°$，由$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$得$2∠ A + 2∠ C = 360°$，即$∠ A + ∠ C = 180°$，又$∠ A=∠ B$，因此$∠ B + ∠ C = 180°$，仅能推出$AD// BC$，无法证明另一组对边平行/相等。反例：等腰梯形满足$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$，但不是平行四边形，因此不能判定，符合题意。
选项D：由$∠ BAC=∠ ACD$可推出$AB// CD$，又$AB=CD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、平行线的性质与判定、四边形内角和定理
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题，需要熟练掌握平行四边形的各类判定定理，解题时可通过推导或举反例的方式验证选项，注意区分平行四边形和特殊梯形的性质差异，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确题目要求是选出不能判定四边形ABCD为平行四边形的选项。解题思路为：先回忆平行四边形的判定定理，再结合平行线性质、四边形内角和定理，对每个选项逐一分析推导，能证明是平行四边形的选项直接排除；若无法推导或存在反例，则为符合题意的答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，由$AB=CD,AD=BC$可直接判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意。
选项B：已知$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”得$∠ B + ∠ C = 180°$，又$∠ B=∠ D$，因此$∠ D + ∠ C = 180°$，可推出$AD// BC$。两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此可判定，不符合题意。
选项C：四边形内角和为$360°$，由$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$得$2∠ A + 2∠ C = 360°$，即$∠ A + ∠ C = 180°$，又$∠ A=∠ B$，因此$∠ B + ∠ C = 180°$，仅能推出$AD// BC$，无法证明另一组对边平行/相等。反例：等腰梯形满足$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$，但不是平行四边形，因此不能判定，符合题意。
选项D：由$∠ BAC=∠ ACD$可推出$AB// CD$，又$AB=CD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、平行线的性质与判定、四边形内角和定理
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题，需要熟练掌握平行四边形的各类判定定理，解题时可通过推导或举反例的方式验证选项，注意区分平行四边形和特殊梯形的性质差异，避免混淆。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在矩形ABCD中,若$AC=2AB$,则$∠AOB$是 (
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
C
)A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，由此可得到对角线分成的四条小线段长度相等；再结合已知条件AC=2AB，推导△AOB的三边关系，判断三角形的形状，进而求出∠AOB的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB$。
又
∵$AC=2AB$，
∴$AB=\frac{1}{2}AC=OA=OB$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$∠ AOB=60°$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是熟练掌握矩形对角线的相关性质，通过边的等量关系判断三角形的类型，进而求解角度，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，由此可得到对角线分成的四条小线段长度相等；再结合已知条件AC=2AB，推导△AOB的三边关系，判断三角形的形状，进而求出∠AOB的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB$。
又
∵$AC=2AB$，
∴$AB=\frac{1}{2}AC=OA=OB$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$∠ AOB=60°$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是熟练掌握矩形对角线的相关性质，通过边的等量关系判断三角形的类型，进而求解角度，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 下列命题中,不正确的是 （
A.对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B.两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C.两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D
）A.对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B.两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C.两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
答案
6. D
解析
【分析】
本题考查菱形的判定相关知识，解题思路如下：首先回忆菱形的判定规则：菱形是特殊的平行四边形，常见判定方法有三种：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边均相等的四边形是菱形。因此判断命题是否正确时，先看选项给出的条件能否先判定四边形是平行四边形，再验证是否满足菱形的附加条件，或者是否存在反例推翻命题，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上一组邻边相等，符合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定，命题正确，不符合题意；
B选项：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再加上一组邻边相等，符合菱形的判定规则，命题正确，不符合题意；
C选项：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，再加上一组邻边相等，符合菱形的判定规则，命题正确，不符合题意；
D选项：对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，反例：画两条互相垂直、长度相等但交点不是中点的线段，顺次连接线段四个端点得到的四边形，满足对角线垂直且相等，但不是平行四边形，更不是菱形，命题错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、命题真假判断
【点评】
本题属于基础几何概念题，解题的关键是牢记菱形判定的前提条件，多数菱形的判定需要先证明四边形是平行四边形，不能忽略前提只看对角线或边的局部性质就直接判定。
【难度系数】
0.7
本题考查菱形的判定相关知识，解题思路如下：首先回忆菱形的判定规则：菱形是特殊的平行四边形，常见判定方法有三种：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边均相等的四边形是菱形。因此判断命题是否正确时，先看选项给出的条件能否先判定四边形是平行四边形，再验证是否满足菱形的附加条件，或者是否存在反例推翻命题，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上一组邻边相等，符合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定，命题正确，不符合题意；
B选项：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再加上一组邻边相等，符合菱形的判定规则，命题正确，不符合题意；
C选项：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，再加上一组邻边相等，符合菱形的判定规则，命题正确，不符合题意；
D选项：对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，反例：画两条互相垂直、长度相等但交点不是中点的线段，顺次连接线段四个端点得到的四边形，满足对角线垂直且相等，但不是平行四边形，更不是菱形，命题错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、命题真假判断
【点评】
本题属于基础几何概念题，解题的关键是牢记菱形判定的前提条件，多数菱形的判定需要先证明四边形是平行四边形，不能忽略前提只看对角线或边的局部性质就直接判定。
【难度系数】
0.7
7. 如果点 E,F,G,H 分别是菱形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,那么四边形 EFGH 是 （
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.以上都不是
B
）A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.以上都不是
答案
7. B
解析
【分析】
要判断中点四边形EFGH的形状，解题思路如下：①遇到中点四边形问题，优先考虑连接原四边形的对角线，利用三角形中位线定理分析边的关系；②先通过中位线性质证明EFGH是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，推导平行四边形是否有内角为直角，进而判断最终形状。
【解析】
连接菱形ABCD的对角线AC、BD，交于点O。
1. 证明四边形EFGH是平行四边形：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{EF// AC}$，$\boldsymbol{EF=\frac{1}{2}AC}$。
同理可得，GH是△ADC的中位线，因此$\boldsymbol{GH// AC}$，$\boldsymbol{GH=\frac{1}{2}AC}$。
∴EF平行且等于GH，
∴四边形EFGH是平行四边形。
2. 证明平行四边形EFGH有一个内角为直角：
∵四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直，即$\boldsymbol{AC⊥ BD}$。
又
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，可得$\boldsymbol{EH// BD}$。
已知EF//AC，结合AC⊥BD，可得EH⊥EF，即∠HEF=90°。
3. 根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形EFGH是矩形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定
【点评】
本题属于中点四边形的典型题型，解题核心是明确中点四边形的形状由原四边形的对角线性质决定，熟练掌握特殊四边形的性质和判定、三角形中位线定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要判断中点四边形EFGH的形状，解题思路如下：①遇到中点四边形问题，优先考虑连接原四边形的对角线，利用三角形中位线定理分析边的关系；②先通过中位线性质证明EFGH是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，推导平行四边形是否有内角为直角，进而判断最终形状。
【解析】
连接菱形ABCD的对角线AC、BD，交于点O。
1. 证明四边形EFGH是平行四边形：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{EF// AC}$，$\boldsymbol{EF=\frac{1}{2}AC}$。
同理可得，GH是△ADC的中位线，因此$\boldsymbol{GH// AC}$，$\boldsymbol{GH=\frac{1}{2}AC}$。
∴EF平行且等于GH，
∴四边形EFGH是平行四边形。
2. 证明平行四边形EFGH有一个内角为直角：
∵四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直，即$\boldsymbol{AC⊥ BD}$。
又
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，可得$\boldsymbol{EH// BD}$。
已知EF//AC，结合AC⊥BD，可得EH⊥EF，即∠HEF=90°。
3. 根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形EFGH是矩形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定
【点评】
本题属于中点四边形的典型题型，解题核心是明确中点四边形的形状由原四边形的对角线性质决定，熟练掌握特殊四边形的性质和判定、三角形中位线定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
