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8. 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且$AE=\frac{1}{3}AB$,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在边AD上的点P处,连接BP交EF于点Q.有下列结论:① $EF=2BE$;② $PF=2PE$;③ $FQ=4EQ$;④ $△ PBF$是等边三角形.其中正确的是 （
A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
D
）A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
答案
8. D
解析
【分析】首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合矩形的直角性质，设AE的长度为x，推出PE、BE的长度，再通过直角三角形中30°角的判定和性质依次分析4个结论：先由Rt△AEP的边长关系得到角的度数，进而推导△BEF的边角关系判断①；再通过△PEF的边长关系判断②；结合折痕垂直平分对应点连线，推导EQ和FQ的数量关系判断③；最后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断④，最终选出正确结论。
【解析】设AE=x，
∵$AE=\frac{1}{3}AB$，
∴AB=3x，$BE=AB-AE=2x$。
∵矩形沿EF折叠，点B落在P处，
∴$PE=BE=2x$，$∠ PEF=∠ BEF$，$BF=PF$，$∠ PFE=∠ BFE$。
在Rt△AEP中，$AE=x$，$PE=2x$，
∴$∠ APE=30°$，$∠ AEP=90°-30°=60°$，
∴$∠ PEF=∠ BEF=\frac{180°-∠ AEP}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$。
在Rt△BEF中，$∠ BEF=60°$，
∴$∠ BFE=90°-60°=30°$，
∴$EF=2BE$，故①正确；
在Rt△PEF中，$∠ PEF=60°$，$∠ PFE=30°$，
∴$PF=\sqrt{3}PE$，故②错误；
由折叠性质可知EF垂直平分BP，
∴$∠ EQB=90°$，在Rt△BEQ中，$∠ BEQ=60°$，
∴$∠ EBQ=30°$，
∴$EQ=\frac{1}{2}BE=x$，
∵$EF=2BE=4x$，
∴$FQ=EF-EQ=4x-x=3x$，即$FQ=3EQ$，故③错误；
∵$BF=PF$，$∠ PFB=∠ PFE+∠ BFE=30°+30°=60°$，
∴△PBF是等边三角形，故④正确。
综上，正确的是①④。
【答案】D
【知识点】矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定
【点评】本题综合考查了折叠变换、矩形的性质和特殊直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠前后图形的对应边、对应角相等，结合特殊角度的直角三角形的边角关系逐一判断结论。
【难度系数】0.6
【解析】设AE=x，
∵$AE=\frac{1}{3}AB$，
∴AB=3x，$BE=AB-AE=2x$。
∵矩形沿EF折叠，点B落在P处，
∴$PE=BE=2x$，$∠ PEF=∠ BEF$，$BF=PF$，$∠ PFE=∠ BFE$。
在Rt△AEP中，$AE=x$，$PE=2x$，
∴$∠ APE=30°$，$∠ AEP=90°-30°=60°$，
∴$∠ PEF=∠ BEF=\frac{180°-∠ AEP}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$。
在Rt△BEF中，$∠ BEF=60°$，
∴$∠ BFE=90°-60°=30°$，
∴$EF=2BE$，故①正确；
在Rt△PEF中，$∠ PEF=60°$，$∠ PFE=30°$，
∴$PF=\sqrt{3}PE$，故②错误；
由折叠性质可知EF垂直平分BP，
∴$∠ EQB=90°$，在Rt△BEQ中，$∠ BEQ=60°$，
∴$∠ EBQ=30°$，
∴$EQ=\frac{1}{2}BE=x$，
∵$EF=2BE=4x$，
∴$FQ=EF-EQ=4x-x=3x$，即$FQ=3EQ$，故③错误；
∵$BF=PF$，$∠ PFB=∠ PFE+∠ BFE=30°+30°=60°$，
∴△PBF是等边三角形，故④正确。
综上，正确的是①④。
【答案】D
【知识点】矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定
【点评】本题综合考查了折叠变换、矩形的性质和特殊直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠前后图形的对应边、对应角相等，结合特殊角度的直角三角形的边角关系逐一判断结论。
【难度系数】0.6
9. 在四边形ABCD中，已知$AB // CD$，请补充一个条件：______，使得四边形ABCD是平行四边形。
答案
9. 答案不唯一,如$AB=CD$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆平行四边形的判定定理，已知条件给出了$AB // CD$，即四边形的一组对边平行，我们只需要补充条件让这个四边形满足平行四边形的某一条判定即可。比如根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以补充这组对边相等的条件；或者根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，补充另一组对边平行的条件，只要符合判定要求都可以。
【解析】
平行四边形的常见判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形等。
已知四边形ABCD中$AB // CD$，若补充条件$AB=CD$，此时四边形ABCD的一组对边AB既平行又相等，符合判定②，可推出四边形ABCD是平行四边形。
也可补充$AD // BC$等其他符合要求的条件，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AB=CD$
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对平行四边形判定定理的理解与应用，只需结合已知的边平行的条件，匹配对应的判定定理补充条件即可，解题时注意不要和判定定理内容冲突。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆平行四边形的判定定理，已知条件给出了$AB // CD$，即四边形的一组对边平行，我们只需要补充条件让这个四边形满足平行四边形的某一条判定即可。比如根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以补充这组对边相等的条件；或者根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，补充另一组对边平行的条件，只要符合判定要求都可以。
【解析】
平行四边形的常见判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形等。
已知四边形ABCD中$AB // CD$，若补充条件$AB=CD$，此时四边形ABCD的一组对边AB既平行又相等，符合判定②，可推出四边形ABCD是平行四边形。
也可补充$AD // BC$等其他符合要求的条件，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AB=CD$
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对平行四边形判定定理的理解与应用，只需结合已知的边平行的条件，匹配对应的判定定理补充条件即可，解题时注意不要和判定定理内容冲突。
【难度系数】
0.9
10. 如图,在$□ ABCD$中,$O$是对角线$AC$,
$BD$的交点,$AC ⊥ BC$,且$AB=10\ \mathrm{cm}$,
$AD=8\ \mathrm{cm}$,则$OB=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
$BD$的交点,$AC ⊥ BC$,且$AB=10\ \mathrm{cm}$,
$AD=8\ \mathrm{cm}$,则$OB=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
10. $\sqrt{73}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用平行四边形对边相等的性质求出BC的长度；再结合AC⊥BC的条件，在Rt△ABC中用勾股定理计算出AC的长度；接着根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC的长度；最后在Rt△OBC中，再次运用勾股定理即可求出OB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8cm，对角线AC、BD互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$。
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=3\mathrm{cm}$。
在Rt△OBC中，BC=8cm，OC=3cm，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{BC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{73}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何常见基础题型，将平行四边形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是找准直角三角形，利用平行四边形的性质转化已知线段长度，逐步推导所求线段。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用平行四边形对边相等的性质求出BC的长度；再结合AC⊥BC的条件，在Rt△ABC中用勾股定理计算出AC的长度；接着根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC的长度；最后在Rt△OBC中，再次运用勾股定理即可求出OB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8cm，对角线AC、BD互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$。
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=3\mathrm{cm}$。
在Rt△OBC中，BC=8cm，OC=3cm，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{BC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{73}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何常见基础题型，将平行四边形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是找准直角三角形，利用平行四边形的性质转化已知线段长度，逐步推导所求线段。
【难度系数】
0.7
11. 在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 10$，$BC = 3$，$E$ 为边 $AB$ 的中点，$P$ 为边 $CD$ 上的点，且 $△ AEP$ 是腰长为 5 的等腰三角形，则 $DP = \_\_\_\_\_\_$.
答案
11. 1或4或9
解析
【分析】
首先利用矩形对边相等、四个角为直角的性质，先确定AE的长度为5（E是AB中点，AB=10）。由于△AEP是腰长为5的等腰三角形，腰未明确，因此需要分类讨论：①以AE为腰，分别以A、E为圆心，5为半径画弧，与CD的交点即为P点；②以AE为底，此时AP=EP=5，需验证是否满足腰长为5的条件。我们可以建立平面直角坐标系设P点坐标，用勾股定理列方程求解，最后结合P在CD上的取值范围筛选有效解，即可得到DP的长度。
【解析】
建立平面直角坐标系：设$A(0,0)$，$B(10,0)$，$C(10,3)$，$D(0,3)$，E为AB中点，因此$E(5,0)$。
P在CD边上，CD上所有点纵坐标均为3，设$P(x,3)$（$0≤ x≤10$），则DP的长度等于P点的横坐标$x$。
已知$AE=5$，△AEP为腰长为5的等腰三角形，分情况讨论：
1. 当$AE=AP=5$时：
由勾股定理得$AP=\sqrt{x^2+3^2}=5$，平方得$x^2+9=25$，解得$x=4$（$x=-4$不符合取值范围，舍去），此时$DP=4$。
2. 当$AE=EP=5$时：
由勾股定理得$EP=\sqrt{(x-5)^2+3^2}=5$，平方得$(x-5)^2+9=25$，即$(x-5)^2=16$，解得$x=9$或$x=1$，均满足$0≤ x≤10$，此时$DP=9$或$DP=1$。
3. 当$AP=EP=5$时：
由$AP=EP$得$\sqrt{x^2+9}=\sqrt{(x-5)^2+9}$，解得$x=2.5$，此时$AP=\sqrt{2.5^2+3^2}=\sqrt{15.25}≠5$，不符合腰长为5的条件，舍去。
综上，DP的长度为1或4或9。
【答案】
1或4或9
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形分类讨论，勾股定理
【点评】
本题属于等腰三角形存在性的经典题型，解题核心是明确等腰三角形腰的不确定性，分类讨论时要结合点的取值范围筛选有效解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
首先利用矩形对边相等、四个角为直角的性质，先确定AE的长度为5（E是AB中点，AB=10）。由于△AEP是腰长为5的等腰三角形，腰未明确，因此需要分类讨论：①以AE为腰，分别以A、E为圆心，5为半径画弧，与CD的交点即为P点；②以AE为底，此时AP=EP=5，需验证是否满足腰长为5的条件。我们可以建立平面直角坐标系设P点坐标，用勾股定理列方程求解，最后结合P在CD上的取值范围筛选有效解，即可得到DP的长度。
【解析】
建立平面直角坐标系：设$A(0,0)$，$B(10,0)$，$C(10,3)$，$D(0,3)$，E为AB中点，因此$E(5,0)$。
P在CD边上，CD上所有点纵坐标均为3，设$P(x,3)$（$0≤ x≤10$），则DP的长度等于P点的横坐标$x$。
已知$AE=5$，△AEP为腰长为5的等腰三角形，分情况讨论：
1. 当$AE=AP=5$时：
由勾股定理得$AP=\sqrt{x^2+3^2}=5$，平方得$x^2+9=25$，解得$x=4$（$x=-4$不符合取值范围，舍去），此时$DP=4$。
2. 当$AE=EP=5$时：
由勾股定理得$EP=\sqrt{(x-5)^2+3^2}=5$，平方得$(x-5)^2+9=25$，即$(x-5)^2=16$，解得$x=9$或$x=1$，均满足$0≤ x≤10$，此时$DP=9$或$DP=1$。
3. 当$AP=EP=5$时：
由$AP=EP$得$\sqrt{x^2+9}=\sqrt{(x-5)^2+9}$，解得$x=2.5$，此时$AP=\sqrt{2.5^2+3^2}=\sqrt{15.25}≠5$，不符合腰长为5的条件，舍去。
综上，DP的长度为1或4或9。
【答案】
1或4或9
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形分类讨论，勾股定理
【点评】
本题属于等腰三角形存在性的经典题型，解题核心是明确等腰三角形腰的不确定性，分类讨论时要结合点的取值范围筛选有效解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在$□ ABCD$中,$CE ⊥ AB$,$E$为垂足,若$∠ A = 122°$,则$∠ BCE =$
32
。答案
12. 32
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，再结合CE⊥AB得到△BCE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算出∠BCE的度数。第一步：根据平行四边形对边平行的性质，相邻内角互补，即∠A和∠B的和为180°，代入已知的∠A的度数就能求出∠B；第二步：由CE⊥AB可知∠CEB=90°，直角三角形中两个锐角的和为90°，用90°减去∠B的度数即可得到∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，可得∠A + ∠B = 180°
已知∠A=122°，
∴∠B = 180° - 122° = 58°
∵CE⊥AB，
∴∠CEB = 90°
在Rt△BCE中，∠B + ∠BCE = 90°
∴∠BCE = 90° - 58° = 32°
【答案】
32
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，将平行四边形的性质和直角三角形的角度特性结合考查，熟练掌握基础几何图形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，再结合CE⊥AB得到△BCE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算出∠BCE的度数。第一步：根据平行四边形对边平行的性质，相邻内角互补，即∠A和∠B的和为180°，代入已知的∠A的度数就能求出∠B；第二步：由CE⊥AB可知∠CEB=90°，直角三角形中两个锐角的和为90°，用90°减去∠B的度数即可得到∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，可得∠A + ∠B = 180°
已知∠A=122°，
∴∠B = 180° - 122° = 58°
∵CE⊥AB，
∴∠CEB = 90°
在Rt△BCE中，∠B + ∠BCE = 90°
∴∠BCE = 90° - 58° = 32°
【答案】
32
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，将平行四边形的性质和直角三角形的角度特性结合考查，熟练掌握基础几何图形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=6$,$AF ⊥ BC$,$BE ⊥ AC$,垂足分别为$F$,$E$,且$D$是$AB$的中点,$△ DEF$的周长是$11$,则$AB=$
8
.答案
13. 8
解析
【分析】
解题从已知条件逐步推导：首先利用等腰三角形三线合一的性质，确定F是BC的中点；再结合图中的多个直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，分别得到DE、DF与AB的关系，EF与BC的关系；最后结合△DEF的周长列等式，即可求出AB的长度。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AF ⊥ BC$，
$\therefore F$是$BC$的中点，即$BF=FC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 6=3$。
$\because BE ⊥ AC$，$AF ⊥ BC$，
$\therefore △ ABE$、$△ ABF$、$△ BCE$均为直角三角形。
又$\because D$是$AB$的中点，$F$是$BC$的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC=3$。
$\because △ DEF$的周长是$11$，即$DE+DF+EF=11$，
代入得：$\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB+3=11$，
化简得$AB+3=11$，
解得$AB=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是熟练运用等腰三角形和直角三角形的相关性质，找到线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
$0.7$
解题从已知条件逐步推导：首先利用等腰三角形三线合一的性质，确定F是BC的中点；再结合图中的多个直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，分别得到DE、DF与AB的关系，EF与BC的关系；最后结合△DEF的周长列等式，即可求出AB的长度。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AF ⊥ BC$，
$\therefore F$是$BC$的中点，即$BF=FC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 6=3$。
$\because BE ⊥ AC$，$AF ⊥ BC$，
$\therefore △ ABE$、$△ ABF$、$△ BCE$均为直角三角形。
又$\because D$是$AB$的中点，$F$是$BC$的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC=3$。
$\because △ DEF$的周长是$11$，即$DE+DF+EF=11$，
代入得：$\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB+3=11$，
化简得$AB+3=11$，
解得$AB=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是熟练运用等腰三角形和直角三角形的相关性质，找到线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
$0.7$
14. 如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在边AB上,EF⊥AC,垂足为F,连接EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为________.
答案
14. 5
解析
【分析】
首先根据正方形对角线的性质可得∠BAC=45°，结合EF⊥AC可判断△AEF是等腰直角三角形，得出EF=AF=3；再根据△EFC的周长为12，推导出FC与EC的数量关系；最后设EC为未知数，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可得到EC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠BAC=45°，
∵EF⊥AC，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AF=3，
∵△EFC的周长为12，
∴EF + FC + EC =12，
∴3 + FC + EC =12，即FC + EC =9，
设EC的长为x，则FC=9 - x，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$EC^2 = EF^2 + FC^2$，
代入得：$x^2 = 3^2 + (9 - x)^2$，
展开得：$x^2 = 9 + 81 - 18x + x^2$，
移项化简得：$18x = 90$，
解得：$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
正方形的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题将正方形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理相结合考查，解题的关键是先求出EF的长度，再结合周长关系用勾股定理建立方程求解，体现了几何计算中的方程思想。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形对角线的性质可得∠BAC=45°，结合EF⊥AC可判断△AEF是等腰直角三角形，得出EF=AF=3；再根据△EFC的周长为12，推导出FC与EC的数量关系；最后设EC为未知数，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可得到EC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠BAC=45°，
∵EF⊥AC，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AF=3，
∵△EFC的周长为12，
∴EF + FC + EC =12，
∴3 + FC + EC =12，即FC + EC =9，
设EC的长为x，则FC=9 - x，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$EC^2 = EF^2 + FC^2$，
代入得：$x^2 = 3^2 + (9 - x)^2$，
展开得：$x^2 = 9 + 81 - 18x + x^2$，
移项化简得：$18x = 90$，
解得：$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
正方形的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题将正方形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理相结合考查，解题的关键是先求出EF的长度，再结合周长关系用勾股定理建立方程求解，体现了几何计算中的方程思想。
【难度系数】
0.7
15. 如图,等边三角形 AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等,点 E,F 分别在BC,CD 上,则$∠B=$
80
°.答案
15. 80
解析
【分析】
解题时先回忆菱形、等边三角形、等腰三角形的性质：菱形四边相等、邻角互补；等边三角形三边相等、内角为60°；等腰三角形两底角相等。我们可以设∠B的度数为x，先根据等腰三角形内角和表示出∠BAE、∠DAF的度数，再结合∠BAD和∠B互补，以及∠BAD由∠BAE、∠EAF、∠DAF三部分组成，建立关于x的方程即可求解。
【解析】
设∠B = x°，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = AD，∠B = ∠D = x°，∠BAD + ∠B = 180°，即∠BAD = 180° - x°，
∵ 等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴ AB = AE，AD = AF，∠EAF = 60°，
∴ △ABE是等腰三角形，∠AEB = ∠B = x°，
∴ ∠BAE = 180° - ∠B - ∠AEB = 180° - 2x°，
同理可得∠DAF = 180° - 2x°，
又
∵ ∠BAD = ∠BAE + ∠EAF + ∠DAF，
代入得：180 - x = (180 - 2x) + 60 + (180 - 2x)，
整理得：180 - x = 420 - 4x，
移项得3x = 240，
解得x = 80。
【答案】
80
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何角度计算的综合题，解题核心是利用各特殊图形的边角关系找到等量关系，通过建立方程求解角度，是几何中方程思想的典型应用。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆菱形、等边三角形、等腰三角形的性质：菱形四边相等、邻角互补；等边三角形三边相等、内角为60°；等腰三角形两底角相等。我们可以设∠B的度数为x，先根据等腰三角形内角和表示出∠BAE、∠DAF的度数，再结合∠BAD和∠B互补，以及∠BAD由∠BAE、∠EAF、∠DAF三部分组成，建立关于x的方程即可求解。
【解析】
设∠B = x°，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = AD，∠B = ∠D = x°，∠BAD + ∠B = 180°，即∠BAD = 180° - x°，
∵ 等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴ AB = AE，AD = AF，∠EAF = 60°，
∴ △ABE是等腰三角形，∠AEB = ∠B = x°，
∴ ∠BAE = 180° - ∠B - ∠AEB = 180° - 2x°，
同理可得∠DAF = 180° - 2x°，
又
∵ ∠BAD = ∠BAE + ∠EAF + ∠DAF，
代入得：180 - x = (180 - 2x) + 60 + (180 - 2x)，
整理得：180 - x = 420 - 4x，
移项得3x = 240，
解得x = 80。
【答案】
80
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何角度计算的综合题，解题核心是利用各特殊图形的边角关系找到等量关系，通过建立方程求解角度，是几何中方程思想的典型应用。
【难度系数】
0.6
16. 如图,在四边形 ABCD 中, $AD // BC$, 且 $AD=2BC, BC=6 \mathrm{ cm}$, 点 $P, Q$ 分别从点 $A, C$ 同时出发, 点 $P$ 以 $2 \mathrm{ cm/s}$ 的速度由点 $A$ 向点 $D$ 运动, 点 $Q$ 以 $1 \mathrm{ cm/s}$ 的速度由点 $C$ 向点 $B$ 运动. 设运动时间为 $x \mathrm{ s}$, 则当 $x = \_\_\_\_\_\_$ 时, 四边形 $CDPQ$ 是平行四边形.
(第 16 题)
(第 16 题)
答案
16. 4
解析
【分析】
要判断四边形CDPQ为平行四边形，首先结合已知条件AD//BC，可得PD与CQ天然平行，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需满足PD=CQ即可。我们先求出AD的长度，再用含运动时间x的代数式分别表示PD和CQ的长度，列方程求解即可得到x的值。
【解析】
已知$BC=6\mathrm{cm}$，$AD=2BC$，因此$AD=2×6=12\mathrm{cm}$。
点P的运动速度为$2\mathrm{cm/s}$，运动时间为$x\mathrm{s}$，则$AP=2x\mathrm{cm}$，可得$PD=AD-AP=12-2x\ \mathrm{cm}$。
点Q的运动速度为$1\mathrm{cm/s}$，运动时间为$x\mathrm{s}$，则$CQ=x\ \mathrm{cm}$。
因为$AD// BC$，所以$PD// CQ$，当$PD=CQ$时，四边形CDPQ是平行四边形，列方程：
$12-2x=x$
移项合并得：$3x=12$
解得：$x=4$
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定、动点问题、一元一次方程应用
【点评】
本题属于动点结合几何图形判定的基础题型，核心是抓住平行四边形的判定条件，将动态的线段长度转化为含未知量的代数式，通过建立方程求解，是几何与代数结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
要判断四边形CDPQ为平行四边形，首先结合已知条件AD//BC，可得PD与CQ天然平行，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需满足PD=CQ即可。我们先求出AD的长度，再用含运动时间x的代数式分别表示PD和CQ的长度，列方程求解即可得到x的值。
【解析】
已知$BC=6\mathrm{cm}$，$AD=2BC$，因此$AD=2×6=12\mathrm{cm}$。
点P的运动速度为$2\mathrm{cm/s}$，运动时间为$x\mathrm{s}$，则$AP=2x\mathrm{cm}$，可得$PD=AD-AP=12-2x\ \mathrm{cm}$。
点Q的运动速度为$1\mathrm{cm/s}$，运动时间为$x\mathrm{s}$，则$CQ=x\ \mathrm{cm}$。
因为$AD// BC$，所以$PD// CQ$，当$PD=CQ$时，四边形CDPQ是平行四边形，列方程：
$12-2x=x$
移项合并得：$3x=12$
解得：$x=4$
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定、动点问题、一元一次方程应用
【点评】
本题属于动点结合几何图形判定的基础题型，核心是抓住平行四边形的判定条件，将动态的线段长度转化为含未知量的代数式，通过建立方程求解，是几何与代数结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
