三、解答题
17. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, $DE ⊥ AC, BF ⊥ AC$, 垂足分别为 $E,F$. 求证: $DE=BF$.

17. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD=BC,AD// BC.\therefore ∠ DAE=∠ BCF.\because DE⊥ AC,BF⊥ AC, \therefore ∠ DEA=∠ BFC=90°.\because$ 在 $△ ADE$ 和 $△ CBF$ 中, $\begin{cases}∠ DEA=∠ BFC,\\∠ EAD=∠ FCB,\\AD=CB,\end{cases}$ $\therefore △ ADE≌△ CBF(\mathrm{AAS}).\therefore DE=BF.$

【分析】
要证明$DE=BF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，进而得到一组内错角相等；再结合两条线段都垂直于$AC$得到相等的直角，即可凑齐全等三角形的判定条件，证明三角形全等后根据全等对应边相等，即可得出结论。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AD=BC,AD// BC$，
$\therefore ∠DAE=∠BCF$。
$\because DE⊥AC,BF⊥AC$,
$\therefore ∠DEA=∠BFC=90°$。
在 $△ ADE$ 和 $△ CBF$ 中,
$\begin{cases}∠ DEA=∠ BFC\\∠ EAD=∠ FCB\\AD=CB\end{cases}$
$\therefore △ADE≌△CBF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE=BF$。
【答案】
$DE=BF$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心思路是通过证明三角形全等得到对应线段相等，解题时需要准确从已知条件中提取全等判定所需的边角关系，是对几何基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.85

18. 如图,点 B,E,C,F 在一条直线上,
$AB=DF,AC=DE,BE=FC.$
(1) 求证:$△ ABC≌△ DFE.$
(2) 连接 AF,BD,求证:四边形 ABDF
是平行四边形.

(第 18 题)

18. (1) $\because BE=FC,\therefore BC=EF.\because$ 在 $△ ABC$ 和 $△ DFE$ 中, $\begin{cases}AB=DF,\\AC=DE,\\BC=FE,\end{cases}$ $\therefore △ ABC≌△ DFE(\mathrm{SSS}).$
(2) 由(1)知:$△ ABC≌△ DFE,\therefore ∠ ABC=∠ DFE.\therefore AB// DF.\because AB=DF,\therefore$ 四边形 $ABDF$ 是平行四边形.

【分析】
(1) 要证明$△ ABC≌△ DFE$，已知$AB=DF$、$AC=DE$，还缺少一组对应边相等的条件。观察已知$BE=FC$，根据等式性质，在两条线段两端同时加公共线段$EC$，即可得到$BC=EF$，满足SSS全等判定的要求，即可完成全等证明。
(2) 要证明四边形$ABDF$是平行四边形，已知$AB=DF$，只需再证明$AB// DF$即可。由(1)的全等结论可得对应角$∠ ABC=∠ DFE$，二者为内错角，根据内错角相等两直线平行即可推出$AB// DF$，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because BE=FC$，
$\therefore BE+EC=FC+EC$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DFE$中，
$\begin{cases}AB=DF,\\AC=DE,\\BC=FE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DFE(\mathrm{SSS})$。
(2) 证明：
由(1)知$△ ABC≌△ DFE$，
$\therefore ∠ ABC=∠ DFE$，
$\therefore AB// DF$，
又$\because AB=DF$，
$\therefore$ 四边形$ABDF$是平行四边形。
【答案】
(1) 见上述解析证明过程，$△ ABC≌△ DFE$成立；
(2) 见上述解析证明过程，四边形$ABDF$是平行四边形成立。
【知识点】
全等三角形的判定，平行线的判定，平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础常规题，逻辑链条清晰，先通过线段和差得到全等判定的条件，再借助全等的性质推导线平行，最终完成平行四边形的判定，是对基础几何定理应用的典型考察。
【难度系数】
0.85

19. 如图,在$□ ABCD$中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于点G.
求证:$GF=GC$.

19. 取 $BE$ 的中点 $H$,连接 $FH,CH.\because F$ 是 $AE$ 的中点,$H$ 为 $BE$ 的中点, $\therefore FH// AB,FH=\frac{1}{2}AB.\because CD// AB,CD=AB,CE=\frac{1}{2}CD,\therefore CE// FH$,且 $CE=FH.\therefore$ 四边形 $CEFH$ 是平行四边形.$\because EH,CF$ 为$□ CEFH$ 的对角线,且 $EH$ 交 $CF$ 于点 $G,\therefore GF=GC.$

【分析】
要证明GF=GC，可尝试构造以CF为对角线的平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质完成证明。已知条件中有多个中点，首先联想到三角形中位线定理，我们可取BE的中点H，先构造△ABE的中位线FH，得到FH和AB的位置、数量关系；再结合平行四边形ABCD的性质和E是CD中点的条件，推导CE和FH的关系，证明四边形CEFH是平行四边形，最后即可利用平行四边形性质得到结论。
【解析】
证明：取$BE$的中点$H$，连接$FH,CH$。
$\because F$是$AE$的中点，$H$为$BE$的中点，
$\therefore FH$是$△ ABE$的中位线，
$\therefore FH// AB,FH=\frac{1}{2}AB$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD// AB,CD=AB$。
$\because E$是$CD$的中点，
$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore CE// FH$，且$CE=FH$，
$\therefore$四边形$CEFH$是平行四边形。
$\because EH,CF$为$□ CEFH$的对角线，且$EH$交$CF$于点$G$，
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$GF=GC$。
【答案】
$GF=GC$，得证
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是典型的中点类几何证明题，解题核心是合理添加辅助线构造三角形中位线，通过中位线性质得到平行且相等的线段，进而判定平行四边形，最终利用平行四边形性质完成线段相等的证明，能够有效考察学生对中点相关性质和平行四边形知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

20.【问题提出】
（1）如图1,将三角尺的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC于点E,线段PB和线段PE相等吗?请证明.
【问题探究】
（2）如图2,移动三角尺,使三角尺的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【问题解决】
（3）如图3,继续移动三角尺,使三角尺的直角顶点P在AC的延长线上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

20. (1) 线段 $PB$ 和线段 $PE$ 相等.证明:如图1,过点 $P$ 作 $PM⊥ BC,PN⊥ CD$,垂足分别为 $M,N$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore ∠ BCD=90°$,$CA$ 平分 $∠ BCD$.$\because PM⊥ BC,PN⊥ CD$,$\therefore$ 易证四边形 $PMCN$ 为正方形,$PM=PN$.$\because ∠ BPE=90°$,$∠ BCD=90°$,$\therefore ∠ PBC+∠ CEP=180°$.又 $∠ CEP+∠ PEN=180°$,$\therefore ∠ PBM=∠ PEN$.$\because$ 在 $△ PBM$ 和 $△ PEN$ 中, $\begin{cases}∠ PBM=∠ PEN,\\∠ PMB=∠ PNE,\\PM=PN,\end{cases}$ $\therefore △ PBM≌△ PEN(\mathrm{AAS}).\therefore PB=PE.$
(2) $PB=PE$ 还成立.证明:如图2,过点 $P$ 作 $PM⊥ BC,PN⊥ CD$,垂足分别为 $M,N$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore ∠ BCD=90°$,$CA$ 平分 $∠ BCD$.$\because PM⊥ BC,PN⊥ CD$,$\therefore$ 易证四边形 $PMCN$ 为正方形,$PM=PN$.$\therefore ∠ MPN=90°$.$\because ∠ BPE=90°$,$\therefore ∠ BPM+∠ MPE=90°$.又 $∠ MPE+∠ EPN=90°$, $\therefore ∠ BPM=∠ EPN$.$\because$ 在 $△ PBM$ 和 $△ PEN$ 中, $\begin{cases}∠ PMB=∠ PNE,\\PM=PN,\\∠ BPM=∠ EPN,\end{cases}$ $\therefore △ PBM≌△ PEN(\mathrm{ASA}).\therefore PB=PE.$
(3) $PB=PE$ 还成立.证明:如图3,过点 $P$ 作 $PM⊥ BC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $M$,$PN⊥ DE$,垂足为 $N$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore ∠ BCD=90°$,$CA$ 平分 $∠ BCD$.$\because PM⊥ BC,PN⊥ CD$,$\therefore$ 易证四边形 $PMCN$ 为正方形,$PM=PN$.$\therefore ∠ MPN=90°$.$\because ∠ BPE=90°$,$\therefore ∠ BPM+∠ BPN=90°$.又 $\because ∠ BPN+∠ EPN=90°$, $\therefore ∠ BPM=∠ EPN$.$\because$ 在 $△ PBM$ 和 $△ PEN$ 中, $\begin{cases}∠ PMB=∠ PNE,\\PM=PN,\\∠ BPM=∠ EPN,\end{cases}$ $\therefore △ PBM≌△ PEN(\mathrm{ASA}).\therefore PB=PE.$

【分析】
要证明PB和PE相等，核心思路是构造全等三角形：正方形的对角线AC是∠BCD的角平分线，根据角平分线的性质，过点P向BC、CD（或对应延长线）作两条垂线，可得两条垂线段长度相等；再结合三角尺的直角为90°，推导得到对应角相等，即可证明包含PB、PE的两个三角形全等，从而得到线段相等。三个小问图形虽有变化，但核心解题思路一致，仅等角的推导细节略有区别。
【解析】
(1) 要证$PB=PE$，构造全等三角形证明：
如图1，过点$P$作$PM⊥ BC,PN⊥ CD$，垂足分别为$M,N$。
$\because$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore ∠ BCD=90°$，$CA$平分$∠ BCD$。
$\because PM⊥ BC,PN⊥ CD$，$\therefore$ 四边形$PMCN$为正方形，可得$PM=PN$。
$\because ∠ BPE=90°$，$∠ BCD=90°$，根据四边形内角和为$360°$，得$∠ PBC+∠ CEP=180°$。
又$\because ∠ CEP+∠ PEN=180°$（平角定义），$\therefore ∠ PBM=∠ PEN$。
在$△ PBM$和$△ PEN$中：
$\begin{cases}∠ PBM=∠ PEN,\\∠ PMB=∠ PNE=90°,\\PM=PN,\end{cases}$
$\therefore △ PBM≌△ PEN(\mathrm{AAS})$，$\therefore PB=PE$。
(2) $PB=PE$仍然成立，证明如下：
如图2，过点$P$作$PM⊥ BC,PN⊥ CD$，垂足分别为$M,N$。
$\because$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore ∠ BCD=90°$，$CA$平分$∠ BCD$。
$\because PM⊥ BC,PN⊥ CD$，$\therefore$ 四边形$PMCN$为正方形，可得$PM=PN$，$∠ MPN=90°$。
$\because ∠ BPE=90°$，$\therefore ∠ BPM+∠ MPE=90°$。
又$\because ∠ MPE+∠ EPN=90°$，$\therefore ∠ BPM=∠ EPN$。
在$△ PBM$和$△ PEN$中：
$\begin{cases}∠ PMB=∠ PNE=90°,\\PM=PN,\\∠ BPM=∠ EPN,\end{cases}$
$\therefore △ PBM≌△ PEN(\mathrm{ASA})$，$\therefore PB=PE$。
(3) $PB=PE$仍然成立，证明如下：
如图3，过点$P$作$PM⊥ BC$交$BC$的延长线于点$M$，$PN⊥ DE$，垂足为$N$。
$\because$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore ∠ BCD=90°$，$CA$平分$∠ BCD$。
$\because PM⊥ BC,PN⊥ CD$，$\therefore$ 四边形$PMCN$为正方形，可得$PM=PN$，$∠ MPN=90°$。
$\because ∠ BPE=90°$，$\therefore ∠ BPM+∠ BPN=90°$。
又$\because ∠ BPN+∠ EPN=90°$，$\therefore ∠ BPM=∠ EPN$。
在$△ PBM$和$△ PEN$中：
$\begin{cases}∠ PMB=∠ PNE=90°,\\PM=PN,\\∠ BPM=∠ EPN,\end{cases}$
$\therefore △ PBM≌△ PEN(\mathrm{ASA})$，$\therefore PB=PE$。
【答案】
(1) 线段 $PB$ 和线段 $PE$ 相等.证明:如图1,过点 $P$ 作 $PM⊥ BC,PN⊥ CD$,垂足分别为 $M,N$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore ∠ BCD=90°$,$CA$ 平分 $∠ BCD$.$\because PM⊥ BC,PN⊥ CD$,$\therefore$ 易证四边形 $PMCN$ 为正方形,$PM=PN$.$\because ∠ BPE=90°$,$∠ BCD=90°$,$\therefore ∠ PBC+∠ CEP=180°$.又 $∠ CEP+∠ PEN=180°$,$\therefore ∠ PBM=∠ PEN$.$\because$ 在 $△ PBM$ 和 $△ PEN$ 中, $\begin{cases}∠ PBM=∠ PEN,\\∠ PMB=∠ PNE,\\PM=PN,\end{cases}$ $\therefore △ PBM≌△ PEN(\mathrm{AAS}).\therefore PB=PE.$
(2) $PB=PE$ 还成立.证明:如图2,过点 $P$ 作 $PM⊥ BC,PN⊥ CD$,垂足分别为 $M,N$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore ∠ BCD=90°$,$CA$ 平分 $∠ BCD$.$\because PM⊥ BC,PN⊥ CD$,$\therefore$ 易证四边形 $PMCN$ 为正方形,$PM=PN$.$\therefore ∠ MPN=90°$.$\because ∠ BPE=90°$,$\therefore ∠ BPM+∠ MPE=90°$.又 $∠ MPE+∠ EPN=90°$, $\therefore ∠ BPM=∠ EPN$.$\because$ 在 $△ PBM$ 和 $△ PEN$ 中, $\begin{cases}∠ PMB=∠ PNE,\\PM=PN,\\∠ BPM=∠ EPN,\end{cases}$ $\therefore △ PBM≌△ PEN(\mathrm{ASA}).\therefore PB=PE.$
(3) $PB=PE$ 还成立.证明:如图3,过点 $P$ 作 $PM⊥ BC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $M$,$PN⊥ DE$,垂足为 $N$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore ∠ BCD=90°$,$CA$ 平分 $∠ BCD$.$\because PM⊥ BC,PN⊥ CD$,$\therefore$ 易证四边形 $PMCN$ 为正方形,$PM=PN$.$\therefore ∠ MPN=90°$.$\because ∠ BPE=90°$,$\therefore ∠ BPM+∠ BPN=90°$.又 $\because ∠ BPN+∠ EPN=90°$, $\therefore ∠ BPM=∠ EPN$.$\because$ 在 $△ PBM$ 和 $△ PEN$ 中, $\begin{cases}∠ PMB=∠ PNE,\\PM=PN,\\∠ BPM=∠ EPN,\end{cases}$ $\therefore △ PBM≌△ PEN(\mathrm{ASA}).\therefore PB=PE.$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于动态几何类证明题，围绕正方形对角线上的动点展开，三个小问图形逐步变化但核心的解题逻辑不变，重点考查构造辅助线证明三角形全等的能力，能够帮助学生建立在动态图形中寻找不变量的思维。
【难度系数】
0.6