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1.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+my=7,\\mx-y=2+m,\end{cases}$将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程.当$m$每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ）
A.$\begin{cases}x=4,\\y=-1\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=1,\\y=-4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=5,\\y=-4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=-5,\\y=4\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=4,\\y=-1\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=1,\\y=-4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=5,\\y=-4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=-5,\\y=4\end{cases}$
答案
C
解析
将原方程组两个方程左右两边对应相加：
$(x+my)+(mx-y)=7+(2+m)$
整理得：$x - y + m(x + y - 1) = 9$
由于这些方程的公共解不受$m$取值影响，因此令$m$的系数为0，得到方程组：
$\begin{cases}x+y-1=0\\x-y=9\end{cases}$
两式相加得$2x=10$，解得$x=5$，将$x=5$代入$x+y=1$得$y=-4$，即公共解为$\begin{cases}x=5\\y=-4\end{cases}$。
$(x+my)+(mx-y)=7+(2+m)$
整理得：$x - y + m(x + y - 1) = 9$
由于这些方程的公共解不受$m$取值影响，因此令$m$的系数为0，得到方程组：
$\begin{cases}x+y-1=0\\x-y=9\end{cases}$
两式相加得$2x=10$，解得$x=5$，将$x=5$代入$x+y=1$得$y=-4$，即公共解为$\begin{cases}x=5\\y=-4\end{cases}$。
2. 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2 min相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6 min相遇一次.若甲比乙跑得快，则甲每分跑（）
A.$\frac{1}{2}$圈
B.$\frac{1}{3}$圈
C.$\frac{1}{4}$圈
D.$\frac{1}{6}$圈
A.$\frac{1}{2}$圈
B.$\frac{1}{3}$圈
C.$\frac{1}{4}$圈
D.$\frac{1}{6}$圈
答案
B
解析
设甲每分钟跑$x$圈，乙每分钟跑$y$圈。反向而行2分钟相遇时，两人路程和为1圈，列方程得$2x+2y=1$；同向而行6分钟相遇时，甲比乙多跑1圈，列方程得$6x-6y=1$。化简方程组得：
$\begin{cases}x+y=\frac{1}{2}\\x-y=\frac{1}{6}\end{cases}$
将两式相加得$2x=\frac{2}{3}$，解得$x=\frac{1}{3}$，即甲每分跑$\frac{1}{3}$圈。
$\begin{cases}x+y=\frac{1}{2}\\x-y=\frac{1}{6}\end{cases}$
将两式相加得$2x=\frac{2}{3}$，解得$x=\frac{1}{3}$，即甲每分跑$\frac{1}{3}$圈。
3. 用加减法解方程组$\begin{cases} 3x - y = 7, \\ x + 2y = 5 \end{cases}$时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形. 以下四种变形正确的有$\underline{\hspace{5em}}$（填序号）.
①$\begin{cases} 6x - 2y = 7, \\ x + 2y = 5; \end{cases}$ ②$\begin{cases} 3x - y = 7, \\ 3x + 6y = 15; \end{cases}$ ③$\begin{cases} 6x - 2y = 14, \\ x + 2y = 5; \end{cases}$ ④$\begin{cases} 3x - y = 7, \\ 3x + 6y = 5. \end{cases}$
①$\begin{cases} 6x - 2y = 7, \\ x + 2y = 5; \end{cases}$ ②$\begin{cases} 3x - y = 7, \\ 3x + 6y = 15; \end{cases}$ ③$\begin{cases} 6x - 2y = 14, \\ x + 2y = 5; \end{cases}$ ④$\begin{cases} 3x - y = 7, \\ 3x + 6y = 5. \end{cases}$
答案
②③
解析
用加减法解二元一次方程组变形时，需依据等式的性质：给方程两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，逐个判断：
1. 分析①：将原方程组第一个方程两边同时乘2时，右边的7未乘2，正确变形应为$6x-2y=14$，故①错误；
2. 分析②：将原方程组第二个方程两边同时乘3，得到$3x+6y=15$，第一个方程保持不变，变形符合等式性质，故②正确；
3. 分析③：将原方程组第一个方程两边同时乘2，得到$6x-2y=14$，第二个方程保持不变，变形符合等式性质，故③正确；
4. 分析④：将原方程组第二个方程两边同时乘3时，右边的5未乘3，正确变形应为$3x+6y=15$，故④错误。
因此正确的是②③。
1. 分析①：将原方程组第一个方程两边同时乘2时，右边的7未乘2，正确变形应为$6x-2y=14$，故①错误；
2. 分析②：将原方程组第二个方程两边同时乘3，得到$3x+6y=15$，第一个方程保持不变，变形符合等式性质，故②正确；
3. 分析③：将原方程组第一个方程两边同时乘2，得到$6x-2y=14$，第二个方程保持不变，变形符合等式性质，故③正确；
4. 分析④：将原方程组第二个方程两边同时乘3时，右边的5未乘3，正确变形应为$3x+6y=15$，故④错误。
因此正确的是②③。
4.某市举办中学生足球比赛,规定胜1场得3分,平1场得1分.甲中学足球队比赛11场,没有输过,共得27分,则该球队胜场,平场.
答案
8；3
解析
设该球队胜x场，由于球队总共比赛11场且没有输过，因此平的场数为(11-x)场。根据得分规则可列方程：3x + (11 - x) = 27，化简得2x + 11 = 27，解得x=8，因此平的场数为11-8=3场。代入验证：胜8场得3×8=24分，平3场得1×3=3分，总得分27分，总场次11场，完全符合题意。
5.解答下列各题.
(1)已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 4x+3y=7, \\ kx+(k-1)y=3 \end{cases} $ 的解 $ x,y $ 的值相等,求 $ k $ 的值;
(2)已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} x-2y=2m+3, \\ 2x-y=-3 \end{cases} $ 的解互为相反数,求 $ m $ 的值.
(1)已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 4x+3y=7, \\ kx+(k-1)y=3 \end{cases} $ 的解 $ x,y $ 的值相等,求 $ k $ 的值;
(2)已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} x-2y=2m+3, \\ 2x-y=-3 \end{cases} $ 的解互为相反数,求 $ m $ 的值.
答案
(1) k=2；(2) m=-3
解析
(1) 由题意可知该方程组的解满足x=y，将x=y代入方程4x+3y=7中，可得：
4x+3x=7，即7x=7，解得x=1，因此y=x=1。
将x=1、y=1代入方程kx+(k-1)y=3中，可得：
k + (k-1) = 3，整理得2k-1=3，移项计算得2k=4，解得k=2。
(2) 由题意可知该方程组的解互为相反数，即满足x=-y，将x=-y代入方程2x-y=-3中，可得：
2×(-y) - y = -3，即-3y=-3，解得y=1，因此x=-y=-1。
将x=-1、y=1代入方程x-2y=2m+3中，可得：
-1 - 2×1 = 2m + 3，整理得-3=2m+3，移项计算得2m=-6，解得m=-3。
4x+3x=7，即7x=7，解得x=1，因此y=x=1。
将x=1、y=1代入方程kx+(k-1)y=3中，可得：
k + (k-1) = 3，整理得2k-1=3，移项计算得2k=4，解得k=2。
(2) 由题意可知该方程组的解互为相反数，即满足x=-y，将x=-y代入方程2x-y=-3中，可得：
2×(-y) - y = -3，即-3y=-3，解得y=1，因此x=-y=-1。
将x=-1、y=1代入方程x-2y=2m+3中，可得：
-1 - 2×1 = 2m + 3，整理得-3=2m+3，移项计算得2m=-6，解得m=-3。
