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1. 如图,某人从 A 处出发,沿正东方向前进至 B 处后右转 $35°$,再直行至 C 处。若他仍想沿正东方向行走,则他应()
A.先左转 $35°$,再直行
B.先左转 $145°$,再直行
C.先右转 $35°$,再直行
D.先右转 $145°$,再直行
A.先左转 $35°$,再直行
B.先左转 $145°$,再直行
C.先右转 $35°$,再直行
D.先右转 $145°$,再直行
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，需结合方向的定义和平行线的判定定理。首先明确正东方向为水平向右，AB段沿正东方向，到B处右转35°后沿BC方向行走；要使后续沿正东方向（即CD段为正东方向），需保证AB与CD平行，根据平行线的判定，内错角相等时两直线平行，因此在C处应左转35°，即可让CD与AB平行，保持正东方向。
【解析】
1. 明确方向：正东方向为水平向右，AB段沿正东方向，从B处右转35°后到达C处，此时BC的方向与正东方向形成35°的夹角。
2. 目标要求：要使CD段仍沿正东方向，需保证AB//CD（均为正东方向）。
3. 应用平行线判定：根据“内错角相等，两直线平行”，在C处左转35°后，CD与AB的内错角相等，即可满足AB//CD，从而沿正东方向直行。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定、方向角
【点评】
本题结合实际方向场景考查平行线的判定，核心是理解“沿正东方向行走”等价于两段路线平行，需掌握平行线判定在实际问题中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合方向的定义和平行线的判定定理。首先明确正东方向为水平向右，AB段沿正东方向，到B处右转35°后沿BC方向行走；要使后续沿正东方向（即CD段为正东方向），需保证AB与CD平行，根据平行线的判定，内错角相等时两直线平行，因此在C处应左转35°，即可让CD与AB平行，保持正东方向。
【解析】
1. 明确方向：正东方向为水平向右，AB段沿正东方向，从B处右转35°后到达C处，此时BC的方向与正东方向形成35°的夹角。
2. 目标要求：要使CD段仍沿正东方向，需保证AB//CD（均为正东方向）。
3. 应用平行线判定：根据“内错角相等，两直线平行”，在C处左转35°后，CD与AB的内错角相等，即可满足AB//CD，从而沿正东方向直行。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定、方向角
【点评】
本题结合实际方向场景考查平行线的判定，核心是理解“沿正东方向行走”等价于两段路线平行，需掌握平行线判定在实际问题中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
2. 光在不同的介质中传播会发生折射。平行的光线从水中射向空气时，折射的光线在空气中也是平行的。如图，若$∠ 3 + ∠ 4 = 115°$，则$∠ 2 - ∠ 1 = \_\_\_\_\_\_°$。
答案
$65$
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补、同位角相等。首先，水中的两条入射光线平行，水面作为截线，可得到∠2与∠4的关系；其次，空气中的两条折射光线平行，水面作为截线，可得到∠1与∠3的关系；最后结合已知条件，通过代数变形计算出∠2 - ∠1的值。
【解析】
1. 因为水中的两条入射光线平行，水面为截线，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠2 + ∠4 = 180°，即∠2 = 180° - ∠4。
2. 因为空气中的两条折射光线平行，水面为截线，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1 = ∠3。
3. 已知∠3 + ∠4 = 115°，将∠3替换为∠1，得∠1 + ∠4 = 115°。
4. 计算∠2 - ∠1：将∠2 = 180° - ∠4代入，得∠2 - ∠1 = (180° - ∠4) - ∠1 = 180° - (∠1 + ∠4) = 180° - 115° = 65°。
【答案】
65
【知识点】
平行线的性质、光的折射
【点评】
本题结合光的折射场景考查平行线的性质，核心是利用平行线的角关系推导，再结合已知条件计算，需学生灵活运用几何性质，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补、同位角相等。首先，水中的两条入射光线平行，水面作为截线，可得到∠2与∠4的关系；其次，空气中的两条折射光线平行，水面作为截线，可得到∠1与∠3的关系；最后结合已知条件，通过代数变形计算出∠2 - ∠1的值。
【解析】
1. 因为水中的两条入射光线平行，水面为截线，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠2 + ∠4 = 180°，即∠2 = 180° - ∠4。
2. 因为空气中的两条折射光线平行，水面为截线，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1 = ∠3。
3. 已知∠3 + ∠4 = 115°，将∠3替换为∠1，得∠1 + ∠4 = 115°。
4. 计算∠2 - ∠1：将∠2 = 180° - ∠4代入，得∠2 - ∠1 = (180° - ∠4) - ∠1 = 180° - (∠1 + ∠4) = 180° - 115° = 65°。
【答案】
65
【知识点】
平行线的性质、光的折射
【点评】
本题结合光的折射场景考查平行线的性质，核心是利用平行线的角关系推导，再结合已知条件计算，需学生灵活运用几何性质，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
3. 书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示。EF 与桌面 MN 垂直，当发光的灯管AB 恰好与桌面 MN 平行时，$∠ DEF=126°$，$∠ BCD=104°$，则$∠ CDE=$ $\_\_\_\_\_\_°$。
答案
112
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行线的性质处理折线间的角度关系。已知AB与MN平行，EF与MN垂直，因此AB与EF垂直，通过作辅助线将分散的角转化为平行关系中的同旁内角，结合已知角度的和差计算，即可求出∠CDE的度数。
【解析】
过点C作CG//AB，过点D作DH//AB，
∵ AB//MN，
∴ CG//DH//AB//MN，
∵ EF⊥MN，AB//MN，
∴ AB⊥EF，即AB与EF的夹角为90°，
根据平行线的拐角模型，可得角度关系：∠BCD + ∠CDE = ∠DEF + 90°，
将已知角度代入：104° + ∠CDE = 126° + 90°，
解得：∠CDE = 126° + 90° - 104° = 112°。
【答案】
112
【知识点】
平行线的性质、角度和差计算
【点评】
本题考查平行线性质在实际问题中的应用，核心是通过辅助线构造平行关系，将折线角度转化为可计算的和差，属于中等难度的几何角度题，需要学生掌握拐角模型的角度规律。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用平行线的性质处理折线间的角度关系。已知AB与MN平行，EF与MN垂直，因此AB与EF垂直，通过作辅助线将分散的角转化为平行关系中的同旁内角，结合已知角度的和差计算，即可求出∠CDE的度数。
【解析】
过点C作CG//AB，过点D作DH//AB，
∵ AB//MN，
∴ CG//DH//AB//MN，
∵ EF⊥MN，AB//MN，
∴ AB⊥EF，即AB与EF的夹角为90°，
根据平行线的拐角模型，可得角度关系：∠BCD + ∠CDE = ∠DEF + 90°，
将已知角度代入：104° + ∠CDE = 126° + 90°，
解得：∠CDE = 126° + 90° - 104° = 112°。
【答案】
112
【知识点】
平行线的性质、角度和差计算
【点评】
本题考查平行线性质在实际问题中的应用，核心是通过辅助线构造平行关系，将折线角度转化为可计算的和差，属于中等难度的几何角度题，需要学生掌握拐角模型的角度规律。
【难度系数】
0.5
4. 如图，一束平行于主光轴MN的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线BF与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点。若∠1=160°，∠2=35°，则∠3=°。
答案
55
解析
【分析】
要计算∠3，需结合凸透镜的特殊光线规律和平行线的角度关系：首先，平行于主光轴的光线AB与主光轴MN平行，利用∠1的度数求出BO与MN的夹角；再结合经过光心的光线与MN的夹角∠2，即可求出∠3。
【解析】
1. 因为AB//MN，根据平行线的同旁内角互补，在点B处，∠1=160°，所以BO与MN的夹角为：180° - ∠1 = 180° - 160° = 20°；
2. 经过光心O的光线传播方向不变，已知∠2=35°，即该光线与MN的夹角为35°；
3. 两条折射光线（BF与过光心的光线）交于点P，∠3等于BO与MN的夹角与过光心的光线和MN的夹角之和，因此∠3=20° + 35°=55°。
【答案】
55
【知识点】
凸透镜的光学性质、平行线的性质
【点评】
本题将凸透镜的特殊光线规律与平行线的角度关系结合，考查学生对光学知识的综合应用，需理清各角之间的关联，难度适中。
【难度系数】
0.5
要计算∠3，需结合凸透镜的特殊光线规律和平行线的角度关系：首先，平行于主光轴的光线AB与主光轴MN平行，利用∠1的度数求出BO与MN的夹角；再结合经过光心的光线与MN的夹角∠2，即可求出∠3。
【解析】
1. 因为AB//MN，根据平行线的同旁内角互补，在点B处，∠1=160°，所以BO与MN的夹角为：180° - ∠1 = 180° - 160° = 20°；
2. 经过光心O的光线传播方向不变，已知∠2=35°，即该光线与MN的夹角为35°；
3. 两条折射光线（BF与过光心的光线）交于点P，∠3等于BO与MN的夹角与过光心的光线和MN的夹角之和，因此∠3=20° + 35°=55°。
【答案】
55
【知识点】
凸透镜的光学性质、平行线的性质
【点评】
本题将凸透镜的特殊光线规律与平行线的角度关系结合，考查学生对光学知识的综合应用，需理清各角之间的关联，难度适中。
【难度系数】
0.5
5. 如图①,已知直线$AM// BG$,$C$为射线$BG$上的一个动点,过点$C$作$CD// AB$,交$AM$于点$D$,点$E$在线段$AB$上,$∠ DCE=90°$。
(1)图①中与$∠ ADC$相等的角是$\underline{\hspace{5em}}$。
(2)如图②,点$F$在线段$AD$上,$∠ FCG=90°$,$∠ ECF=60°$,求$∠ BCD$的度数。
(3)$F$是直线$AM$上的一点,$∠ FCG=90°$,$∠ ECF=α(0°＜α＜90°)$。在点$C$运动的过程中(点$C$与点$B$不重合,点$A$与点$F$不重合),$∠ BAF$的度数是多少(结果用含$α$的式子表示)?
(1)图①中与$∠ ADC$相等的角是$\underline{\hspace{5em}}$。
(2)如图②,点$F$在线段$AD$上,$∠ FCG=90°$,$∠ ECF=60°$,求$∠ BCD$的度数。
(3)$F$是直线$AM$上的一点,$∠ FCG=90°$,$∠ ECF=α(0°＜α＜90°)$。在点$C$运动的过程中(点$C$与点$B$不重合,点$A$与点$F$不重合),$∠ BAF$的度数是多少(结果用含$α$的式子表示)?
答案
(1) $∠ B$、$∠ DCG$
(2) $120°$
(3) $∠ BAF$的度数为$α$或$180°-α$
(2) $120°$
(3) $∠ BAF$的度数为$α$或$180°-α$
解析
【分析】
本题围绕平行线的性质展开，分三步思考：
(1) 利用“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同位角相等”，结合AM//BG、CD//AB的条件，推导与∠ADC相等的角；
(2) 先通过已知∠DCE=90°和∠ECF=60°求出∠FCD，再结合∠FCG=90°算出∠DCG，最后利用平角的性质求∠BCD；
(3) 需分两种情况讨论点F的位置，结合角度和差与平行线的性质，分别计算∠BAF的度数。
【解析】
(1) 因为AM//BG，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠ADC=∠DCG；又CD//AB，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠DCG=∠B，因此与∠ADC相等的角是∠B、∠DCG。
(2) 已知∠DCE=90°，∠ECF=60°，所以∠FCD=∠DCE - ∠ECF=90°-60°=30°；又∠FCG=90°，故∠DCG=∠FCG - ∠FCD=90°-30°=60°；因为B、C、G共线，∠BCD + ∠DCG=180°，所以∠BCD=180°-60°=120°。
(3) 分两种情况：
① 当F在线段AD上时：
∠DCF=∠DCE - ∠ECF=90°-α，又∠FCG=90°，则∠DCG=∠FCG - ∠DCF=α；由AM//BG、CD//AB，得∠BAF=∠DCG=α。
② 当F在DM的延长线上时：
此时∠DCG=180°-α，结合AM//BG，∠BAF + ∠ADC=180°，而∠ADC=∠DCG，故∠BAF=180°-α。
综上，∠BAF的度数为α或180°-α。
【答案】
(1) ∠B、∠DCG；(2) 120°；(3) α或180°-α
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是几何角度综合题，重点考查平行线的性质与角度的和差运算，难点在于第三问需分情况讨论点F的位置，学生易漏解，解题时需结合图形明确各角的位置关系，利用平行线的性质推导角的关系。
【难度系数】
0.4
本题围绕平行线的性质展开，分三步思考：
(1) 利用“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同位角相等”，结合AM//BG、CD//AB的条件，推导与∠ADC相等的角；
(2) 先通过已知∠DCE=90°和∠ECF=60°求出∠FCD，再结合∠FCG=90°算出∠DCG，最后利用平角的性质求∠BCD；
(3) 需分两种情况讨论点F的位置，结合角度和差与平行线的性质，分别计算∠BAF的度数。
【解析】
(1) 因为AM//BG，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠ADC=∠DCG；又CD//AB，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠DCG=∠B，因此与∠ADC相等的角是∠B、∠DCG。
(2) 已知∠DCE=90°，∠ECF=60°，所以∠FCD=∠DCE - ∠ECF=90°-60°=30°；又∠FCG=90°，故∠DCG=∠FCG - ∠FCD=90°-30°=60°；因为B、C、G共线，∠BCD + ∠DCG=180°，所以∠BCD=180°-60°=120°。
(3) 分两种情况：
① 当F在线段AD上时：
∠DCF=∠DCE - ∠ECF=90°-α，又∠FCG=90°，则∠DCG=∠FCG - ∠DCF=α；由AM//BG、CD//AB，得∠BAF=∠DCG=α。
② 当F在DM的延长线上时：
此时∠DCG=180°-α，结合AM//BG，∠BAF + ∠ADC=180°，而∠ADC=∠DCG，故∠BAF=180°-α。
综上，∠BAF的度数为α或180°-α。
【答案】
(1) ∠B、∠DCG；(2) 120°；(3) α或180°-α
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是几何角度综合题，重点考查平行线的性质与角度的和差运算，难点在于第三问需分情况讨论点F的位置，学生易漏解，解题时需结合图形明确各角的位置关系，利用平行线的性质推导角的关系。
【难度系数】
0.4
