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1.下列说法正确的是()
①同位角相等;②两点之间的所有连线中,线段最短;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④两点之间的距离是两点间的线段;⑤在同一平面内,若$∠AOB=70°,∠BOC=30°$,则$∠AOC=100°$。
A.②
B.②③
C.②③④
D.②③⑤
①同位角相等;②两点之间的所有连线中,线段最短;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④两点之间的距离是两点间的线段;⑤在同一平面内,若$∠AOB=70°,∠BOC=30°$,则$∠AOC=100°$。
A.②
B.②③
C.②③④
D.②③⑤
答案
A
解析
【分析】
要判断各说法的正确性，需逐一回忆几何相关公理、定理及概念：
1. 同位角的性质：仅当两直线平行时同位角才相等，未说明平行时同位角不一定相等，故①错误；
2. 线段的性质：两点之间所有连线中线段最短，这是几何基本公理，故②正确；
3. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则无法作平行线，故③错误；
4. 两点间距离的定义：两点之间的距离是两点间线段的长度，而非线段本身，概念混淆，故④错误；
5. 角的和差：∠BOC的位置不确定，可能在∠AOB内部或外部，因此∠AOC可能为100°或40°，故⑤错误。
综上，只有②正确。
【解析】
逐一分析各选项对应的说法：
①：同位角相等的前提是两直线平行，未明确两直线平行时，同位角不一定相等，故①错误；
②：两点之间的所有连线中，线段最短，这是几何基本公理，故②正确；
③：平行公理要求“过直线外一点”，若点在已知直线上，则不存在与该直线平行的直线，故③错误；
④：两点之间的距离是两点间线段的长度，并非线段本身，概念理解错误，故④错误；
⑤：∠BOC的位置未确定，∠AOC可能为70°+30°=100°，也可能为70°-30°=40°，故⑤错误。
因此只有②正确，对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平行线性质、线段性质、平行公理、两点间距离、角的和差
【点评】
本题考查多个基础几何知识点，需准确掌握各概念的前提条件（如同位角相等的平行前提、平行公理的“直线外一点”），避免概念混淆，同时注意角的位置不确定性，是对几何基础的综合考查。
【难度系数】
0.5
要判断各说法的正确性，需逐一回忆几何相关公理、定理及概念：
1. 同位角的性质：仅当两直线平行时同位角才相等，未说明平行时同位角不一定相等，故①错误；
2. 线段的性质：两点之间所有连线中线段最短，这是几何基本公理，故②正确；
3. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则无法作平行线，故③错误；
4. 两点间距离的定义：两点之间的距离是两点间线段的长度，而非线段本身，概念混淆，故④错误；
5. 角的和差：∠BOC的位置不确定，可能在∠AOB内部或外部，因此∠AOC可能为100°或40°，故⑤错误。
综上，只有②正确。
【解析】
逐一分析各选项对应的说法：
①：同位角相等的前提是两直线平行，未明确两直线平行时，同位角不一定相等，故①错误；
②：两点之间的所有连线中，线段最短，这是几何基本公理，故②正确；
③：平行公理要求“过直线外一点”，若点在已知直线上，则不存在与该直线平行的直线，故③错误；
④：两点之间的距离是两点间线段的长度，并非线段本身，概念理解错误，故④错误；
⑤：∠BOC的位置未确定，∠AOC可能为70°+30°=100°，也可能为70°-30°=40°，故⑤错误。
因此只有②正确，对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平行线性质、线段性质、平行公理、两点间距离、角的和差
【点评】
本题考查多个基础几何知识点，需准确掌握各概念的前提条件（如同位角相等的平行前提、平行公理的“直线外一点”），避免概念混淆，同时注意角的位置不确定性，是对几何基础的综合考查。
【难度系数】
0.5
2. 如图，$AC// BD$，$BC$平分$∠ ABD$。若$∠ EAF=130°$，则$∠ CBD=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
25
解析
【分析】
要解决本题，需逐步利用几何性质推导：首先根据对顶角相等求出∠BAC的度数，再结合平行线的同旁内角互补得到∠ABD的度数，最后依据角平分线的定义计算∠CBD的度数。
第一步：观察图形，∠EAF与∠BAC是对顶角，根据对顶角相等可确定∠BAC；第二步：利用AC//BD的平行线性质，得到∠BAC与∠ABD的互补关系，算出∠ABD；第三步：由BC平分∠ABD，将∠ABD平分得到∠CBD。
【解析】
解：1. 求∠BAC的度数：
∵∠EAF与∠BAC是对顶角，
∴∠BAC = ∠EAF = 130°（对顶角相等）。
2. 求∠ABD的度数：
∵AC//BD，
∴∠BAC + ∠ABD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABD = 180° - 130° = 50°。
3. 求∠CBD的度数：
∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD = ½∠ABD = ½×50° = 25°。
【答案】
25
【知识点】
平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线、对顶角、角平分线的基础几何知识，解题关键是理清角之间的关系，属于常规几何基础题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需逐步利用几何性质推导：首先根据对顶角相等求出∠BAC的度数，再结合平行线的同旁内角互补得到∠ABD的度数，最后依据角平分线的定义计算∠CBD的度数。
第一步：观察图形，∠EAF与∠BAC是对顶角，根据对顶角相等可确定∠BAC；第二步：利用AC//BD的平行线性质，得到∠BAC与∠ABD的互补关系，算出∠ABD；第三步：由BC平分∠ABD，将∠ABD平分得到∠CBD。
【解析】
解：1. 求∠BAC的度数：
∵∠EAF与∠BAC是对顶角，
∴∠BAC = ∠EAF = 130°（对顶角相等）。
2. 求∠ABD的度数：
∵AC//BD，
∴∠BAC + ∠ABD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABD = 180° - 130° = 50°。
3. 求∠CBD的度数：
∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD = ½∠ABD = ½×50° = 25°。
【答案】
25
【知识点】
平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线、对顶角、角平分线的基础几何知识，解题关键是理清角之间的关系，属于常规几何基础题。
【难度系数】
0.4
3. 如图，若$AB// CD$，$CD// EF$，则$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ 3$之间的数量关系为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$\boldsymbol{∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 3}$
解析
【分析】
要推导∠1、∠2、∠3的数量关系，首先利用平行公理的推论得到AB与EF平行，再结合平行线的性质（同旁内角互补），通过等量代换和角的和差关系，逐步推导出三个角的关系。
【解析】
解：
∵ AB//CD，CD//EF（已知），
∴ AB//EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴ ∠1 + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ CD//EF（已知），
∴ ∠3 + ∠CEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠1 + ∠AEF = ∠3 + ∠CEF（等量代换），
又
∵ ∠AEF = ∠2 + ∠CEF（角的和的定义），
将∠AEF代入上式得：∠1 + ∠2 + ∠CEF = ∠3 + ∠CEF，
两边同时减去∠CEF，可得：∠1 + ∠2 = ∠3。
【答案】
∠1 + ∠2 = ∠3
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论
【点评】
本题考查平行线的性质及平行公理的推论，是几何入门的基础题型，需熟练掌握平行线的性质，通过等量代换推导角的关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
要推导∠1、∠2、∠3的数量关系，首先利用平行公理的推论得到AB与EF平行，再结合平行线的性质（同旁内角互补），通过等量代换和角的和差关系，逐步推导出三个角的关系。
【解析】
解：
∵ AB//CD，CD//EF（已知），
∴ AB//EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴ ∠1 + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ CD//EF（已知），
∴ ∠3 + ∠CEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠1 + ∠AEF = ∠3 + ∠CEF（等量代换），
又
∵ ∠AEF = ∠2 + ∠CEF（角的和的定义），
将∠AEF代入上式得：∠1 + ∠2 + ∠CEF = ∠3 + ∠CEF，
两边同时减去∠CEF，可得：∠1 + ∠2 = ∠3。
【答案】
∠1 + ∠2 = ∠3
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论
【点评】
本题考查平行线的性质及平行公理的推论，是几何入门的基础题型，需熟练掌握平行线的性质，通过等量代换推导角的关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. 图①是一种健身器材——上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，图②是其简单示意图，其中$AB// EF$。若$∠ A=100°$，$∠ APE=130°$，则$∠ E=$°。
答案
130
解析
【分析】
要解决这个问题，我们利用平行线的性质，通过作辅助线将分散的角联系起来。已知AB//EF，∠A和∠APE的度数，我们过点P作平行于AB的辅助线PG，根据平行公理推论可知PG//AB//EF，再利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，逐步计算出∠E的度数。
【解析】
过点P作PG//AB，
∵ AB//EF（已知），
∴ PG//AB//EF（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∵ PG//AB，
∴ ∠A + ∠APG = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ ∠A = 100°，
∴ ∠APG = 180° - 100° = 80°。
又
∵ ∠APE = 130°，
∴ ∠GPE = ∠APE - ∠APG = 130° - 80° = 50°。
∵ PG//EF，
∴ ∠E + ∠GPE = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠E = 180° - 50° = 130°。
【答案】
130
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题通过作辅助线将平行线的性质应用于角度计算，是几何中利用平行线解决角度问题的典型题型，需要学生掌握辅助线的添加方法和平行线的性质。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们利用平行线的性质，通过作辅助线将分散的角联系起来。已知AB//EF，∠A和∠APE的度数，我们过点P作平行于AB的辅助线PG，根据平行公理推论可知PG//AB//EF，再利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，逐步计算出∠E的度数。
【解析】
过点P作PG//AB，
∵ AB//EF（已知），
∴ PG//AB//EF（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∵ PG//AB，
∴ ∠A + ∠APG = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ ∠A = 100°，
∴ ∠APG = 180° - 100° = 80°。
又
∵ ∠APE = 130°，
∴ ∠GPE = ∠APE - ∠APG = 130° - 80° = 50°。
∵ PG//EF，
∴ ∠E + ∠GPE = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠E = 180° - 50° = 130°。
【答案】
130
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题通过作辅助线将平行线的性质应用于角度计算，是几何中利用平行线解决角度问题的典型题型，需要学生掌握辅助线的添加方法和平行线的性质。
【难度系数】
0.5
5.【模型发现】数学兴趣小组的同学们在活动中发现:图①中的几何图形很像猪蹄,于是将这个图形称为“猪蹄模型”,“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系。
(1)如图②,$AB// CD$,P 是 AB,CD 之间的一点,连接 BP,DP,试说明:$∠B+∠D=∠BPD$。请将下面的推理过程补充完整,并在括号内注明理由。
解:如图②,过点 P 作$PM// AB$,
则$∠B=∠BPM$()。
因为$AB// CD$(已知),
所以$PM// CD$()。
所以$∠D=∠DPM$()。
因为$∠BPM+∠DPM=∠BPD$,
所以$∠B+$$=∠BPD$(等量代换)。
【方法应用】
(2)如图③,若$AB// CD,∠BEP=150°,∠PFD=128°$,则$∠EPF=$°。
(1)如图②,$AB// CD$,P 是 AB,CD 之间的一点,连接 BP,DP,试说明:$∠B+∠D=∠BPD$。请将下面的推理过程补充完整,并在括号内注明理由。
解:如图②,过点 P 作$PM// AB$,
则$∠B=∠BPM$()。
因为$AB// CD$(已知),
所以$PM// CD$()。
所以$∠D=∠DPM$()。
因为$∠BPM+∠DPM=∠BPD$,
所以$∠B+$$=∠BPD$(等量代换)。
【方法应用】
(2)如图③,若$AB// CD,∠BEP=150°,∠PFD=128°$,则$∠EPF=$°。
答案
两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；∠D；82
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需通过作辅助线PM平行AB，利用平行线的性质和平行公理的推论，将∠B、∠D转化为与∠BPD相关的角，完成角度关系的证明；第(2)问应用“猪蹄模型”的角度规律，结合平行线的同旁内角互补性质，计算∠EPF的度数，关键是正确作辅助线转化角的关系。
【解析】
(1) 如图②，过点$P$作$PM//AB$，
则$∠B=∠BPM$（两直线平行，内错角相等）。
因为$AB// CD$（已知），
所以$PM// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以$∠D=∠DPM$（两直线平行，内错角相等）。
因为$∠BPM+∠DPM=∠BPD$，
所以$∠B+∠D=∠BPD$（等量代换）。
(2) 如图③，过点$P$作$PM//AB$，
因为$AB// CD$，所以$PM//CD$。
根据平行线的性质，$∠BEP + ∠EPM = 180°$，$∠PFD + ∠FPM = 180°$，
两式相加得：$∠BEP + ∠EPM + ∠FPM + ∠PFD = 360°$，
即$∠BEP + ∠EPF + ∠PFD = 360°$。
已知$∠BEP=150°$，$∠PFD=128°$，代入得：
$150° + ∠EPF + 128° = 360°$，
解得$∠EPF = 82°$。
【答案】
(1) 两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；∠D；(2) 82
【知识点】
平行线的性质，平行公理的推论
【点评】
本题考查平行线性质的应用，通过作辅助线构造平行关系是解决“猪蹄模型”问题的核心，需熟练掌握平行线的相关性质，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需通过作辅助线PM平行AB，利用平行线的性质和平行公理的推论，将∠B、∠D转化为与∠BPD相关的角，完成角度关系的证明；第(2)问应用“猪蹄模型”的角度规律，结合平行线的同旁内角互补性质，计算∠EPF的度数，关键是正确作辅助线转化角的关系。
【解析】
(1) 如图②，过点$P$作$PM//AB$，
则$∠B=∠BPM$（两直线平行，内错角相等）。
因为$AB// CD$（已知），
所以$PM// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以$∠D=∠DPM$（两直线平行，内错角相等）。
因为$∠BPM+∠DPM=∠BPD$，
所以$∠B+∠D=∠BPD$（等量代换）。
(2) 如图③，过点$P$作$PM//AB$，
因为$AB// CD$，所以$PM//CD$。
根据平行线的性质，$∠BEP + ∠EPM = 180°$，$∠PFD + ∠FPM = 180°$，
两式相加得：$∠BEP + ∠EPM + ∠FPM + ∠PFD = 360°$，
即$∠BEP + ∠EPF + ∠PFD = 360°$。
已知$∠BEP=150°$，$∠PFD=128°$，代入得：
$150° + ∠EPF + 128° = 360°$，
解得$∠EPF = 82°$。
【答案】
(1) 两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；∠D；(2) 82
【知识点】
平行线的性质，平行公理的推论
【点评】
本题考查平行线性质的应用，通过作辅助线构造平行关系是解决“猪蹄模型”问题的核心，需熟练掌握平行线的相关性质，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
