1 [2026 海安段测]若关于$x$的多项式$(a-3)x^4 - x^b + x - ab$为二次三项式，则常数项是（）

A.$-9$
B.$9$
C.$-6$
D.$6$

1. C

【分析】
要解决这道题，首先要明确二次三项式的定义：多项式中最高次项的次数为2，且多项式总共包含3个单项式。首先观察给定的多项式，含有四次项，要满足“二次”的要求，必须让四次项的系数为0，消去四次项；再根据最高次为2，确定$x^b$的指数$b$的值；最后代入参数计算常数项，同时验证项数是否符合三项的要求即可。
【解析】
∵ 多项式$(a-3)x^4 - x^b + x - ab$是二次三项式
∴ ① 要消去四次项，需四次项系数为0：$a - 3 = 0$，解得$a = 3$
② 要满足最高次为2，需最高次项的次数为2：$b = 2$
将$a=3$，$b=2$代入原多项式验证：
原式$=(3-3)x^4 - x^2 + x - 3×2 = -x^2 + x - 6$，符合二次三项式的要求
其中不含字母的常数项为$-6$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数与项；代数式求值
【点评】
本题核心考查多项式相关基础概念的应用，解题关键是根据“二次三项式”的限定条件，先推导出参数a、b的取值，注意不要遗漏“四次项系数必须为0”的隐含要求，属于概念理解类的常规题型。
【难度系数】
0.7

2（1）$4x^{4}y+x^{3}y^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}y^{3}-4xy^{4}+6y^{4}$ 是次项式；

(1) 五 五

【分析】
要判断一个多项式是几次几项式，需掌握两个核心概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式（连同前面的符号）都是多项式的一项，有几个不同的单项式就有几项；②多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数就是该多项式的次数，其中单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。解题时我们先拆分出多项式的所有项，再分别计算每一项的次数，找到最高次数、统计总项数即可得到结果。
【解析】
首先拆分多项式的所有项并分别计算次数：
1. 项$4x^{4}y$：次数为$4+1=5$；
2. 项$x^{3}y^{2}$：次数为$3+2=5$；
3. 项$-\dfrac{1}{2}x^{2}y^{3}$：次数为$2+3=5$；
4. 项$-4xy^{4}$：次数为$1+4=5$；
5. 项$6y^{4}$：次数为$4$。
可知该多项式中最高次项的次数为5，总共有5个项，因此该多项式是五次五项式。
【答案】
五 五
【知识点】
多项式的项；单项式的次数；多项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时要注意计算单项式次数时不要漏掉指数为1的字母，统计项数时不要忽略项前面的符号。
【难度系数】
0.9

(2) 多项式 $a^2b - \frac{a^3b^2}{3} + 5a^3 - b^3$ 的次数最高项的系数是 。

(2) $-\dfrac{1}{3}$

【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆多项式的相关概念：①组成多项式的每个单项式叫做多项式的项；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和；③单项式的系数是单项式中的数字因数，包含前面的符号。解题思路为：先拆分出多项式的所有项，分别计算每一项的次数，找到次数最高的项，再确定该项的系数即可。
【解析】
首先拆分多项式$a^2b - \frac{a^3b^2}{3} + 5a^3 - b^3$的各项，分别计算次数和系数：
1. 第一项$a^2b$：次数为$2+1=3$，系数为$1$；
2. 第二项$-\frac{a^3b^2}{3}$：次数为$3+2=5$，系数为$-\frac{1}{3}$；
3. 第三项$5a^3$：次数为$3$，系数为$5$；
4. 第四项$-b^3$：次数为$3$，系数为$-1$。
对比各项次数可知，次数最高的项是$-\frac{a^3b^2}{3}$，对应的系数为$-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；单项式的系数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是熟记多项式相关定义，计算次数时要累加所有字母的指数，确定系数时不要遗漏项前面的符号。
【难度系数】
0.8

3 新考向 结论开放题 写出一个同时满足① 只含有字母a和b；② 每一项的次数都是2；③ 按字母a的降幂排列这些条件的二次三项式：.

3. 答案不唯一,如$a^2+ab+b^2$

【分析】
我们可以按照题目给出的三个条件逐步构造多项式：第一步，根据条件①，确定多项式中只能出现字母a和b，不能出现其他字母或常数项；第二步，根据条件②，每一项的次数都是2，说明每个单项式中a的指数与b的指数之和为2，同时是三项式，需要构造3个符合次数要求的单项式；第三步，根据条件③按a的降幂排列，即三个单项式中a的指数要从高到低排列，a的最高指数为2，接下来是1，最后是0，对应匹配b的指数满足次数和为2，再给各项赋非零系数即可得到符合要求的多项式。
【解析】
1. 先确定a的最高次项：a的指数为2，此时b的指数为0，该项可写为$a^2$（系数取任意非零值均可，此处取1）；
2. 再确定a的指数为1的项：此时b的指数为$2-1=1$，该项可写为$ab$（系数取任意非零值均可，此处取1）；
3. 最后确定a的指数为0的项：此时b的指数为2，该项可写为$b^2$（系数取任意非零值均可，此处取1）；
4. 将三个项按a的降幂排列组合，得到的多项式就满足所有条件，也可调整各项系数，得到的其他结果也符合要求。
【答案】
答案不唯一，如$a^2+ab+b^2$
【知识点】
单项式的次数；多项式的概念；降幂排列
【点评】
本题是结论开放类题目，主要考查整式相关基础概念的应用，构造时严格紧扣三个给定条件即可，容错空间较大。
【难度系数】
0.8

4 下列计算正确的是 （）

A.$-ab - ab = 0$
B.$-(3a + b) = -3a - b$
C.$5(b - 2a) = 5b - 2a$
D.$8a^4 - 6a^2 = 2a^2$

4. B

【分析】
本题考查整式加减的相关运算规则，解题时需逐一对每个选项运用对应法则验证：首先明确，合并同类项的前提是两项为同类项（所含字母相同、相同字母的指数也相同），合并时仅系数相加减，字母和指数不变；去括号时若括号前为负号，括号内每一项都要改变符号；运用乘法分配律时，括号外的因数要乘括号内的每一项，不能漏乘。按照上述规则依次判断四个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$-ab$和$-ab$是同类项，合并时系数相加得$(-1-1)ab=-2ab≠0$，故A错误；
B选项：根据去括号法则，括号前为负号，括号内每一项都变号，$-(3a+b)=-3a - b$，故B正确；
C选项：根据乘法分配律，$5(b-2a)=5× b - 5×2a=5b - 10a≠5b - 2a$，存在漏乘，故C错误；
D选项：$8a^4$与$6a^2$中$a$的指数不同，不是同类项，不能合并，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；去括号法则；乘法分配律
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心考察整式加减的基础规则，需要熟练掌握同类项的判定、合并同类项的方法以及去括号、分配律的应用注意事项，避免出现漏乘、错变符号、非同类项强行合并的错误。
【难度系数】
0.8

5 已知长方形的长为$a$，宽为$a-b(0＜b＜a)$，周长为$C_1$，正方形的边长为$\frac{a+b}{2}$，周长为$C_2$，则$C_1 - C_2$等于
（）

A.$2a$
B.$2a - b$
C.$2a - 2b$
D.$2a - 4b$

5. D

【分析】
要计算$C_1 - C_2$，首先需要分别求出长方形周长$C_1$和正方形周长$C_2$，再对两个周长作差，通过整式加减运算化简即可得到结果。解题时先回忆长方形、正方形的周长公式，代入对应边长求出两个周长，再按照去括号、合并同类项的法则计算差值即可。
【解析】
1. 计算长方形周长$C_1$：
长方形周长公式为$C=2×(长+宽)$，将长$a$、宽$a-b$代入得：
$C_1=2[a+(a-b)]=2(2a-b)=4a-2b$
2. 计算正方形周长$C_2$：
正方形周长公式为$C=4× 边长$，将边长$\frac{a+b}{2}$代入得：
$C_2=4×\frac{a+b}{2}=2(a+b)=2a+2b$
3. 计算$C_1 - C_2$：
$C_1 - C_2=(4a-2b)-(2a+2b)=4a-2b-2a-2b=2a-4b$
【答案】
D
【知识点】
周长计算公式、整式的加减、代数式化简
【点评】
本题属于基础运算题，结合几何周长公式考查整式的加减运算，解题时要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

6 [2025通州期末]将三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②的方式分别放置于相同的大长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图①中涂色部分的周长为m，图②中涂色部分的周长之和为n，则m与n的差
（）

A.与正方形A的边长有关
B.与正方形B的边长有关
C.与正方形C的边长有关
D.与正方形A,B,C的边长均无关

6. D

【分析】
要判断两个涂色部分周长的差和三个正方形边长的关系，可采用平移法处理不规则图形的周长：先将不规则图形的边通过平移转化为和大长方形相关的规则边长，再分别表示出m和n，最后计算二者的差观察是否包含三个正方形的边长即可。第一步回忆平移法求不规则图形周长的方法；第二步分别对两张图的涂色边做平移得到周长表达式；第三步计算差判断和边长的关联。
【解析】
设大长方形的长为$L$，宽为$W$。
1. 计算图①涂色部分周长$m$：
将涂色部分的所有水平边向上、向下平移，可发现水平边总长度等于$2L$；将所有竖直边向左、向右平移，可发现竖直边总长度等于$2W$，因此$m=2L+2W=2(L+W)$。
2. 计算图②涂色部分周长之和$n$：
对两个涂色部分的边分别做平移，水平方向所有边的总长度仍然等于$2L$，竖直方向所有边的总长度仍然等于$2W$，因此$n=2L+2W=2(L+W)$。
3. 计算$m$和$n$的差：
$m-n=2(L+W)-2(L+W)=0$，差为固定值0，和正方形A、B、C的边长均没有关系。
【答案】
D
【知识点】
平移法求周长，长方形周长计算，代数式化简
【点评】
本题的解题关键是利用平移将不规则图形的周长转化为规则的大长方形周长，不需要计算各部分的具体边长就能快速得到周长差为定值。
【难度系数】
0.6

7 计算：
(1) $2x^2 -4x +7 +5x -8 -3x^2$；
(2) $3a^2 + a - (2a^2 -2a) + (3a -a^2)$；
(3) $2y^2 -3(x - \frac{1}{3}y^2) - (6x -5y^2)$；
(4) $4(3a^2b -ab^2) -2(3ab^2 -a^2b) -14a^2b$。

7. (1) $-x^2+x-1$ (2) $6a$ (3) $-9x+8y^2$ (4) $-10ab^2$

【分析】
整式加减运算的核心是“去括号”和“合并同类项”两步：①有括号时先去括号：若括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；若括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号；若括号前有系数，要将系数乘到括号内的每一项。②合并同类项：找到所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。本题四个小题按这个规则逐步计算即可。
【解析】
(1) 直接合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2x^2-3x^2)+(-4x+5x)+(7-8)\\&=-x^2+x-1\end{aligned}$
(2) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3a^2+a-2a^2+2a+3a-a^2\\&=(3a^2-2a^2-a^2)+(a+2a+3a)\\&=6a\end{aligned}$
(3) 先将系数乘进括号内再去括号，最后合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2y^2-3x+y^2-6x+5y^2\\&=(2y^2+y^2+5y^2)+(-3x-6x)\\&=-9x+8y^2\end{aligned}$
(4) 先将括号外系数乘进括号内，再去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=12a^2b-4ab^2-6ab^2+2a^2b-14a^2b\\&=(12a^2b+2a^2b-14a^2b)+(-4ab^2-6ab^2)\\&=-10ab^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-x^2+x-1$ (2) $6a$ (3) $-9x+8y^2$ (4) $-10ab^2$
【知识点】
合并同类项；去括号法则；整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，解题的关键是熟练掌握去括号和合并同类项的规则，计算时要注意括号前的符号和系数，避免出现符号错误或漏乘的问题。
【难度系数】
0.8