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1. 当人体的下半身长度与身高之比约为0.618:1时，会给人带来优美的视觉感受，人们将这个比称为黄金比。一位芭蕾舞演员的身高为170 cm，她下半身的长度和身高的比值约为0.6。跳芭蕾舞时，她需要踮起约(
A.3
B.6
C.8
D.9
C
)cm(结果保留整数)，才能使下半身的长度和身高的比值约为0.618。A.3
B.6
C.8
D.9
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先根据已知的原身高和原下半身与身高的比值，算出原来下半身的长度。要注意踮起脚时，踮起的高度会同时让下半身长度和总身高增加相同的数值，我们可以设踮起的高度为x cm，再根据踮脚后下半身和身高的比值为0.618列出等式，求解即可得到答案。
【解析】
首先计算演员原来的下半身长度：
$170×0.6=102$（cm）
设她需要踮起$x$cm，踮脚后下半身长度为$(102+x)$cm，总身高为$(170+x)$cm，根据题意列比例：
$(102+x):(170+x)=0.618:1$
根据比例的基本性质，内项积等于外项积可得：
$102+x=0.618×(170+x)$
计算得：
$102+x=105.06+0.618x$
移项计算：
$x-0.618x=105.06-102$
$0.382x=3.06$
$x\approx3.06÷0.382\approx8$
所以需要踮起约8cm。
【答案】
C
【知识点】
比的意义，比例的应用，列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的黄金比情境考查比例的实际应用，解题的易错点是容易忽略踮脚后总身高也会随踮脚高度增加，解题时要找准等量关系再列式计算。
【难度系数】
0.6
解题时先根据已知的原身高和原下半身与身高的比值，算出原来下半身的长度。要注意踮起脚时，踮起的高度会同时让下半身长度和总身高增加相同的数值，我们可以设踮起的高度为x cm，再根据踮脚后下半身和身高的比值为0.618列出等式，求解即可得到答案。
【解析】
首先计算演员原来的下半身长度：
$170×0.6=102$（cm）
设她需要踮起$x$cm，踮脚后下半身长度为$(102+x)$cm，总身高为$(170+x)$cm，根据题意列比例：
$(102+x):(170+x)=0.618:1$
根据比例的基本性质，内项积等于外项积可得：
$102+x=0.618×(170+x)$
计算得：
$102+x=105.06+0.618x$
移项计算：
$x-0.618x=105.06-102$
$0.382x=3.06$
$x\approx3.06÷0.382\approx8$
所以需要踮起约8cm。
【答案】
C
【知识点】
比的意义，比例的应用，列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的黄金比情境考查比例的实际应用，解题的易错点是容易忽略踮脚后总身高也会随踮脚高度增加，解题时要找准等量关系再列式计算。
【难度系数】
0.6
2. 新素养 推理意识 小红、小军和小明参加数学竞赛，一共答对36道题。小红答对的数量是另外两人答对的数量之和的$\frac{1}{3}$，小明答对的数量是另外两人答对的数量之和的$\frac{1}{2}$。小红和小明一共答对多少道题？
答案
2. $36×(\frac{1}{1+3}+\frac{1}{1+2})=21$(道)
答:小红和小明一共答对21道题。
答:小红和小明一共答对21道题。
解析
【分析】
解题的核心是把“某人答对题数是另外两人之和的几分之几”的关系，转化为该人答对题数占总答对题数的分率。首先分析小红的情况：小红答对的是另外两人之和的$\frac{1}{3}$，若把另外两人答对的数量看作3份，小红答对的就是1份，总题数共$1+3=4$份，因此小红答对的数量占总题数的$\frac{1}{1+3}$。同理，小明答对的是另外两人之和的$\frac{1}{2}$，把另外两人的数量看作2份，小明的是1份，总题数共$1+2=3$份，因此小明答对的数量占总题数的$\frac{1}{1+2}$。最后用总题数乘两人占总题数的分率之和，就能得到两人一共答对的题数。
【解析】
第一步：求小红答对题数占总题数的分率
小红答对数量是另外两人之和的$\frac{1}{3}$，总份数为$1+3=4$，因此小红答对题数占总量的$\frac{1}{1+3}$。
第二步：求小明答对题数占总题数的分率
小明答对数量是另外两人之和的$\frac{1}{2}$，总份数为$1+2=3$，因此小明答对题数占总量的$\frac{1}{1+2}$。
第三步：计算两人一共答对的题数
$36×(\frac{1}{1+3}+\frac{1}{1+2})$
$=36×(\frac{1}{4}+\frac{1}{3})$
$=36×\frac{7}{12}$
$=21$（道）
【答案】
小红和小明一共答对21道题。
【知识点】
分数乘法应用题、单位“1”转化、按比例分配
【点评】
本题是分数应用的常规题型，解题关键是将部分量之间的比例关系转换为部分量与总量的比例关系，找准总题数为单位“1”后即可快速计算。
【难度系数】
0.7
解题的核心是把“某人答对题数是另外两人之和的几分之几”的关系，转化为该人答对题数占总答对题数的分率。首先分析小红的情况：小红答对的是另外两人之和的$\frac{1}{3}$，若把另外两人答对的数量看作3份，小红答对的就是1份，总题数共$1+3=4$份，因此小红答对的数量占总题数的$\frac{1}{1+3}$。同理，小明答对的是另外两人之和的$\frac{1}{2}$，把另外两人的数量看作2份，小明的是1份，总题数共$1+2=3$份，因此小明答对的数量占总题数的$\frac{1}{1+2}$。最后用总题数乘两人占总题数的分率之和，就能得到两人一共答对的题数。
【解析】
第一步：求小红答对题数占总题数的分率
小红答对数量是另外两人之和的$\frac{1}{3}$，总份数为$1+3=4$，因此小红答对题数占总量的$\frac{1}{1+3}$。
第二步：求小明答对题数占总题数的分率
小明答对数量是另外两人之和的$\frac{1}{2}$，总份数为$1+2=3$，因此小明答对题数占总量的$\frac{1}{1+2}$。
第三步：计算两人一共答对的题数
$36×(\frac{1}{1+3}+\frac{1}{1+2})$
$=36×(\frac{1}{4}+\frac{1}{3})$
$=36×\frac{7}{12}$
$=21$（道）
【答案】
小红和小明一共答对21道题。
【知识点】
分数乘法应用题、单位“1”转化、按比例分配
【点评】
本题是分数应用的常规题型，解题关键是将部分量之间的比例关系转换为部分量与总量的比例关系，找准总题数为单位“1”后即可快速计算。
【难度系数】
0.7
3. 新情境 生活应用 网约专车是一种新型打车商业模式，叫车、付钱都能在网上实现。某专车计费标准为3千米以内(含3千米)收费10元；3千米以上部分每千米2.7元(不足1千米按1千米计算)。王经理从公司乘专车去机场，共付车费50.5元。公司到机场的距离最远是多少千米？
答案
3. 50.5−10=40.5(元) 40.5÷2.7=15(千米)
15+3=18(千米)
答:公司到机场的距离最远是18千米。
15+3=18(千米)
答:公司到机场的距离最远是18千米。
解析
【分析】
这是一道分段计费的实际应用题，解题时首先要明确收费规则：总车费分为两部分，3千米以内的固定费用10元，以及超过3千米部分按每千米2.7元收取的费用。已知总车费50.5元大于10元，说明行驶距离超过了3千米。我们可以先从总车费里减去3千米以内的固定费用，得到超出3千米部分的总费用；再用这部分费用除以超出部分每千米的单价，就能算出超出3千米的最长距离（因为不足1千米按1千米算，要得到最远距离，超出部分刚好是整千米数，没有多余的不足1千米的部分）；最后把两部分距离相加，就是公司到机场的最远距离。
【解析】
第一步：计算超出3千米部分的车费
$ 50.5 - 10 = 40.5 $（元）
第二步：计算超出3千米的最长距离
$ 40.5 ÷ 2.7 = 15 $（千米）
第三步：计算公司到机场的最远距离
$ 15 + 3 = 18 $（千米）
【答案】
公司到机场的距离最远是18千米。
【知识点】
分段计费问题，小数四则运算
【点评】
本题结合网约专车计费的生活情境，考查分段计费问题的实际应用，解题的核心是理清收费的分段标准，合理拆分总费用对应不同的里程段计算，同时注意“不足1千米按1千米算”“最远距离”的条件要求，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
这是一道分段计费的实际应用题，解题时首先要明确收费规则：总车费分为两部分，3千米以内的固定费用10元，以及超过3千米部分按每千米2.7元收取的费用。已知总车费50.5元大于10元，说明行驶距离超过了3千米。我们可以先从总车费里减去3千米以内的固定费用，得到超出3千米部分的总费用；再用这部分费用除以超出部分每千米的单价，就能算出超出3千米的最长距离（因为不足1千米按1千米算，要得到最远距离，超出部分刚好是整千米数，没有多余的不足1千米的部分）；最后把两部分距离相加，就是公司到机场的最远距离。
【解析】
第一步：计算超出3千米部分的车费
$ 50.5 - 10 = 40.5 $（元）
第二步：计算超出3千米的最长距离
$ 40.5 ÷ 2.7 = 15 $（千米）
第三步：计算公司到机场的最远距离
$ 15 + 3 = 18 $（千米）
【答案】
公司到机场的距离最远是18千米。
【知识点】
分段计费问题，小数四则运算
【点评】
本题结合网约专车计费的生活情境，考查分段计费问题的实际应用，解题的核心是理清收费的分段标准，合理拆分总费用对应不同的里程段计算，同时注意“不足1千米按1千米算”“最远距离”的条件要求，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
4. 二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下：
$(101)_2=(100)_2 × 1 + (1)_2 × 1 = 4 × 1 + 1 × 1 = 5$
$(11011)_2=(10000)_2 × 1 + (1000)_2 × 1 + (10)_2 × 1 + (1)_2 × 1 = 16 × 1 + 8 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 27$
$(1110111)_2=(1000000)_2 × 1 + (100000)_2 × 1 + (10000)_2 × 1 + (100)_2 × 1 + (10)_2 × 1 + (1)_2 × 1 = 64 × 1 + 32 × 1 + 16 × 1 + 4 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 119$
将二进制数 11111011111 转化为十进制数。
$(101)_2=(100)_2 × 1 + (1)_2 × 1 = 4 × 1 + 1 × 1 = 5$
$(11011)_2=(10000)_2 × 1 + (1000)_2 × 1 + (10)_2 × 1 + (1)_2 × 1 = 16 × 1 + 8 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 27$
$(1110111)_2=(1000000)_2 × 1 + (100000)_2 × 1 + (10000)_2 × 1 + (100)_2 × 1 + (10)_2 × 1 + (1)_2 × 1 = 64 × 1 + 32 × 1 + 16 × 1 + 4 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 119$
将二进制数 11111011111 转化为十进制数。
答案
4. $（11111011111）_2 = （10000000000）_2 × 1 + （1000000000）_2 × 1 + （100000000）_2 × 1 + （10000000）_2 × 1 + （1000000）_2 × 1 + （10000）_2 × 1 + （1000）_2 × 1 + （100）_2 × 1 + （10）_2 × 1 + （1）_2 × 1 = 1024×1+512×1+256×1+128×1+64×1+16×1+8×1+4×1+2×1+1×1=2015$
解析
【分析】
先观察题目给出的二进制转十进制的示例，总结计算规律：将二进制数中数字为1的数位，对应拆成“最高位是1、其余位是0”的二进制数，每个这类二进制数对应的十进制值等于2的n次方（n为该二进制数末尾0的个数），数字为0的数位不需要参与计算，最后把所有对应1的十进制值相加即可。
待转换的二进制数11111011111共11位，从左数前5位、后5位均为1，第6位为0，仅需把1对应的数值相加即可。
【解析】
$\begin{split}(11111011111)_2&=(10000000000)_2 × 1 + (1000000000)_2 × 1 + (100000000)_2 × 1 + (10000000)_2 × 1 + (1000000)_2 × 1 + (10000)_2 × 1 + (1000)_2 × 1 + (100)_2 × 1 + (10)_2 × 1 + (1)_2 × 1 \\&= 1024×1+512×1+256×1+128×1+64×1+16×1+8×1+4×1+2×1+1×1 \\&=1024+512+256+128+64+16+8+4+2+1 \\&=2015\end{split}$
【答案】
2015
【知识点】
二进制转十进制，规律探究，整数加法运算
【点评】
本题结合计算机常用的数制背景考查规律归纳应用能力，解题核心是从给出的示例中提炼转换规则，计算时注意跳过数位为0的部分，细心核对每一位的对应数值即可正确求解。
【难度系数】
0.7
先观察题目给出的二进制转十进制的示例，总结计算规律：将二进制数中数字为1的数位，对应拆成“最高位是1、其余位是0”的二进制数，每个这类二进制数对应的十进制值等于2的n次方（n为该二进制数末尾0的个数），数字为0的数位不需要参与计算，最后把所有对应1的十进制值相加即可。
待转换的二进制数11111011111共11位，从左数前5位、后5位均为1，第6位为0，仅需把1对应的数值相加即可。
【解析】
$\begin{split}(11111011111)_2&=(10000000000)_2 × 1 + (1000000000)_2 × 1 + (100000000)_2 × 1 + (10000000)_2 × 1 + (1000000)_2 × 1 + (10000)_2 × 1 + (1000)_2 × 1 + (100)_2 × 1 + (10)_2 × 1 + (1)_2 × 1 \\&= 1024×1+512×1+256×1+128×1+64×1+16×1+8×1+4×1+2×1+1×1 \\&=1024+512+256+128+64+16+8+4+2+1 \\&=2015\end{split}$
【答案】
2015
【知识点】
二进制转十进制，规律探究，整数加法运算
【点评】
本题结合计算机常用的数制背景考查规律归纳应用能力，解题核心是从给出的示例中提炼转换规则，计算时注意跳过数位为0的部分，细心核对每一位的对应数值即可正确求解。
【难度系数】
0.7
5. 新情境 五育并举 在一场排球比赛中，8号球员和10号球员的数据如下表：
（1）计算8号球员和10号球员各自的总得分（扣球分数＋拦网分数），并比较谁的总得分更高。
（2）几号球员的扣球成功率更高？
（1）计算8号球员和10号球员各自的总得分（扣球分数＋拦网分数），并比较谁的总得分更高。
（2）几号球员的扣球成功率更高？
答案
5. （1）8号球员:25+1=26(分)
10号球员:11+2=13(分) 26＞13
答:8号球员的总得分是26分,10号球员的总得分是13分,8号球员的总得分更高。
（2）25÷50=0.5 11÷21≈0.52 0.52＞0.5
答:10号球员的扣球成功率更高。
10号球员:11+2=13(分) 26＞13
答:8号球员的总得分是26分,10号球员的总得分是13分,8号球员的总得分更高。
（2）25÷50=0.5 11÷21≈0.52 0.52＞0.5
答:10号球员的扣球成功率更高。
解析
【分析】
（1）解决第一问时，首先明确总得分的计算规则为“扣球分数+拦网分数”，先从表格中分别提取8号、10号球员对应的扣球分数和拦网分数，分别相加算出两人总得分，再比较两个总得分的大小即可判断谁的总得分更高。
（2）解决第二问时，首先明确扣球成功率的计算方法：扣球成功率=扣球成功个数÷扣球总个数，从表格中分别提取两人的扣球总个数、扣球成功个数，分别计算出两人的扣球成功率，再比较两个结果的大小，数值更大的对应扣球成功率更高。
【解析】
（1）计算总得分：
8号球员总得分：将扣球分数和拦网分数相加，即$25+1=26$（分）
10号球员总得分：将扣球分数和拦网分数相加，即$11+2=13$（分）
比较两个得分：$26＞13$，因此8号球员总得分更高。
（2）计算扣球成功率：
8号球员扣球成功率：用扣球成功个数除以扣球总个数，即$25÷50=0.5$
10号球员扣球成功率：用扣球成功个数除以扣球总个数，即$11÷21≈0.52$
比较两个成功率：$0.52＞0.5$，因此10号球员扣球成功率更高。
【答案】
（1）8号球员:$25+1=26$(分)
10号球员:$11+2=13$(分) $26＞13$
答:8号球员的总得分是26分,10号球员的总得分是13分,8号球员的总得分更高。
（2）$25÷50=0.5$ $11÷21≈0.52$ $0.52＞0.5$
答:10号球员的扣球成功率更高。
【知识点】
加法实际应用、百分率计算、数的大小比较
【点评】
本题结合排球比赛的真实情境出题，需要学生先从表格中准确提取对应数据，再结合题意选择合适的运算解决问题，有利于提升学生信息提取能力和用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问时，首先明确总得分的计算规则为“扣球分数+拦网分数”，先从表格中分别提取8号、10号球员对应的扣球分数和拦网分数，分别相加算出两人总得分，再比较两个总得分的大小即可判断谁的总得分更高。
（2）解决第二问时，首先明确扣球成功率的计算方法：扣球成功率=扣球成功个数÷扣球总个数，从表格中分别提取两人的扣球总个数、扣球成功个数，分别计算出两人的扣球成功率，再比较两个结果的大小，数值更大的对应扣球成功率更高。
【解析】
（1）计算总得分：
8号球员总得分：将扣球分数和拦网分数相加，即$25+1=26$（分）
10号球员总得分：将扣球分数和拦网分数相加，即$11+2=13$（分）
比较两个得分：$26＞13$，因此8号球员总得分更高。
（2）计算扣球成功率：
8号球员扣球成功率：用扣球成功个数除以扣球总个数，即$25÷50=0.5$
10号球员扣球成功率：用扣球成功个数除以扣球总个数，即$11÷21≈0.52$
比较两个成功率：$0.52＞0.5$，因此10号球员扣球成功率更高。
【答案】
（1）8号球员:$25+1=26$(分)
10号球员:$11+2=13$(分) $26＞13$
答:8号球员的总得分是26分,10号球员的总得分是13分,8号球员的总得分更高。
（2）$25÷50=0.5$ $11÷21≈0.52$ $0.52＞0.5$
答:10号球员的扣球成功率更高。
【知识点】
加法实际应用、百分率计算、数的大小比较
【点评】
本题结合排球比赛的真实情境出题，需要学生先从表格中准确提取对应数据，再结合题意选择合适的运算解决问题，有利于提升学生信息提取能力和用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.8
