一、选择题
1. 以下说法中错误的是 （）

A.如果直线 $ l $ 是线段 $ AB $ 的垂直平分线，点 $ P $ 在 $ l $ 上，那么 $ PA = PB $
B.如果点 $ P $ 到线段 $ AB $ 两个端点的距离相等，那么点 $ P $ 在线段 $ AB $ 的垂直平分线上
C.如果点 $ P $ 是 $ ∠ AOB $ 内一点，$ M $、$ N $ 分别在 $ OA $、$ OB $ 上，且 $ PM = PN $，那么射线 $ OP $ 是 $ ∠ AOB $ 的平分线
D.如果 $ OC $ 是 $ ∠ AOB $ 的平分线，$ P $ 是 $ OC $ 上一点，那么点 $ P $ 到 $ OA $、$ OB $ 的距离相等

1.C

【分析】
本题考查线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理的辨析，解题时需逐个将选项对应相关定理，核对定理的前提条件是否满足，不符合定理要求的即为错误选项。首先回忆相关定理：1.线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。2.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，其中“距离”特指点到边的垂线段长度，需满足垂直条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，符合线段垂直平分线的性质的前提条件，因此$PA=PB$，该说法正确，不符合题意。
B. 点P到线段AB两端点距离相等，符合线段垂直平分线的判定定理，因此点P在线段AB的垂直平分线上，该说法正确，不符合题意。
C. 角平分线的判定要求“点到角两边的距离相等”，距离是垂线段的长度，本题仅说明$PM=PN$，未给出$PM⊥ OA$、$PN⊥ OB$的条件，无法判定射线OP是$∠ AOB$的平分线，该说法错误，符合题意。
D. OC是$∠ AOB$的平分线，点P在OC上，符合角平分线的性质的前提条件，因此点P到OA、OB的距离相等，该说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质与判定；角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是基础概念辨析题，重点考查对几何定理核心条件的掌握，解题时要注意角平分线判定中“距离”的定义是垂线段长度，不可忽略垂直条件直接由线段相等判定角平分线，切忌对定理内容断章取义。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$AC=BC=10\ \mathrm{cm}$，$∠ B=15°$，$AD⊥ BC$于点$D$，则$AD$的长为 （）

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

2.C

【分析】
解题时首先从已知的边相等条件入手，先利用等腰三角形等边对等角的性质得到两个底角相等，再结合三角形外角的性质求出直角三角形中锐角的度数，最后根据直角三角形30°角对应的特殊边长关系计算出AD的长度。
【解析】
解：
∵ AC=BC=10cm，
∴ △ABC是等腰三角形，∠B=∠BAC=15°（等边对等角）。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°。
又
∵ AD⊥BC，即∠D=90°，△ADC为直角三角形，
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边AC=10cm，
∴ AD=½AC=½×10=5cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是通过角度推导得到30°的特殊角，再结合直角三角形的边长性质求解，熟练掌握三角形相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在$Rt△ BAC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=3$,$AC=4$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,则$BD$的长为 ()

A.$\dfrac{15}{7}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{20}{7}$
D.$\dfrac{21}{5}$

3.A

【分析】
首先观察题目，已知Rt△BAC的两条直角边长，可先通过勾股定理计算出斜边BC的长度。要求BD的长，已知BC总长，只需得到BD与DC的比值即可。结合AD是角平分线的条件，可利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等），通过面积法推导BD与DC的比值，进而求出BD的长度。
【解析】
1. 计算斜边BC的长度：
在$Rt△ BAC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 过点$D$分别作$DE⊥ AB$于$E$，$DF⊥ AC$于$F$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，根据角平分线的性质，$\therefore DE=DF$。
3. 计算$△ ABD$与$△ ACD$的面积比：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· DF$，
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$。
4. 又$△ ABD$和$△ ACD$以$BD$、$DC$为底时，高均为点$A$到$BC$的距离，
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}$。
5. $\because BD+DC=BC=5$，
$\therefore BD=5×\frac{3}{3+4}=\frac{15}{7}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形的综合应用题，解题的关键是灵活运用角平分线的性质，通过面积法推导线段的比例关系，计算难度不大，解题思路较为巧妙。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DCB,BC + CD = AC,四边形的面积为16,
(1)若AC = 4CD,那么△ABC的面积为.

(2)若AC与∠DCB在不发生变化的情况下,当AD + AB取最小时,△ABC的面积为.

1.(1)12 (2)8

【分析】
本题可结合角平分线性质与线段最值规律求解：
(1) 利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可得△ADC和△ABC为等高三角形，面积比等于底CD与BC的比。结合AC=4CD、AC=BC+CD的条件求出BC与CD的比例，再根据四边形总面积即可计算△ABC的面积。
(2) 利用角平分线的对称性，将AD转化为其对称线段，根据两点之间线段最短的规律确定AD+AB取最小值的条件，进而推出△ABC和△ADC的面积关系，求出△ABC的面积。
【解析】
(1) 过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD延长线于点F。
∵AC平分∠DCB，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
三角形面积公式可得：$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}· CD· AF$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AE$，
因此$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADC}}=\frac{BC}{CD}$。
已知$AC=4CD$，且$BC+CD=AC$，
∴$BC=AC-CD=4CD-CD=3CD$，即$BC:CD=3:1$。
∵$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=16$，
∴$S_{△ ABC}=16×\frac{3}{3+1}=12$。
(2) 将△ADC沿AC翻折，
∵AC平分∠DCB，
∴点D的对应点$D'$落在BC边上，可得$AD=AD'$，$S_{△ ADC}=S_{△ AD'C}$，因此$AD+AB=AB+AD'$。
根据两点之间线段最短，当A、B、$D'$三点共线时$AD+AB$取最小值，此时$BC=CD$，结合等高三角形面积比等于底的比，可得$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}$。
因此$S_{△ ABC}=16÷2=8$。
【答案】
(1)12 (2)8
【知识点】
角平分线的性质，最短路径问题，全等三角形的性质
【点评】
本题综合度适中，解题核心是利用角平分线的性质得到等高三角形的面积关系，以及通过对称转化线段求解最值，掌握截长补短、对称转化的几何常用技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6