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2. 在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 36°$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，若$AD = 10$，则$BD =$
10
，$BC =$10
。答案
2.10 10
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，先利用等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和算出底角度数，再根据角平分线的性质得到两个小角的度数，通过角度推导找出相等的角，最后利用等角对等边的性质推导边的等量关系，就能求出BD和BC的长度。
【解析】
解：
∵$AB = AC$，$∠ BAC = 36°$
∴$∠ABC = ∠C = \frac{180°-∠BAC}{2} = \frac{180°-36°}{2} = 72°$
∵$BD$平分$∠ ABC$
∴$∠ABD = ∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC = 36°$
在$△ ABD$中，$∠BAC = ∠ABD = 36°$
∴$△ ABD$为等腰三角形，$BD = AD = 10$
在$△ BDC$中，$∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠C = 180° - 36° -72° =72°$
∴$∠BDC = ∠C =72°$
∴$△ BDC$为等腰三角形，$BC = BD =10$
【答案】
10；10
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是灵活运用等腰三角形“等边对等角”和“等角对等边”的性质，通过角度计算得到相等的角，进而推导边的等量关系，是几何基础性质应用的典型题目。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，先利用等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和算出底角度数，再根据角平分线的性质得到两个小角的度数，通过角度推导找出相等的角，最后利用等角对等边的性质推导边的等量关系，就能求出BD和BC的长度。
【解析】
解：
∵$AB = AC$，$∠ BAC = 36°$
∴$∠ABC = ∠C = \frac{180°-∠BAC}{2} = \frac{180°-36°}{2} = 72°$
∵$BD$平分$∠ ABC$
∴$∠ABD = ∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC = 36°$
在$△ ABD$中，$∠BAC = ∠ABD = 36°$
∴$△ ABD$为等腰三角形，$BD = AD = 10$
在$△ BDC$中，$∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠C = 180° - 36° -72° =72°$
∴$∠BDC = ∠C =72°$
∴$△ BDC$为等腰三角形，$BC = BD =10$
【答案】
10；10
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是灵活运用等腰三角形“等边对等角”和“等角对等边”的性质，通过角度计算得到相等的角，进而推导边的等量关系，是几何基础性质应用的典型题目。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1.已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$DE ⊥ AB$于$E$,$F$在$AC$上,$BD=DF$.求证:$CF=EB$.
1.已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$DE ⊥ AB$于$E$,$F$在$AC$上,$BD=DF$.求证:$CF=EB$.
答案
证明：
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DC = DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF = BD \\ DC = DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF = EB。
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DC = DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF = BD \\ DC = DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF = EB。
解析
【分析】
要证明CF=EB，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先观察到CF位于Rt△DCF中，EB位于Rt△DEB中，因此只需证这两个直角三角形全等即可。第一步根据角平分线的性质：AD是∠BAC的平分线，且DC⊥AC、DE⊥AB，可得角平分线上的点D到角两边的距离相等，即DC=DE；第二步结合已知BD=DF，两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，符合直角三角形全等的HL判定条件，可证Rt△DCF≌Rt△DEB；最后根据全等三角形对应边相等，即可得到CF=EB的结论。
【解析】
证明：
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DC = DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF = BD \\ DC = DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF = EB。
【答案】
CF=EB
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查基础定理的应用，解题关键是借助角平分线的性质得到相等的直角边，结合已知的相等斜边证明直角三角形全等，进而推出对应线段相等。
【难度系数】
0.8
要证明CF=EB，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先观察到CF位于Rt△DCF中，EB位于Rt△DEB中，因此只需证这两个直角三角形全等即可。第一步根据角平分线的性质：AD是∠BAC的平分线，且DC⊥AC、DE⊥AB，可得角平分线上的点D到角两边的距离相等，即DC=DE；第二步结合已知BD=DF，两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，符合直角三角形全等的HL判定条件，可证Rt△DCF≌Rt△DEB；最后根据全等三角形对应边相等，即可得到CF=EB的结论。
【解析】
证明：
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DC = DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF = BD \\ DC = DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF = EB。
【答案】
CF=EB
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查基础定理的应用，解题关键是借助角平分线的性质得到相等的直角边，结合已知的相等斜边证明直角三角形全等，进而推出对应线段相等。
【难度系数】
0.8
2. 已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC = 45°$,DH垂直平分BC交AB于点D,BE平分$∠ ABC$,且$BE ⊥ AC$于E,与CD相交于点F.
(1)求证:$BF = AC$;
(2)求证:$CE = \frac{1}{2}BF$.
(1)求证:$BF = AC$;
(2)求证:$CE = \frac{1}{2}BF$.
答案
证明：
(1)
∵ DH垂直平分BC，
∴ BD = CD，∠BDC = 90°，
又∵ ∠ABC = 45°，
∴ ∠DCB = ∠ABC = 45°，即BD⊥CD。
∵ BE⊥AC，
∴ ∠A + ∠ABF = 90°，∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠DBF = ∠DCA。
在△BDF和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF = ∠CDA = 90° \\BD = CD \\∠DBF = ∠DCA\end{array} $
∴ △BDF ≌ △CDA (ASA)，
∴ BF = AC。
(2)
∵ BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴ ∠ABE = ∠CBE，∠AEB = ∠CEB = 90°。
在△ABE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠CBE \\BE = BE \\∠AEB = ∠CEB\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CBE (ASA)，
∴ AE = CE，即$CE = \frac{1}{2}AC$。
由(1)知BF = AC，
∴ $CE = \frac{1}{2}BF$。
(1)
∵ DH垂直平分BC，
∴ BD = CD，∠BDC = 90°，
又∵ ∠ABC = 45°，
∴ ∠DCB = ∠ABC = 45°，即BD⊥CD。
∵ BE⊥AC，
∴ ∠A + ∠ABF = 90°，∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠DBF = ∠DCA。
在△BDF和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF = ∠CDA = 90° \\BD = CD \\∠DBF = ∠DCA\end{array} $
∴ △BDF ≌ △CDA (ASA)，
∴ BF = AC。
(2)
∵ BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴ ∠ABE = ∠CBE，∠AEB = ∠CEB = 90°。
在△ABE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠CBE \\BE = BE \\∠AEB = ∠CEB\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CBE (ASA)，
∴ AE = CE，即$CE = \frac{1}{2}AC$。
由(1)知BF = AC，
∴ $CE = \frac{1}{2}BF$。
解析
【分析】
(1) 要证$BF=AC$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现：首先根据线段垂直平分线的性质得到$BD=CD$，结合$∠ ABC=45°$可推出$△ BDC$是等腰直角三角形，得到$∠ BDF=∠ CDA=90°$；再根据$BE⊥ AC$，利用同角的余角相等推出$∠ DBF=∠ DCA$，即可用ASA证明$△ BDF≌△ CDA$，进而得到$BF=AC$。
(2) 要证$CE=\frac{1}{2}BF$，结合(1)的结论$BF=AC$，只需证明$CE=\frac{1}{2}AC$即可：根据$BE$平分$∠ ABC$且$BE⊥ AC$，可证明$△ ABE≌△ CBE$，得到$CE=AE=\frac{1}{2}AC$，通过等量代换即可得到结论。
【解析】
(1)
$\because$ DH垂直平分BC，
$\therefore BD = CD$，
又$\because ∠ ABC = 45°$，
$\therefore ∠ DCB = ∠ ABC = 45°$，
$\therefore ∠ BDC = 180°-45°-45°=90°$，即$BD⊥ CD$。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ A + ∠ ABF = 90°$，$∠ A + ∠ ACD = 90°$，
$\therefore ∠ DBF = ∠ DCA$。
在$△ BDF$和$△ CDA$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BDF = ∠ CDA = 90° \\BD = CD \\∠ DBF = ∠ DCA\end{array} $
$\therefore △ BDF ≌ △ CDA \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore BF = AC$。
(2)
$\because BE$平分$∠ ABC$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ CBE$，$∠ AEB = ∠ CEB = 90°$。
在$△ ABE$和$△ CBE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABE = ∠ CBE \\BE = BE \\∠ AEB = ∠ CEB\end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ CBE \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE = CE$，即$CE = \frac{1}{2}AC$。
由(1)知$BF = AC$，
$\therefore CE = \frac{1}{2}BF$。
【答案】
(1) $BF=AC$得证；
(2) $CE=\frac{1}{2}BF$得证。
（证明过程见解析）
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，解题时需要结合线段垂直平分线、角平分线的性质推导全等需要的边角条件，核心是准确找到对应全等三角形，再通过等量代换得到线段的等量关系，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$BF=AC$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现：首先根据线段垂直平分线的性质得到$BD=CD$，结合$∠ ABC=45°$可推出$△ BDC$是等腰直角三角形，得到$∠ BDF=∠ CDA=90°$；再根据$BE⊥ AC$，利用同角的余角相等推出$∠ DBF=∠ DCA$，即可用ASA证明$△ BDF≌△ CDA$，进而得到$BF=AC$。
(2) 要证$CE=\frac{1}{2}BF$，结合(1)的结论$BF=AC$，只需证明$CE=\frac{1}{2}AC$即可：根据$BE$平分$∠ ABC$且$BE⊥ AC$，可证明$△ ABE≌△ CBE$，得到$CE=AE=\frac{1}{2}AC$，通过等量代换即可得到结论。
【解析】
(1)
$\because$ DH垂直平分BC，
$\therefore BD = CD$，
又$\because ∠ ABC = 45°$，
$\therefore ∠ DCB = ∠ ABC = 45°$，
$\therefore ∠ BDC = 180°-45°-45°=90°$，即$BD⊥ CD$。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ A + ∠ ABF = 90°$，$∠ A + ∠ ACD = 90°$，
$\therefore ∠ DBF = ∠ DCA$。
在$△ BDF$和$△ CDA$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BDF = ∠ CDA = 90° \\BD = CD \\∠ DBF = ∠ DCA\end{array} $
$\therefore △ BDF ≌ △ CDA \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore BF = AC$。
(2)
$\because BE$平分$∠ ABC$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ CBE$，$∠ AEB = ∠ CEB = 90°$。
在$△ ABE$和$△ CBE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABE = ∠ CBE \\BE = BE \\∠ AEB = ∠ CEB\end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ CBE \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE = CE$，即$CE = \frac{1}{2}AC$。
由(1)知$BF = AC$，
$\therefore CE = \frac{1}{2}BF$。
【答案】
(1) $BF=AC$得证；
(2) $CE=\frac{1}{2}BF$得证。
（证明过程见解析）
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，解题时需要结合线段垂直平分线、角平分线的性质推导全等需要的边角条件，核心是准确找到对应全等三角形，再通过等量代换得到线段的等量关系，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
