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2. 用上页的图来帮助你将下表填完整,这张表显示了每个月月底的兔子对数。
上面每一个数列都是斐波那契数列。你能用一句话说一说该数列各个数之间的关系吗？
上面每一个数列都是斐波那契数列。你能用一句话说一说该数列各个数之间的关系吗？
答案
从第三项开始，每行前两个数的和等于第3个数
解析
【分析】
我们可以先观察表格中每行已给出的数，通过计算相邻三个数的运算关系尝试找规律。先看兔子总数行的已知数1、1、2、3、5，计算可发现1+1=2，1+2=3，2+3=5，符合“前两个数相加等于第三个数”的特征；再验证成年兔子行、新出生小兔行的已知数，也符合这个特征，后续就可以用这个规律填完剩余空格，同时总结出数列的关系。
【解析】
1. 验证规律：
①成年兔子行已知数：0、1、1、2、3、5，计算得$1+1=2$，$1+2=3$，$2+3=5$，相邻三个数中前两个的和等于第三个数；
②新出生小兔行已知数：1、0、1、1、2，计算得$1+0=1$，$0+1=1$，$1+1=2$，同样符合前两个数的和等于第三个数；
③兔子总数行已知数：1、1、2、3、5，计算得$1+1=2$，$1+2=3$，$2+3=5$，也符合上述规律。
2. 按规律填完表格空缺：
成年兔子/对（第6~12月底）：8、13、21、34、55、89、144
新出生的小兔/对（第5~12月底）：3、5、8、13、21、34、55、89
兔子总数/对（第5~12月底）：8、13、21、34、55、89、144、233
3. 总结数列关系：从第三项开始，每行前两个数的和等于第3个数。
【答案】
表格填写结果：
成年兔子/对：第6月底8，第7月底13，第8月底21，第9月底34，第10月底55，第11月底89，第12月底144；
新出生的小兔/对：第5月底3，第6月底5，第7月底8，第8月底13，第9月底21，第10月底34，第11月底55，第12月底89；
兔子总数/对：第5月底8，第6月底13，第7月底21，第8月底34，第9月底55，第10月底89，第11月底144，第12月底233；
数列关系：从第三项开始，每行前两个数的和等于第3个数。
【知识点】
找数列规律、斐波那契数列
【点评】
本题通过兔子繁殖的趣味情境引导学生探索数列规律，侧重考查学生的观察、归纳能力，能让学生感受到数学规律的奇妙性和实用性。
【难度系数】
0.7
我们可以先观察表格中每行已给出的数，通过计算相邻三个数的运算关系尝试找规律。先看兔子总数行的已知数1、1、2、3、5，计算可发现1+1=2，1+2=3，2+3=5，符合“前两个数相加等于第三个数”的特征；再验证成年兔子行、新出生小兔行的已知数，也符合这个特征，后续就可以用这个规律填完剩余空格，同时总结出数列的关系。
【解析】
1. 验证规律：
①成年兔子行已知数：0、1、1、2、3、5，计算得$1+1=2$，$1+2=3$，$2+3=5$，相邻三个数中前两个的和等于第三个数；
②新出生小兔行已知数：1、0、1、1、2，计算得$1+0=1$，$0+1=1$，$1+1=2$，同样符合前两个数的和等于第三个数；
③兔子总数行已知数：1、1、2、3、5，计算得$1+1=2$，$1+2=3$，$2+3=5$，也符合上述规律。
2. 按规律填完表格空缺：
成年兔子/对（第6~12月底）：8、13、21、34、55、89、144
新出生的小兔/对（第5~12月底）：3、5、8、13、21、34、55、89
兔子总数/对（第5~12月底）：8、13、21、34、55、89、144、233
3. 总结数列关系：从第三项开始，每行前两个数的和等于第3个数。
【答案】
表格填写结果：
成年兔子/对：第6月底8，第7月底13，第8月底21，第9月底34，第10月底55，第11月底89，第12月底144；
新出生的小兔/对：第5月底3，第6月底5，第7月底8，第8月底13，第9月底21，第10月底34，第11月底55，第12月底89；
兔子总数/对：第5月底8，第6月底13，第7月底21，第8月底34，第9月底55，第10月底89，第11月底144，第12月底233；
数列关系：从第三项开始，每行前两个数的和等于第3个数。
【知识点】
找数列规律、斐波那契数列
【点评】
本题通过兔子繁殖的趣味情境引导学生探索数列规律，侧重考查学生的观察、归纳能力，能让学生感受到数学规律的奇妙性和实用性。
【难度系数】
0.7
3. 把下面斐波那契数列中缺失的部分填出来。
(
(
89
),(144
),233,377,(610
),(987
)。答案
89 144 610 987
解析
【分析】
首先我们要明确斐波那契数列的核心规律：从第三个数开始，每一个数都等于它前面相邻两个数的和。现在已知数列中间的两个数233和377，我们可以先利用规律逆向推导前面缺失的数：用后一个数减去它前面的相邻数，就能得到更靠前的数；再正向推导后面缺失的数：把相邻的前两个数相加，就能得到后一个数，逐步计算就能求出所有缺失的数。
【解析】
斐波那契数列的规律：从第三项起，每一项的数值等于它相邻前两项的和。
1. 求233前面紧邻的数：因为这个数+233=377，所以这个数=377-233=144
2. 求144前面紧邻的数：因为这个数+144=233，所以这个数=233-144=89
3. 求377后面紧邻的数：233+377=610
4. 求610后面紧邻的数：377+610=987
【答案】
89 144 610 987
【知识点】
1. 数列找规律
2. 斐波那契数列特征
【点评】
本题考查斐波那契数列规律的应用，解题的关键是掌握该数列“后项等于相邻前两项之和”的特点，既可以正向运算推导后续项，也可以逆向运算推导前序项，计算时注意细心即可。
【难度系数】
0.8
首先我们要明确斐波那契数列的核心规律：从第三个数开始，每一个数都等于它前面相邻两个数的和。现在已知数列中间的两个数233和377，我们可以先利用规律逆向推导前面缺失的数：用后一个数减去它前面的相邻数，就能得到更靠前的数；再正向推导后面缺失的数：把相邻的前两个数相加，就能得到后一个数，逐步计算就能求出所有缺失的数。
【解析】
斐波那契数列的规律：从第三项起，每一项的数值等于它相邻前两项的和。
1. 求233前面紧邻的数：因为这个数+233=377，所以这个数=377-233=144
2. 求144前面紧邻的数：因为这个数+144=233，所以这个数=233-144=89
3. 求377后面紧邻的数：233+377=610
4. 求610后面紧邻的数：377+610=987
【答案】
89 144 610 987
【知识点】
1. 数列找规律
2. 斐波那契数列特征
【点评】
本题考查斐波那契数列规律的应用，解题的关键是掌握该数列“后项等于相邻前两项之和”的特点，既可以正向运算推导后续项，也可以逆向运算推导前序项，计算时注意细心即可。
【难度系数】
0.8
4. (1) 完成下面的表格，第三行答案精确到小数点后面第三位。
| 斐波那契数 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 斐波那契数除以紧靠其前的斐波那契数 | — | $1÷1$ | $2÷1$ | $3÷2$ | | | $13÷8$ | | | |
| 商 | — | 1.000 | 2.000 | 1.500 | | | 1.625 | | | |
(2) 用上表中第一行和第三行的数将下图画完整。
(3) 你对两个相邻的斐波那契数的比值有什么发现？用一句话描述。
(4) 10946 和 17711 是两个相邻的斐波那契数，猜一猜，$17711÷10946\approx$（
| 斐波那契数 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 斐波那契数除以紧靠其前的斐波那契数 | — | $1÷1$ | $2÷1$ | $3÷2$ | | | $13÷8$ | | | |
| 商 | — | 1.000 | 2.000 | 1.500 | | | 1.625 | | | |
(2) 用上表中第一行和第三行的数将下图画完整。
(3) 你对两个相邻的斐波那契数的比值有什么发现？用一句话描述。
(4) 10946 和 17711 是两个相邻的斐波那契数，猜一猜，$17711÷10946\approx$（
1.618
）。答案
(3) 后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割的数值 1.6180339887…
(4) 1.618
(4) 1.618
解析
【分析】
解决这道题可以按步骤思考：1. 解决第(1)问：先明确表格第二行的要求是“当前斐波那契数÷它前面相邻的斐波那契数”，依次写出对应的除法算式，再用小数除法计算，结果保留三位小数即可。2. 解决第(2)问：以横轴的斐波那契数为横坐标，对应算出的商为纵坐标，在图中描出各点后按顺序用线段连接。3. 解决第(3)问：观察计算出的所有商的变化趋势，归纳出规律。4. 解决第(4)问：根据第(3)问发现的规律，直接写出近似值。
【解析】
(1) 填写表格：
第二行的空依次对应：5前面的数是3，填$5÷3$；8前面的数是5，填$8÷5$；21前面的数是13，填$21÷13$；34前面的数是21，填$34÷21$；55前面的数是34，填$55÷34$。
计算商：
$5÷3≈1.667$，$8÷5=1.600$，$21÷13≈1.615$，$34÷21≈1.619$，$55÷34≈1.618$，依次填入第三行对应位置。
(2) 画图：在坐标系中依次描出点(5,1.667)、(8,1.600)、(13,1.625)、(21,1.615)、(34,1.619)、(55,1.618)，再按顺序用线段连接各点即可。
(3) 观察计算出的商：1.000、2.000、1.500、1.667、1.600、1.625、1.615、1.619、1.618，可见越往后，相邻两个斐波那契数，后项除以前项的比值越来越接近1.618，也就是黄金分割的数值。
(4) 根据发现的规律，越靠后的相邻斐波那契数的比值越接近1.618，所以$17711÷10946≈1.618$。
【答案】
(1) 第二行：$5÷3$、$8÷5$、$21÷13$、$34÷21$、$55÷34$；第三行：1.667、1.600、1.615、1.619、1.618
(2) 按上述方法描点连线即可
(3) 后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割的数值 1.6180339887…
(4) 1.618
【知识点】
斐波那契数列、小数除法、规律探究
【点评】
本题结合有趣的斐波那契数列，既考查了小数除法的计算能力，又引导学生自主观察归纳数列规律，感受数学的趣味性与规律性，锻炼了观察和总结归纳的能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题可以按步骤思考：1. 解决第(1)问：先明确表格第二行的要求是“当前斐波那契数÷它前面相邻的斐波那契数”，依次写出对应的除法算式，再用小数除法计算，结果保留三位小数即可。2. 解决第(2)问：以横轴的斐波那契数为横坐标，对应算出的商为纵坐标，在图中描出各点后按顺序用线段连接。3. 解决第(3)问：观察计算出的所有商的变化趋势，归纳出规律。4. 解决第(4)问：根据第(3)问发现的规律，直接写出近似值。
【解析】
(1) 填写表格：
第二行的空依次对应：5前面的数是3，填$5÷3$；8前面的数是5，填$8÷5$；21前面的数是13，填$21÷13$；34前面的数是21，填$34÷21$；55前面的数是34，填$55÷34$。
计算商：
$5÷3≈1.667$，$8÷5=1.600$，$21÷13≈1.615$，$34÷21≈1.619$，$55÷34≈1.618$，依次填入第三行对应位置。
(2) 画图：在坐标系中依次描出点(5,1.667)、(8,1.600)、(13,1.625)、(21,1.615)、(34,1.619)、(55,1.618)，再按顺序用线段连接各点即可。
(3) 观察计算出的商：1.000、2.000、1.500、1.667、1.600、1.625、1.615、1.619、1.618，可见越往后，相邻两个斐波那契数，后项除以前项的比值越来越接近1.618，也就是黄金分割的数值。
(4) 根据发现的规律，越靠后的相邻斐波那契数的比值越接近1.618，所以$17711÷10946≈1.618$。
【答案】
(1) 第二行：$5÷3$、$8÷5$、$21÷13$、$34÷21$、$55÷34$；第三行：1.667、1.600、1.615、1.619、1.618
(2) 按上述方法描点连线即可
(3) 后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割的数值 1.6180339887…
(4) 1.618
【知识点】
斐波那契数列、小数除法、规律探究
【点评】
本题结合有趣的斐波那契数列，既考查了小数除法的计算能力，又引导学生自主观察归纳数列规律，感受数学的趣味性与规律性，锻炼了观察和总结归纳的能力。
【难度系数】
0.7
