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5. 任何三个相继的斐波那契数之间总存在着一种关系。下表给出了几组数，每组数都是三个相继的斐波那契数。
（1）完成下面的表格。
（2）在斐波那契数列中，三个相继的数之间有什么关系？
（1）完成下面的表格。
（2）在斐波那契数列中，三个相继的数之间有什么关系？
答案
(2) 任何三个相继的斐波那契数，中间数的平方比第一项和第三项的乘积多1或少1
解析
【分析】
解决第（1）问时，我们按照表格列的要求，对每行三个相继的斐波那契数，分别计算第一项和第三项的乘积、中间项的平方，再计算二者的差，填入对应位置即可。完成表格后，观察最后一列的计算结果，归纳共性就能得出第（2）问的规律。
【解析】
（1）逐行计算对应值：
① 第二行（a=5，b=8，c=13）：
$a× c=5×13$，$b^2=8×8$，$b^2-a× c=64-65=-1$；
② 第三行（a=8，b=13，c=21）：
$a× c=8×21$，$b^2=13×13$，$b^2-a× c=169-168=1$；
③ 第四行（a=13，b=21，c=34）：
$a× c=13×34$，$b^2=21×21$，$b^2-a× c=441-442=-1$；
④ 第五行（a=21，b=34，c=55）：
$a× c=21×55$，$b^2=34×34$，$b^2-a× c=1156-1155=1$。
（2）观察最后一列结果为1、-1交替出现，可总结规律：任何三个相继的斐波那契数，中间数的平方比第一项和第三项的乘积多1或少1。
【答案】
（1）表格从第二行到第五行依次填写：
$5×13$，$8×8$，$-1$；
$8×21$，$13×13$，$1$；
$13×34$，$21×21$，$-1$；
$21×55$，$34×34$，$1$；
（2）任何三个相继的斐波那契数，中间数的平方比第一项和第三项的乘积多1或少1。
【知识点】
找规律、整数乘法、斐波那契数列特征
【点评】
本题通过计算探究斐波那契数列的特殊规律，既锻炼了基础计算能力，又培养了观察归纳的思维，能让学生感受到数学数列的趣味性。
【难度系数】
0.8
解决第（1）问时，我们按照表格列的要求，对每行三个相继的斐波那契数，分别计算第一项和第三项的乘积、中间项的平方，再计算二者的差，填入对应位置即可。完成表格后，观察最后一列的计算结果，归纳共性就能得出第（2）问的规律。
【解析】
（1）逐行计算对应值：
① 第二行（a=5，b=8，c=13）：
$a× c=5×13$，$b^2=8×8$，$b^2-a× c=64-65=-1$；
② 第三行（a=8，b=13，c=21）：
$a× c=8×21$，$b^2=13×13$，$b^2-a× c=169-168=1$；
③ 第四行（a=13，b=21，c=34）：
$a× c=13×34$，$b^2=21×21$，$b^2-a× c=441-442=-1$；
④ 第五行（a=21，b=34，c=55）：
$a× c=21×55$，$b^2=34×34$，$b^2-a× c=1156-1155=1$。
（2）观察最后一列结果为1、-1交替出现，可总结规律：任何三个相继的斐波那契数，中间数的平方比第一项和第三项的乘积多1或少1。
【答案】
（1）表格从第二行到第五行依次填写：
$5×13$，$8×8$，$-1$；
$8×21$，$13×13$，$1$；
$13×34$，$21×21$，$-1$；
$21×55$，$34×34$，$1$；
（2）任何三个相继的斐波那契数，中间数的平方比第一项和第三项的乘积多1或少1。
【知识点】
找规律、整数乘法、斐波那契数列特征
【点评】
本题通过计算探究斐波那契数列的特殊规律，既锻炼了基础计算能力，又培养了观察归纳的思维，能让学生感受到数学数列的趣味性。
【难度系数】
0.8
6. 可以画出来的斐波那契数列。
下面这个矩形(包括其中的正方形)是按黄金比例画的，它是我们在自然界中看到的许多形状的基础。你能试着用一把圆规画出如右下图这样的螺线吗？按照步骤画一画吧！
下面这个矩形(包括其中的正方形)是按黄金比例画的，它是我们在自然界中看到的许多形状的基础。你能试着用一把圆规画出如右下图这样的螺线吗？按照步骤画一画吧！
答案
1. 先找出图中最小的正方形，以它的一个顶点为圆心，以该正方形的边长为半径，画一段四分之一圆弧；
2. 接着以相邻稍大正方形的对应顶点为圆心，以该正方形的边长为半径，画一段四分之一圆弧；
3. 按照从小到大的正方形顺序，依次以每个正方形的对应顶点为圆心，对应边长为半径，分别画出四分之一圆弧；
4. 将各段四分之一圆弧平滑连接，即可得到要求的螺线。
2. 接着以相邻稍大正方形的对应顶点为圆心，以该正方形的边长为半径，画一段四分之一圆弧；
3. 按照从小到大的正方形顺序，依次以每个正方形的对应顶点为圆心，对应边长为半径，分别画出四分之一圆弧；
4. 将各段四分之一圆弧平滑连接，即可得到要求的螺线。
解析
【分析】
要画出题目中的螺线，首先观察螺线的构成：它是由多段平滑连接的四分之一圆弧组成，每段圆弧的半径恰好对应图中一个正方形的边长。我们可以从最内侧最小的正方形入手（螺线从内向外延展，从最小的开始画能保证圆弧衔接顺畅），按照正方形从小到大的顺序，依次以每个正方形的对应顶点为圆心、边长为半径画四分之一圆弧，最终就能组合成目标螺线。
【解析】
1. 首先定位图中最小的正方形，选取它的对应顶点作为圆心，以该正方形的边长为半径，画出一段四分之一圆弧；
2. 接着找到和最小正方形相邻的稍大正方形，选取它的对应顶点为圆心，以这个稍大正方形的边长为半径，画一段能和上一段圆弧平滑衔接的四分之一圆弧；
3. 按照正方形从小到大的顺序，对每个正方形依次操作：选定对应顶点为圆心，以该正方形的边长为半径，分别画出四分之一圆弧，保证每段新圆弧都和前一段圆弧平滑衔接；
4. 所有正方形对应的圆弧绘制完成后，连贯的曲线就是要求的螺线。
【答案】
1. 先找出图中最小的正方形，以它的一个顶点为圆心，以该正方形的边长为半径，画一段四分之一圆弧；
2. 接着以相邻稍大正方形的对应顶点为圆心，以该正方形的边长为半径，画一段四分之一圆弧；
3. 按照从小到大的正方形顺序，依次以每个正方形的对应顶点为圆心，对应边长为半径，分别画出四分之一圆弧；
4. 将各段四分之一圆弧平滑连接，即可得到要求的螺线。
【知识点】
圆的画法、正方形特征、斐波那契螺线
【点评】
本题将数学原理和动手操作结合，能够让我们直观感受黄金比例、斐波那契数列的实际应用，体会数学与自然界的紧密联系，兼具趣味性与实践性，有助于提升动手能力和对数学规律的感知力。
【难度系数】
0.8
要画出题目中的螺线，首先观察螺线的构成：它是由多段平滑连接的四分之一圆弧组成，每段圆弧的半径恰好对应图中一个正方形的边长。我们可以从最内侧最小的正方形入手（螺线从内向外延展，从最小的开始画能保证圆弧衔接顺畅），按照正方形从小到大的顺序，依次以每个正方形的对应顶点为圆心、边长为半径画四分之一圆弧，最终就能组合成目标螺线。
【解析】
1. 首先定位图中最小的正方形，选取它的对应顶点作为圆心，以该正方形的边长为半径，画出一段四分之一圆弧；
2. 接着找到和最小正方形相邻的稍大正方形，选取它的对应顶点为圆心，以这个稍大正方形的边长为半径，画一段能和上一段圆弧平滑衔接的四分之一圆弧；
3. 按照正方形从小到大的顺序，对每个正方形依次操作：选定对应顶点为圆心，以该正方形的边长为半径，分别画出四分之一圆弧，保证每段新圆弧都和前一段圆弧平滑衔接；
4. 所有正方形对应的圆弧绘制完成后，连贯的曲线就是要求的螺线。
【答案】
1. 先找出图中最小的正方形，以它的一个顶点为圆心，以该正方形的边长为半径，画一段四分之一圆弧；
2. 接着以相邻稍大正方形的对应顶点为圆心，以该正方形的边长为半径，画一段四分之一圆弧；
3. 按照从小到大的正方形顺序，依次以每个正方形的对应顶点为圆心，对应边长为半径，分别画出四分之一圆弧；
4. 将各段四分之一圆弧平滑连接，即可得到要求的螺线。
【知识点】
圆的画法、正方形特征、斐波那契螺线
【点评】
本题将数学原理和动手操作结合，能够让我们直观感受黄金比例、斐波那契数列的实际应用，体会数学与自然界的紧密联系，兼具趣味性与实践性，有助于提升动手能力和对数学规律的感知力。
【难度系数】
0.8
