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4. 函数$y=\dfrac{\sqrt{x}}{x-2}$中的自变量$x$的取值范围为$\underline{\hspace{10cm}}$.
答案
4.$x≥0且x≠2$
解析
【分析】
要确定函数自变量的取值范围，需先观察函数表达式的组成结构，分别找出各部分对自变量的限制条件，再综合所有条件得到最终范围：首先表达式中含有二次根式，根据二次根式的要求，被开方数必须是非负数；其次表达式是分式形式，根据分式的要求，分母不能为0，两个限制条件需要同时满足，取公共部分即可。
【解析】
1. 对于二次根式$\sqrt{x}$，要使其有意义，被开方数需满足：$x≥0$；
2. 对于分式$\dfrac{\sqrt{x}}{x-2}$，要使其有意义，分母需满足：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 综合两个条件，自变量$x$需同时满足上述要求，因此$x$的取值范围是$x≥0$且$x≠2$。
【答案】
$x≥0且x≠2$
【知识点】
1. 自变量取值范围 2. 二次根式有意义的条件 3. 分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数自变量取值范围的常见限制规则，解题时需注意逐一分析表达式中不同结构的约束条件，避免遗漏其中某一个限制导致出错。
【难度系数】
0.75
要确定函数自变量的取值范围，需先观察函数表达式的组成结构，分别找出各部分对自变量的限制条件，再综合所有条件得到最终范围：首先表达式中含有二次根式，根据二次根式的要求，被开方数必须是非负数；其次表达式是分式形式，根据分式的要求，分母不能为0，两个限制条件需要同时满足，取公共部分即可。
【解析】
1. 对于二次根式$\sqrt{x}$，要使其有意义，被开方数需满足：$x≥0$；
2. 对于分式$\dfrac{\sqrt{x}}{x-2}$，要使其有意义，分母需满足：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 综合两个条件，自变量$x$需同时满足上述要求，因此$x$的取值范围是$x≥0$且$x≠2$。
【答案】
$x≥0且x≠2$
【知识点】
1. 自变量取值范围 2. 二次根式有意义的条件 3. 分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数自变量取值范围的常见限制规则，解题时需注意逐一分析表达式中不同结构的约束条件，避免遗漏其中某一个限制导致出错。
【难度系数】
0.75
5. 已知一次函数$y=mx-(m-2)$的图象经过原点，则$m$的值为
2
.答案
5.2
解析
【分析】
解题时首先回忆函数图象与点坐标的关系：若函数图象经过某点，则该点的坐标满足函数的解析式。已知一次函数图象过原点，原点坐标为$(0,0)$，我们可以将$x=0$、$y=0$代入给定的一次函数解析式，得到关于$m$的一元一次方程，求解后验证所得$m$的值是否满足一次函数的定义（即一次项系数不为0）即可。
【解析】
解：
∵ 一次函数$y=mx-(m-2)$的图象经过原点$(0,0)$，
∴ 将$x=0$，$y=0$代入解析式，可得：
$0 = m×0 - (m-2)$
化简得：$0 = -m + 2$
解得：$m=2$
验证：当$m=2$时，一次项系数$m=2≠0$，符合一次函数的定义，因此$m$的值为2。
【答案】
2
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数的基础性质，解题的关键是掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一规律，同时要注意一次函数一次项系数不为0的隐含限制条件，避免错解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆函数图象与点坐标的关系：若函数图象经过某点，则该点的坐标满足函数的解析式。已知一次函数图象过原点，原点坐标为$(0,0)$，我们可以将$x=0$、$y=0$代入给定的一次函数解析式，得到关于$m$的一元一次方程，求解后验证所得$m$的值是否满足一次函数的定义（即一次项系数不为0）即可。
【解析】
解：
∵ 一次函数$y=mx-(m-2)$的图象经过原点$(0,0)$，
∴ 将$x=0$，$y=0$代入解析式，可得：
$0 = m×0 - (m-2)$
化简得：$0 = -m + 2$
解得：$m=2$
验证：当$m=2$时，一次项系数$m=2≠0$，符合一次函数的定义，因此$m$的值为2。
【答案】
2
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数的基础性质，解题的关键是掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一规律，同时要注意一次函数一次项系数不为0的隐含限制条件，避免错解。
【难度系数】
0.8
6. 已知点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线$y=-3x$上的两点，且$x_1＞x_2$，则$y_1$与$y_2$的大小关系是$y_1$
＜
$y_2.$答案
6.＜
解析
【分析】
首先判断直线$y=-3x$的函数类型为正比例函数，正比例函数的增减性由比例系数$k$的正负决定：当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。我们先确定本题中$k$的取值，再结合已知$x_1＞x_2$的条件，就能推导$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
∵ 点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$都在直线$y=-3x$上，该函数为正比例函数，比例系数$k=-3＜0$，
∴ 函数$y=-3x$中，$y$随$x$的增大而减小，
又
∵ $x_1＞x_2$，
∴ $y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
正比例函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题是基础类题目，核心考查正比例函数增减性的应用，只要牢记比例系数$k$的正负与函数增减性的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
首先判断直线$y=-3x$的函数类型为正比例函数，正比例函数的增减性由比例系数$k$的正负决定：当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。我们先确定本题中$k$的取值，再结合已知$x_1＞x_2$的条件，就能推导$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
∵ 点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$都在直线$y=-3x$上，该函数为正比例函数，比例系数$k=-3＜0$，
∴ 函数$y=-3x$中，$y$随$x$的增大而减小，
又
∵ $x_1＞x_2$，
∴ $y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
正比例函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题是基础类题目，核心考查正比例函数增减性的应用，只要牢记比例系数$k$的正负与函数增减性的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
7. 已知函数$y=(k-1)x+k^2-1$，当k
≠1
时，它是一次函数，当k=-1
时，它是正比例函数.答案
7.≠1，-1
解析
【分析】
解题需结合一次函数、正比例函数的定义逐步推导：① 一次函数的核心要求是自变量x的一次项系数不为0，据此先列不等式求解k的取值范围；② 正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数的条件外，还要求常数项为0，因此需联立“一次项系数≠0、常数项=0”两个条件求解k的值。
【解析】
1. 求函数为一次函数时k的取值：
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的函数为一次函数，
因此本题中需满足一次项系数不为0，即$k-1\ne0$，解得$k\ne1$。
2. 求函数为正比例函数时k的取值：
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数为正比例函数，即常数项为0的一次函数，
因此需同时满足两个条件：
$\begin{cases}k-1\ne0 \\ k^2-1=0\end{cases}$
解$k^2-1=0$得$k=1$或$k=-1$，结合$k\ne1$的限制，最终得$k=-1$。
【答案】
≠1，-1
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题的关键是准确区分一次函数和正比例函数的成立条件，尤其要注意正比例函数隐含的“一次项系数不为0”的限制，避免忽略该条件导致错解。
【难度系数】
0.7
解题需结合一次函数、正比例函数的定义逐步推导：① 一次函数的核心要求是自变量x的一次项系数不为0，据此先列不等式求解k的取值范围；② 正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数的条件外，还要求常数项为0，因此需联立“一次项系数≠0、常数项=0”两个条件求解k的值。
【解析】
1. 求函数为一次函数时k的取值：
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的函数为一次函数，
因此本题中需满足一次项系数不为0，即$k-1\ne0$，解得$k\ne1$。
2. 求函数为正比例函数时k的取值：
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数为正比例函数，即常数项为0的一次函数，
因此需同时满足两个条件：
$\begin{cases}k-1\ne0 \\ k^2-1=0\end{cases}$
解$k^2-1=0$得$k=1$或$k=-1$，结合$k\ne1$的限制，最终得$k=-1$。
【答案】
≠1，-1
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题的关键是准确区分一次函数和正比例函数的成立条件，尤其要注意正比例函数隐含的“一次项系数不为0”的限制，避免忽略该条件导致错解。
【难度系数】
0.7
8. 直线$y=kx+b$与直线$y=-2x$平行，且与$y$轴交于点$(0, 3)$，则$k=$
-2
，$b=$3
.答案
8.-2，3
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步，先回忆一次函数图象平行的性质，两条直线平行时，它们的一次项系数k是相等的，利用这个性质就能先求出k的值；第二步，明确一次函数y=kx+b中，b就是直线与y轴交点的纵坐标，也可以把交点坐标代入解析式计算得到b的值。
【解析】
1. 求k的值：
根据一次函数的性质，若两条直线互相平行，则它们的一次项系数（k值）相等。已知直线$y=kx+b$和$y=-2x$平行，因此$k=-2$。
2. 求b的值：
一次函数$y=kx+b$与y轴的交点坐标为$(0,b)$，题目给出直线与y轴交于点$(0,3)$，因此直接可得$b=3$。也可将$x=0,y=3$代入$y=-2x+b$，计算得$3=-2×0+b$，解得$b=3$。
【答案】
-2，3
【知识点】
1. 两直线平行的性质
2. 一次函数图象性质
【点评】
本题属于一次函数基础题，主要考查对一次函数平行性质和截距概念的掌握，熟记相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题分两步思考：第一步，先回忆一次函数图象平行的性质，两条直线平行时，它们的一次项系数k是相等的，利用这个性质就能先求出k的值；第二步，明确一次函数y=kx+b中，b就是直线与y轴交点的纵坐标，也可以把交点坐标代入解析式计算得到b的值。
【解析】
1. 求k的值：
根据一次函数的性质，若两条直线互相平行，则它们的一次项系数（k值）相等。已知直线$y=kx+b$和$y=-2x$平行，因此$k=-2$。
2. 求b的值：
一次函数$y=kx+b$与y轴的交点坐标为$(0,b)$，题目给出直线与y轴交于点$(0,3)$，因此直接可得$b=3$。也可将$x=0,y=3$代入$y=-2x+b$，计算得$3=-2×0+b$，解得$b=3$。
【答案】
-2，3
【知识点】
1. 两直线平行的性质
2. 一次函数图象性质
【点评】
本题属于一次函数基础题，主要考查对一次函数平行性质和截距概念的掌握，熟记相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
9. 已知一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交于点$A(-6,0)$，与$y$轴交于点$B$，若$△ AOB$的面积是12，且$y$随$x$的增大而减小，你能确定这个一次函数的关系式吗？
答案
9.$y=-\dfrac{2}{3}x-4$
解析
【分析】
要确定一次函数的关系式，需要求出k和b两个未知参数，我们可以逐步利用已知条件推导：首先，△AOB是直角三角形，直角在原点O，两条直角边分别是OA（点A到原点的水平距离）和OB（点B到原点的垂直距离），结合面积条件可以求出b的可能取值；再将点A坐标代入函数式得到k和b的关系，最后结合“y随x增大而减小”的性质判断k的符号，筛选出符合要求的b值，进而求出k即可得到解析式。
【解析】
1. 一次函数$y=kx+b$与y轴交于点B，因此B点坐标为$(0,b)$，O为坐标原点$(0,0)$。
2. 计算两条直角边的长度：$OA=\vert -6-0\vert=6$，$OB=\vert b-0\vert=\vert b\vert$。
3. 根据三角形面积公式$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB$，代入面积为12的条件：
$\frac{1}{2}×6×\vert b\vert=12$，解得$\vert b\vert=4$，即$b=4$或$b=-4$。
4. 由“y随x的增大而减小”可得一次函数的斜率$k＜0$。
5. 将点$A(-6,0)$代入$y=kx+b$得：$0=-6k+b$，整理得$k=\frac{b}{6}$。
6. 结合$k＜0$，可得$\frac{b}{6}＜0$，即$b＜0$，因此$b=-4$。
7. 将$b=-4$代入$k=\frac{b}{6}$，得$k=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x-4$
【知识点】
一次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、三角形面积公式
【点评】
本题综合考查一次函数性质和待定系数法的应用，解题时需注意与y轴交点的纵坐标存在正负两种可能，要结合函数增减性筛选符合条件的解，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
要确定一次函数的关系式，需要求出k和b两个未知参数，我们可以逐步利用已知条件推导：首先，△AOB是直角三角形，直角在原点O，两条直角边分别是OA（点A到原点的水平距离）和OB（点B到原点的垂直距离），结合面积条件可以求出b的可能取值；再将点A坐标代入函数式得到k和b的关系，最后结合“y随x增大而减小”的性质判断k的符号，筛选出符合要求的b值，进而求出k即可得到解析式。
【解析】
1. 一次函数$y=kx+b$与y轴交于点B，因此B点坐标为$(0,b)$，O为坐标原点$(0,0)$。
2. 计算两条直角边的长度：$OA=\vert -6-0\vert=6$，$OB=\vert b-0\vert=\vert b\vert$。
3. 根据三角形面积公式$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB$，代入面积为12的条件：
$\frac{1}{2}×6×\vert b\vert=12$，解得$\vert b\vert=4$，即$b=4$或$b=-4$。
4. 由“y随x的增大而减小”可得一次函数的斜率$k＜0$。
5. 将点$A(-6,0)$代入$y=kx+b$得：$0=-6k+b$，整理得$k=\frac{b}{6}$。
6. 结合$k＜0$，可得$\frac{b}{6}＜0$，即$b＜0$，因此$b=-4$。
7. 将$b=-4$代入$k=\frac{b}{6}$，得$k=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x-4$
【知识点】
一次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、三角形面积公式
【点评】
本题综合考查一次函数性质和待定系数法的应用，解题时需注意与y轴交点的纵坐标存在正负两种可能，要结合函数增减性筛选符合条件的解，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
10. 已知一次函数$y=(2a+4)x+(3-b)$，根据给定的条件，确定实数$a$，$b$的取值范围.
（1）图象经过第二、三、四象限；
（2）图象与$y$轴的交点在$x$轴上方.
（1）图象经过第二、三、四象限；
（2）图象与$y$轴的交点在$x$轴上方.
答案
10. (1) $\begin{cases} a ＜ -2,\\ b ＞ 3. \end{cases}$
(2) $b＜3且a≠-2.$
(2) $b＜3且a≠-2.$
解析
【分析】
解题前先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的核心性质：1. 斜率$k$的符号决定直线走向：$k＜0$时直线从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；2. 截距$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标，$b＜0$时交点在$y$轴负半轴，$b＞0$时交点在$y$轴正半轴。
第（1）问图象过第二、三、四象限，说明斜率小于0，且截距小于0，对应题目中的系数列不等式求解即可；第（2）问图象与$y$轴交点在$x$轴上方，说明截距大于0，同时结合一次函数定义，一次项系数不能为0，联立两个条件求解即可。
【解析】
（1）
∵一次函数图象经过第二、三、四象限
∴一次项系数小于0，常数项小于0，列不等式组：
$\begin{cases}2a+4＜0 \\ 3-b＜0 \end{cases}$
解第一个不等式：$2a＜-4$，得$a＜-2$
解第二个不等式：$-b＜-3$，得$b＞3$
即$\begin{cases} a ＜ -2\\ b ＞ 3 \end{cases}$
（2）
∵图象与$y$轴的交点在$x$轴上方，且函数为一次函数
∴当$x=0$时，$y=3-b＞0$，且一次项系数$2a+4≠0$
解$3-b＞0$得$b＜3$
解$2a+4≠0$得$a≠-2$
即$b＜3且a≠-2$
【答案】
(1) $\begin{cases} a ＜ -2,\\ b ＞ 3. \end{cases}$
(2) $b＜3且a≠-2.$
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式（组）
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是掌握$k$、$b$的符号对一次函数图象位置的影响，解题时要注意一次函数“一次项系数不为0”的隐含条件，避免出现漏解。
【难度系数】
0.7
解题前先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的核心性质：1. 斜率$k$的符号决定直线走向：$k＜0$时直线从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；2. 截距$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标，$b＜0$时交点在$y$轴负半轴，$b＞0$时交点在$y$轴正半轴。
第（1）问图象过第二、三、四象限，说明斜率小于0，且截距小于0，对应题目中的系数列不等式求解即可；第（2）问图象与$y$轴交点在$x$轴上方，说明截距大于0，同时结合一次函数定义，一次项系数不能为0，联立两个条件求解即可。
【解析】
（1）
∵一次函数图象经过第二、三、四象限
∴一次项系数小于0，常数项小于0，列不等式组：
$\begin{cases}2a+4＜0 \\ 3-b＜0 \end{cases}$
解第一个不等式：$2a＜-4$，得$a＜-2$
解第二个不等式：$-b＜-3$，得$b＞3$
即$\begin{cases} a ＜ -2\\ b ＞ 3 \end{cases}$
（2）
∵图象与$y$轴的交点在$x$轴上方，且函数为一次函数
∴当$x=0$时，$y=3-b＞0$，且一次项系数$2a+4≠0$
解$3-b＞0$得$b＜3$
解$2a+4≠0$得$a≠-2$
即$b＜3且a≠-2$
【答案】
(1) $\begin{cases} a ＜ -2,\\ b ＞ 3. \end{cases}$
(2) $b＜3且a≠-2.$
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式（组）
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是掌握$k$、$b$的符号对一次函数图象位置的影响，解题时要注意一次函数“一次项系数不为0”的隐含条件，避免出现漏解。
【难度系数】
0.7
