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6. 如图,大圆柱上挖了一个小圆柱.已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆,$O'A,O'B$分别是大圆柱和小圆柱的底面半径.若大圆柱的底面周长为$8π$,$OA=2\sqrt{13}$,小圆柱的体积为$6π$,小圆柱中放一个最大的圆锥,则该圆锥的侧面积为（
A.$\sqrt{37}π$
B.$\sqrt{37π}$
C.$\sqrt{7}π$
D.$\sqrt{7π}$
A
）A.$\sqrt{37}π$
B.$\sqrt{37π}$
C.$\sqrt{7}π$
D.$\sqrt{7π}$
答案
A 解析:$\because$ 大圆柱的底面周长为 $8π$,$\therefore$ 大圆柱的底面半径 $O'A=\dfrac{8π}{2π}=4$.$\because OA=2\sqrt{13}$,$\therefore$ 大圆柱的高 $OO'=\sqrt{OA^2-O'A^2}=6$.又$\because$ 小圆柱的体积为 $6π$,$\therefore$ 小圆柱的底面面积为 $\dfrac{6π}{6}=π$,$\therefore$ 小圆柱的底面半径 $O'B=\sqrt{\dfrac{π}{π}}=1$.$\because$ 小圆柱中放了一个最大的圆锥,$\therefore$ 圆锥的母线长 $OB=\sqrt{OO'^2+O'B^2}=\sqrt{37}$,$\therefore$ 该圆锥的侧面积为 $O'B· OB·π=\sqrt{37}π$.故选 A.
解析
【分析】
本题需要依次运用圆的周长公式、勾股定理、圆柱体积公式、圆锥侧面积公式进行计算。首先根据大圆柱底面周长求出大圆柱底面半径，再利用勾股定理求出圆柱的高；接着通过小圆柱体积求出小圆柱底面半径；最后确定小圆柱内最大圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
1. 求大圆柱底面半径：根据圆的周长公式$C=2π R$，已知大圆柱底面周长为$8π$，则大圆柱底面半径$O'A=\frac{8π}{2π}=4$。
2. 求圆柱的高：在$Rt△ OO'A$中，$OA=2\sqrt{13}$，$O'A=4$，由勾股定理得圆柱的高$OO'=\sqrt{OA^2 - O'A^2}=\sqrt{(2\sqrt{13})^2 - 4^2}=\sqrt{52 - 16}=6$。
3. 求小圆柱底面半径：小圆柱体积为$6π$，小圆柱的高等于大圆柱的高$OO'=6$，根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，得小圆柱底面积$S=\frac{V}{h}=\frac{6π}{6}=π$，因此小圆柱底面半径$O'B=\sqrt{\frac{S}{π}}=\sqrt{\frac{π}{π}}=1$。
4. 求圆锥的母线长：小圆柱内最大圆锥的底面为小圆柱底面，高等于小圆柱的高，故圆锥的母线长$OB=\sqrt{OO'^2 + O'B^2}=\sqrt{6^2 + 1^2}=\sqrt{37}$。
5. 计算圆锥侧面积：圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），代入$r=O'B=1$，$l=OB=\sqrt{37}$，得$S_{侧}=π×1×\sqrt{37}=\sqrt{37}π$。
【答案】
A
【知识点】
圆的周长、圆柱体积、圆锥侧面积
【点评】
本题综合考查圆柱与圆锥的几何计算，需熟练运用相关公式，关键是理清各几何量的关系，尤其是小圆柱内最大圆锥的母线长的推导，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
本题需要依次运用圆的周长公式、勾股定理、圆柱体积公式、圆锥侧面积公式进行计算。首先根据大圆柱底面周长求出大圆柱底面半径，再利用勾股定理求出圆柱的高；接着通过小圆柱体积求出小圆柱底面半径；最后确定小圆柱内最大圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
1. 求大圆柱底面半径：根据圆的周长公式$C=2π R$，已知大圆柱底面周长为$8π$，则大圆柱底面半径$O'A=\frac{8π}{2π}=4$。
2. 求圆柱的高：在$Rt△ OO'A$中，$OA=2\sqrt{13}$，$O'A=4$，由勾股定理得圆柱的高$OO'=\sqrt{OA^2 - O'A^2}=\sqrt{(2\sqrt{13})^2 - 4^2}=\sqrt{52 - 16}=6$。
3. 求小圆柱底面半径：小圆柱体积为$6π$，小圆柱的高等于大圆柱的高$OO'=6$，根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，得小圆柱底面积$S=\frac{V}{h}=\frac{6π}{6}=π$，因此小圆柱底面半径$O'B=\sqrt{\frac{S}{π}}=\sqrt{\frac{π}{π}}=1$。
4. 求圆锥的母线长：小圆柱内最大圆锥的底面为小圆柱底面，高等于小圆柱的高，故圆锥的母线长$OB=\sqrt{OO'^2 + O'B^2}=\sqrt{6^2 + 1^2}=\sqrt{37}$。
5. 计算圆锥侧面积：圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），代入$r=O'B=1$，$l=OB=\sqrt{37}$，得$S_{侧}=π×1×\sqrt{37}=\sqrt{37}π$。
【答案】
A
【知识点】
圆的周长、圆柱体积、圆锥侧面积
【点评】
本题综合考查圆柱与圆锥的几何计算，需熟练运用相关公式，关键是理清各几何量的关系，尤其是小圆柱内最大圆锥的母线长的推导，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
7.(金华中考)物体由两个圆锥组成,从正面看到的物体形状如图, $∠ A=90°, ∠ ABC=105°,$若上面圆锥的侧面积为1,则下面圆锥的侧面积为（
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\sqrt{2}$
D
）A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
D 解析:$\because ∠ A=90°$,$AB=AD$,$\therefore △ ABD$ 为等腰直角三角形,$\therefore ∠ ABD=45°$,$BD=\sqrt{2}AB$.$\because ∠ ABC=105°$,$\therefore ∠ CBD=60°$.又 $CB=CD$,$\therefore △ CBD$ 为等边三角形,$\therefore BC=BD=\sqrt{2}AB$.
$\because$ 上面圆锥与下面圆锥的底面相同,$\therefore$ 上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于 $AB:CB=1:\sqrt{2}$.又$\because$ 上面圆锥的侧面积为 $1$,$\therefore$ 下面圆锥的侧面积为 $\sqrt{2}$.
$\because$ 上面圆锥与下面圆锥的底面相同,$\therefore$ 上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于 $AB:CB=1:\sqrt{2}$.又$\because$ 上面圆锥的侧面积为 $1$,$\therefore$ 下面圆锥的侧面积为 $\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，需先明确两个圆锥侧面积与母线长的关系：圆锥侧面积公式为$ S = π r l $（$ r $为底面半径，$ l $为母线长），因两个圆锥底面相同，故侧面积之比等于母线长之比。接下来推导母线$ AB $与$ BC $的长度关系：由图形可知$ AB=AD $、$ CB=CD $，结合已知角度，先判断$ △ ABD $为等腰直角三角形，再判断$ △ CBD $为等边三角形，从而得到$ BC $与$ AB $的比例，最后结合上面圆锥侧面积求出下面圆锥的侧面积。
【解析】
1. 由$ ∠ A = 90° $，且$ AB = AD $，可知$ △ ABD $是等腰直角三角形，因此：
$ ∠ ABD = 45° $，且$ BD = \sqrt{2} AB $。
2. 已知$ ∠ ABC = 105° $，则：
$ ∠ CBD = ∠ ABC - ∠ ABD = 105° - 45° = 60° $。
3. 又因$ CB = CD $，故$ △ CBD $是等腰三角形，结合$ ∠ CBD = 60° $，可判定$ △ CBD $为等边三角形，因此：
$ BC = BD = \sqrt{2} AB $。
4. 两个圆锥的底面相同，即底面半径$ r $相等，根据圆锥侧面积公式$ S = π r l $，侧面积之比等于母线长之比，即：
$ \frac{S_{上}}{S_{下}} = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{\sqrt{2} AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} $。
5. 已知上面圆锥侧面积$ S_{上} = 1 $，代入得：
$ S_{下} = \sqrt{2} $。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆锥侧面积、等腰直角三角形、等边三角形
【点评】
本题将圆锥侧面积与特殊三角形性质结合，关键是通过角度关系判定特殊三角形，进而得到母线长比例，考查几何推理能力，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确两个圆锥侧面积与母线长的关系：圆锥侧面积公式为$ S = π r l $（$ r $为底面半径，$ l $为母线长），因两个圆锥底面相同，故侧面积之比等于母线长之比。接下来推导母线$ AB $与$ BC $的长度关系：由图形可知$ AB=AD $、$ CB=CD $，结合已知角度，先判断$ △ ABD $为等腰直角三角形，再判断$ △ CBD $为等边三角形，从而得到$ BC $与$ AB $的比例，最后结合上面圆锥侧面积求出下面圆锥的侧面积。
【解析】
1. 由$ ∠ A = 90° $，且$ AB = AD $，可知$ △ ABD $是等腰直角三角形，因此：
$ ∠ ABD = 45° $，且$ BD = \sqrt{2} AB $。
2. 已知$ ∠ ABC = 105° $，则：
$ ∠ CBD = ∠ ABC - ∠ ABD = 105° - 45° = 60° $。
3. 又因$ CB = CD $，故$ △ CBD $是等腰三角形，结合$ ∠ CBD = 60° $，可判定$ △ CBD $为等边三角形，因此：
$ BC = BD = \sqrt{2} AB $。
4. 两个圆锥的底面相同，即底面半径$ r $相等，根据圆锥侧面积公式$ S = π r l $，侧面积之比等于母线长之比，即：
$ \frac{S_{上}}{S_{下}} = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{\sqrt{2} AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} $。
5. 已知上面圆锥侧面积$ S_{上} = 1 $，代入得：
$ S_{下} = \sqrt{2} $。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆锥侧面积、等腰直角三角形、等边三角形
【点评】
本题将圆锥侧面积与特殊三角形性质结合，关键是通过角度关系判定特殊三角形，进而得到母线长比例，考查几何推理能力，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
8. (1)用一块圆心角为$216°$的扇形铁皮,做一个高为40 cm的圆锥形工件(接缝忽略不计),那么这个扇形铁皮的半径是
(2)(聊城中考)若一个圆锥的底面积是其表面积的$\dfrac{1}{4}$,则其侧面展开图圆心角的度数为
50
cm.(2)(聊城中考)若一个圆锥的底面积是其表面积的$\dfrac{1}{4}$,则其侧面展开图圆心角的度数为
$120°$
.答案
(1)50 解析:设这个扇形铁皮的半径为 $R$,底面圆的半径为 $r$,根据题意得 $2π r=\dfrac{216π R}{180}$,即 $r=\dfrac{3}{5}R$,因为 $r^2+40^2=R^2$,所以 $(\dfrac{3}{5}R)^2 +40^2=R^2$,解得 $R=50$,即这个扇形铁皮的半径为 $50$ cm.
(2)$120°$ 解析:设底面圆的半径为 $r$,侧面展开扇形的半径为 $R$,扇形的圆心角为 $n°$.由题意得 $S_{\mathrm{底面}}=π r^2$,$l_{\mathrm{底面}}=2π r$.
$\because$ 圆锥的底面积是其表面积的 $\dfrac{1}{4}$,$\therefore$ 圆锥侧面积是底面积的 $3$ 倍,$\therefore 3π r^2=\dfrac{1}{2}×2π r× R$,故 $R=3r$.由 $l_{\mathrm{扇形}}=\dfrac{nπ R}{180}$,得 $2π r=\dfrac{nπ×3r}{180}$,解得 $n=120$.
(2)$120°$ 解析:设底面圆的半径为 $r$,侧面展开扇形的半径为 $R$,扇形的圆心角为 $n°$.由题意得 $S_{\mathrm{底面}}=π r^2$,$l_{\mathrm{底面}}=2π r$.
$\because$ 圆锥的底面积是其表面积的 $\dfrac{1}{4}$,$\therefore$ 圆锥侧面积是底面积的 $3$ 倍,$\therefore 3π r^2=\dfrac{1}{2}×2π r× R$,故 $R=3r$.由 $l_{\mathrm{扇形}}=\dfrac{nπ R}{180}$,得 $2π r=\dfrac{nπ×3r}{180}$,解得 $n=120$.
解析
【分析】
第(1)题：扇形铁皮制作圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。设扇形半径（即母线长）为$R$，圆锥底面圆半径为$r$，先根据弧长公式和圆周长公式建立$r$与$R$的关系；再利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形（勾股定理），代入$r$与$R$的关系求解$R$。
第(2)题：圆锥表面积=底面积+侧面积，已知底面积是表面积的$\frac{1}{4}$，可推出侧面积是底面积的3倍。设底面半径为$r$，母线长为$R$，先根据面积关系得到$R$与$r$的关系；再利用“扇形弧长=圆锥底面周长”，结合弧长公式求解侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
(1)设扇形铁皮的半径为$R$，圆锥底面圆的半径为$r$。
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，所以$2π r = \frac{216π R}{180}$，化简得$r = \frac{3}{5}R$。
又因为圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得$r^2 + 40^2 = R^2$。
将$r = \frac{3}{5}R$代入上式：$(\frac{3}{5}R)^2 + 40^2 = R^2$，
展开计算：$\frac{9}{25}R^2 + 1600 = R^2$，
移项得：$\frac{16}{25}R^2 = 1600$，解得$R^2 = 2500$，即$R = 50$（半径为正数，舍去负解）。
(2)设圆锥底面圆的半径为$r$，侧面展开扇形的半径（即圆锥母线长）为$R$，扇形圆心角为$n°$。
圆锥底面积$S_{底} = π r^2$，底面周长$l_{底} = 2π r$，圆锥侧面积$S_{侧} = π r R$。
由题意，底面积是表面积的$\frac{1}{4}$，表面积$S_{表} = S_{底} + S_{侧}$，故$S_{侧} = 3S_{底}$，即$π r R = 3π r^2$，约去$π r$得$R = 3r$。
又因为扇形弧长等于底面周长，所以$2π r = \frac{nπ R}{180}$，将$R = 3r$代入得：
$2π r = \frac{nπ × 3r}{180}$，约去$π r$解得$n = 120$。
【答案】
(1)50；(2)$120°$
【知识点】
圆锥的相关计算、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与扇形的关系，核心是利用“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一关键等量关系，结合勾股定理、面积公式求解，属于圆锥相关计算的基础题型，需熟练掌握公式应用。
【难度系数】
0.5
第(1)题：扇形铁皮制作圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。设扇形半径（即母线长）为$R$，圆锥底面圆半径为$r$，先根据弧长公式和圆周长公式建立$r$与$R$的关系；再利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形（勾股定理），代入$r$与$R$的关系求解$R$。
第(2)题：圆锥表面积=底面积+侧面积，已知底面积是表面积的$\frac{1}{4}$，可推出侧面积是底面积的3倍。设底面半径为$r$，母线长为$R$，先根据面积关系得到$R$与$r$的关系；再利用“扇形弧长=圆锥底面周长”，结合弧长公式求解侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
(1)设扇形铁皮的半径为$R$，圆锥底面圆的半径为$r$。
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，所以$2π r = \frac{216π R}{180}$，化简得$r = \frac{3}{5}R$。
又因为圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得$r^2 + 40^2 = R^2$。
将$r = \frac{3}{5}R$代入上式：$(\frac{3}{5}R)^2 + 40^2 = R^2$，
展开计算：$\frac{9}{25}R^2 + 1600 = R^2$，
移项得：$\frac{16}{25}R^2 = 1600$，解得$R^2 = 2500$，即$R = 50$（半径为正数，舍去负解）。
(2)设圆锥底面圆的半径为$r$，侧面展开扇形的半径（即圆锥母线长）为$R$，扇形圆心角为$n°$。
圆锥底面积$S_{底} = π r^2$，底面周长$l_{底} = 2π r$，圆锥侧面积$S_{侧} = π r R$。
由题意，底面积是表面积的$\frac{1}{4}$，表面积$S_{表} = S_{底} + S_{侧}$，故$S_{侧} = 3S_{底}$，即$π r R = 3π r^2$，约去$π r$得$R = 3r$。
又因为扇形弧长等于底面周长，所以$2π r = \frac{nπ R}{180}$，将$R = 3r$代入得：
$2π r = \frac{nπ × 3r}{180}$，约去$π r$解得$n = 120$。
【答案】
(1)50；(2)$120°$
【知识点】
圆锥的相关计算、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与扇形的关系，核心是利用“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一关键等量关系，结合勾股定理、面积公式求解，属于圆锥相关计算的基础题型，需熟练掌握公式应用。
【难度系数】
0.5
9. 如图,扇形 $DOE$ 的半径为 3,边长为$\sqrt{3}$的菱形$OABC$的顶点$A,C,B$分别在$OD,OE,\overset{\frown}{DE}$上,若把扇形$DOE$围成一个圆锥,则此圆锥的高为
$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$
.答案
$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$ 解析:如图,连接 $OB$,$AC$,$BO$ 与 $AC$ 相交于点 $F$.$\because$ 在菱形 $OABC$ 中,$AC⊥ BO$,$CF=AF$,$FO=BF$,$∠ COB=∠ BOA$,又$\because$ 扇形 $DOE$ 的半径为 $3$,菱形边长为 $\sqrt{3}$,$\therefore FO=BF=1.5$.由勾股定理可得 $CF=FA=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,则 $OC=CA=AO=\sqrt{3}$,$\therefore △ AOC$ 是等边三角形,$\therefore ∠ EOD=60°$,$\therefore \overset{\frown}{DE}=\dfrac{60π×3}{180}=π$. 设底面圆的半径为 $r$,则底面圆的周长为 $2π r=π$,解得 $r=\dfrac{1}{2}$.$\because$ 圆锥母线为 $3$,$\therefore$ 此圆锥的高为 $\sqrt{3^2-(\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{35}}{2}$.
解析
【分析】
要解决该问题，需按以下思路推导：首先利用菱形的性质和勾股定理求出扇形的圆心角，再计算扇形弧长，该弧长即为圆锥底面的周长，由此求出圆锥底面半径，最后根据圆锥母线长（等于扇形半径），结合勾股定理计算圆锥的高。具体步骤：1. 连接OB、AC，利用菱形对角线互相垂直平分，结合扇形半径和菱形边长，确定圆心角∠DOE；2. 用扇形弧长公式计算弧DE的长度，该长度等于圆锥底面周长；3. 由底面周长求出底面半径；4. 利用圆锥母线、底面半径和高的直角三角形关系，计算圆锥的高。
【解析】
解：连接OB、AC，BO与AC交于点F。
∵ 四边形OABC是菱形，
∴ AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，∠COB=∠BOA，且菱形边长OC=OA=AB=BC=√3。
又
∵ 扇形DOE的半径为3，即OB=3，
∴ FO=BF=OB/2=3/2。
在Rt△OFC中，由勾股定理得：
CF=√(OC² - FO²)=√[(√3)² - (3/2)²]=√(3 - 9/4)=√(3/4)=√3/2，
∴ AC=2CF=√3，
∴ OA=OC=AC=√3，即△AOC是等边三角形，
∴ ∠EOD=60°。
计算扇形弧DE的长度：
根据扇形弧长公式 $ l=\frac{nπ R}{180} $（n为圆心角度数，R为半径），代入n=60°，R=3，得：
$ l=\frac{60π×3}{180}=π $。
将扇形围成圆锥时，弧DE的长度等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r，则：
$ 2π r=π $，解得 $ r=\frac{1}{2} $。
圆锥的母线长等于扇形半径，即母线长为3，根据圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
圆锥的高 $ h=\sqrt{3^2 - (\frac{1}{2})^2}=\sqrt{9 - \frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{35}{4}}=\frac{\sqrt{35}}{2} $。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$
【知识点】
菱形的性质、扇形弧长计算、圆锥的相关计算
【点评】
本题综合考查菱形性质、扇形弧长公式及圆锥的结构特征，核心是利用菱形对角线的性质求出扇形圆心角，再结合圆锥侧面弧长与底面周长的关系求解，需熟练掌握几何定理和公式的应用。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需按以下思路推导：首先利用菱形的性质和勾股定理求出扇形的圆心角，再计算扇形弧长，该弧长即为圆锥底面的周长，由此求出圆锥底面半径，最后根据圆锥母线长（等于扇形半径），结合勾股定理计算圆锥的高。具体步骤：1. 连接OB、AC，利用菱形对角线互相垂直平分，结合扇形半径和菱形边长，确定圆心角∠DOE；2. 用扇形弧长公式计算弧DE的长度，该长度等于圆锥底面周长；3. 由底面周长求出底面半径；4. 利用圆锥母线、底面半径和高的直角三角形关系，计算圆锥的高。
【解析】
解：连接OB、AC，BO与AC交于点F。
∵ 四边形OABC是菱形，
∴ AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，∠COB=∠BOA，且菱形边长OC=OA=AB=BC=√3。
又
∵ 扇形DOE的半径为3，即OB=3，
∴ FO=BF=OB/2=3/2。
在Rt△OFC中，由勾股定理得：
CF=√(OC² - FO²)=√[(√3)² - (3/2)²]=√(3 - 9/4)=√(3/4)=√3/2，
∴ AC=2CF=√3，
∴ OA=OC=AC=√3，即△AOC是等边三角形，
∴ ∠EOD=60°。
计算扇形弧DE的长度：
根据扇形弧长公式 $ l=\frac{nπ R}{180} $（n为圆心角度数，R为半径），代入n=60°，R=3，得：
$ l=\frac{60π×3}{180}=π $。
将扇形围成圆锥时，弧DE的长度等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r，则：
$ 2π r=π $，解得 $ r=\frac{1}{2} $。
圆锥的母线长等于扇形半径，即母线长为3，根据圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
圆锥的高 $ h=\sqrt{3^2 - (\frac{1}{2})^2}=\sqrt{9 - \frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{35}{4}}=\frac{\sqrt{35}}{2} $。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$
【知识点】
菱形的性质、扇形弧长计算、圆锥的相关计算
【点评】
本题综合考查菱形性质、扇形弧长公式及圆锥的结构特征，核心是利用菱形对角线的性质求出扇形圆心角，再结合圆锥侧面弧长与底面周长的关系求解，需熟练掌握几何定理和公式的应用。
【难度系数】
0.5
10. (1) 如图①,已知圆锥的母线 $AB$ 长为 40 cm,底面半径 $OB$ 长为 10 cm,若将绳子一端固定在点 $B$,绕圆锥侧面一周,另一端与点 $B$ 重合,则这根绳子的最短长度是
(2) 如图②,圆锥的底面圆直径 $AB$ 为 2,母线长 $SA$ 为 4,若小虫 $P$ 从点 $A$ 开始绕着圆锥表面爬行一圈到 $SA$ 的中点 $C$,则小虫爬行的最短距离为
$40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
.(2) 如图②,圆锥的底面圆直径 $AB$ 为 2,母线长 $SA$ 为 4,若小虫 $P$ 从点 $A$ 开始绕着圆锥表面爬行一圈到 $SA$ 的中点 $C$,则小虫爬行的最短距离为
$2\sqrt{5}$
.答案
(1)$40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ 解析:圆锥的侧面展开图如图①所示,设圆锥侧面展开图的圆心角为 $n°$,圆锥底面圆周长为 $2π×10=20π(\mathrm{cm})$,$l_{\overset{\frown}{BB'}}=\dfrac{nπ×40}{180}=20π$,则 $n=90$.$\because AB=AB'=40\ \mathrm{cm}$,$\therefore BB'=\sqrt{40^2+40^2}=40\sqrt{2}\ (\mathrm{cm})$,即这根绳子的最短长度是 $40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$.
(2)$2\sqrt{5}$ 解析:把圆锥的侧面展开,如图②,弧长是 $2π r=2π$,母线长 $AS=4$,设侧面展开图的圆心角为 $n°$,由 $l=\dfrac{nπ R}{180}=\dfrac{4π n}{180}=2π$,得 $n=90$,即 $∠ ASC=90°$.$\because C$ 为 $SD$ 的中点,$SD=4$,$\therefore SC=2$,线段 $AC$ 是小虫爬行的最短距离,在 $\mathrm{Rt}△ SAC$ 中,由勾股定理得 $AC=\sqrt{AS^2+CS^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题考查圆锥表面最短路径问题，核心思路是将圆锥侧面展开为平面扇形，利用“两点之间线段最短”，结合弧长公式求出侧面展开图的圆心角，再通过勾股定理计算最短距离。
(1) 绕圆锥一周回到同一点的绳子最短长度，需先求侧面展开图的圆心角，再利用等腰直角三角形性质计算；
(2) 小虫爬行的最短路径，展开侧面后确定各点位置，用直角三角形勾股定理求解。
【解析】
(1) ① 计算圆锥底面周长：已知底面半径$OB=10\ \mathrm{cm}$，则底面周长$C=2π r=2π×10=20π\ \mathrm{cm}$；
② 设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$，圆锥母线长$AB=40\ \mathrm{cm}$，侧面展开图的弧长等于底面周长，根据弧长公式$\frac{nπ R}{180}$，代入得$\frac{nπ×40}{180}=20π$，解得$n=90$，即圆心角为$90°$；
③ 展开后$AB=AB'=40\ \mathrm{cm}$，$∠ BAB'=90°$，由勾股定理得$BB'=\sqrt{AB^2+AB'^2}=\sqrt{40^2+40^2}=40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，即绳子最短长度为$40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) ① 圆锥底面直径$AB=2$，则底面半径$r=1$，底面周长$C=2π r=2π$；
② 母线长$SA=4$，设侧面展开图的圆心角为$n°$，由弧长公式$\frac{nπ× SA}{180}=2π$，代入得$\frac{nπ×4}{180}=2π$，解得$n=90$，即$∠ ASC=90°$；
③ $C$为$SA$中点，故$SC=\frac{1}{2}SA=2$，在$\mathrm{Rt}△ SAC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{SA^2+SC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，即小虫爬行的最短距离为$2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；(2)$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题，解题核心是将立体问题转化为平面的侧面展开图问题，利用两点之间线段最短，结合弧长公式和勾股定理计算，题型常规，需掌握圆锥侧面展开图的性质。
【难度系数】
0.5
本题考查圆锥表面最短路径问题，核心思路是将圆锥侧面展开为平面扇形，利用“两点之间线段最短”，结合弧长公式求出侧面展开图的圆心角，再通过勾股定理计算最短距离。
(1) 绕圆锥一周回到同一点的绳子最短长度，需先求侧面展开图的圆心角，再利用等腰直角三角形性质计算；
(2) 小虫爬行的最短路径，展开侧面后确定各点位置，用直角三角形勾股定理求解。
【解析】
(1) ① 计算圆锥底面周长：已知底面半径$OB=10\ \mathrm{cm}$，则底面周长$C=2π r=2π×10=20π\ \mathrm{cm}$；
② 设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$，圆锥母线长$AB=40\ \mathrm{cm}$，侧面展开图的弧长等于底面周长，根据弧长公式$\frac{nπ R}{180}$，代入得$\frac{nπ×40}{180}=20π$，解得$n=90$，即圆心角为$90°$；
③ 展开后$AB=AB'=40\ \mathrm{cm}$，$∠ BAB'=90°$，由勾股定理得$BB'=\sqrt{AB^2+AB'^2}=\sqrt{40^2+40^2}=40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，即绳子最短长度为$40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) ① 圆锥底面直径$AB=2$，则底面半径$r=1$，底面周长$C=2π r=2π$；
② 母线长$SA=4$，设侧面展开图的圆心角为$n°$，由弧长公式$\frac{nπ× SA}{180}=2π$，代入得$\frac{nπ×4}{180}=2π$，解得$n=90$，即$∠ ASC=90°$；
③ $C$为$SA$中点，故$SC=\frac{1}{2}SA=2$，在$\mathrm{Rt}△ SAC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{SA^2+SC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，即小虫爬行的最短距离为$2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
；(2)$2\sqrt{5}$【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题，解题核心是将立体问题转化为平面的侧面展开图问题，利用两点之间线段最短，结合弧长公式和勾股定理计算，题型常规，需掌握圆锥侧面展开图的性质。
【难度系数】
0.5
11. (2025·汕头校级月考) 如图①所示,有一种单层绒布料子的台灯灯罩,灯罩的下面是空的.把这个灯罩抽象成一个几何体时,我们称之为圆台,它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面$\odot O_{2}$的圆面$\odot O_{1}$裁切掉上面的小圆锥得到的.如图②所示,现在要制作这种灯罩,若已知$\odot O_{1}$的直径$AB = 12\ \mathrm{cm}$,$\odot O_{2}$的直径$CD = 32\ \mathrm{cm}$,点$O$,$O_{1}$,$O_{2}$共线,$OO_{2}$与$AB$,$CD$都垂直,$OO_{1} = 6\sqrt{3}$,$O_{1}O_{2} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布.(接缝处的布料忽略不计,$π\approx3.14$,结果保留整数)
答案
$\because AB=12\ \mathrm{cm}$,$\therefore BO_1=6\ \mathrm{cm}$. 又 $OO_1=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$\therefore BO=12\ \mathrm{cm}$.$\because CD=32\ \mathrm{cm}$,$\therefore DO_2=16\ \mathrm{cm}$.$\because O_1O_2=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$OO_1=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$\therefore OO_2=16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$\therefore DO=32\ \mathrm{cm}$. 如图,$S_{\mathrm{灯罩侧面}}=S_{\mathrm{扇形}D'OD}-S_{\mathrm{扇形}B'OB}=\dfrac{1}{2}×32π×32-\dfrac{1}{2}×12π×12=440π(\mathrm{cm}^2)$.$\because S_{\mathrm{灯罩上底面}}=π·(\dfrac{12}{2})^2=36π(\mathrm{cm}^2)$,$\therefore S_{\mathrm{灯罩}}=440π+36π=476π\approx1\ 495(\mathrm{cm}^2)$,$\therefore$ 制作一个这样的台灯的灯罩大约需要 $1\ 495\ \mathrm{cm}^2$ 的绒布.
解析
【分析】
要计算灯罩所需绒布面积，需明确灯罩为圆台结构，由大圆锥截去上方小圆锥得到，且灯罩下方为空，因此绒布面积 = 圆台侧面积 + 圆台上底面面积。解题时先利用勾股定理求出小圆锥和大圆锥的母线长，再根据圆锥侧面积公式计算侧面积差得到圆台侧面积，最后加上上底面圆的面积即可。
【解析】
1. 求小圆锥母线长：
已知$\odot O_{1}$直径$AB = 12\ \mathrm{cm}$，故$O_{1}B = 6\ \mathrm{cm}$；又$OO_{1} = 6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，且$OO_{1} ⊥ AB$，在$\mathrm{Rt}△ OO_{1}B$中，由勾股定理得：
$OB = \sqrt{O_{1}B^{2} + OO_{1}^{2}} = \sqrt{6^{2} + (6\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{cm}$。
2. 求大圆锥母线长：
已知$\odot O_{2}$直径$CD = 32\ \mathrm{cm}$，故$O_{2}D = 16\ \mathrm{cm}$；$OO_{2} = OO_{1} + O_{1}O_{2} = 6\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，且$OO_{2} ⊥ CD$，在$\mathrm{Rt}△ OO_{2}D$中，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{O_{2}D^{2} + OO_{2}^{2}} = \sqrt{16^{2} + (16\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{256 + 768} = \sqrt{1024} = 32\ \mathrm{cm}$。
3. 计算圆台侧面积：
圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} × \mathrm{底面周长} × \mathrm{母线长}$，因此圆台侧面积 = 大圆锥侧面积 - 小圆锥侧面积：
$S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} × π × CD × OD - \frac{1}{2} × π × AB × OB = \frac{1}{2} × π × 32 × 32 - \frac{1}{2} × π × 12 × 12 = 512π - 72π = 440π\ (\mathrm{cm}^2)$。
4. 计算圆台上底面面积：
$S_{\mathrm{上底}} = π × (\frac{AB}{2})^2 = π × 6^2 = 36π\ (\mathrm{cm}^2)$。
5. 总绒布面积：
$S_{\mathrm{总}} = 440π + 36π = 476π \approx 476 × 3.14 \approx 1495\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
1495 cm²
【知识点】
圆台侧面积、圆锥侧面积、勾股定理
【点评】
本题结合实际生活中的灯罩抽象为圆台，考查圆台表面积的计算，核心是将圆台转化为两个圆锥的侧面积之差，再结合上底面积求解，需熟练掌握圆锥侧面积公式与勾股定理的应用，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
要计算灯罩所需绒布面积，需明确灯罩为圆台结构，由大圆锥截去上方小圆锥得到，且灯罩下方为空，因此绒布面积 = 圆台侧面积 + 圆台上底面面积。解题时先利用勾股定理求出小圆锥和大圆锥的母线长，再根据圆锥侧面积公式计算侧面积差得到圆台侧面积，最后加上上底面圆的面积即可。
【解析】
1. 求小圆锥母线长：
已知$\odot O_{1}$直径$AB = 12\ \mathrm{cm}$，故$O_{1}B = 6\ \mathrm{cm}$；又$OO_{1} = 6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，且$OO_{1} ⊥ AB$，在$\mathrm{Rt}△ OO_{1}B$中，由勾股定理得：
$OB = \sqrt{O_{1}B^{2} + OO_{1}^{2}} = \sqrt{6^{2} + (6\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{cm}$。
2. 求大圆锥母线长：
已知$\odot O_{2}$直径$CD = 32\ \mathrm{cm}$，故$O_{2}D = 16\ \mathrm{cm}$；$OO_{2} = OO_{1} + O_{1}O_{2} = 6\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，且$OO_{2} ⊥ CD$，在$\mathrm{Rt}△ OO_{2}D$中，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{O_{2}D^{2} + OO_{2}^{2}} = \sqrt{16^{2} + (16\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{256 + 768} = \sqrt{1024} = 32\ \mathrm{cm}$。
3. 计算圆台侧面积：
圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} × \mathrm{底面周长} × \mathrm{母线长}$，因此圆台侧面积 = 大圆锥侧面积 - 小圆锥侧面积：
$S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} × π × CD × OD - \frac{1}{2} × π × AB × OB = \frac{1}{2} × π × 32 × 32 - \frac{1}{2} × π × 12 × 12 = 512π - 72π = 440π\ (\mathrm{cm}^2)$。
4. 计算圆台上底面面积：
$S_{\mathrm{上底}} = π × (\frac{AB}{2})^2 = π × 6^2 = 36π\ (\mathrm{cm}^2)$。
5. 总绒布面积：
$S_{\mathrm{总}} = 440π + 36π = 476π \approx 476 × 3.14 \approx 1495\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
1495 cm²
【知识点】
圆台侧面积、圆锥侧面积、勾股定理
【点评】
本题结合实际生活中的灯罩抽象为圆台，考查圆台表面积的计算，核心是将圆台转化为两个圆锥的侧面积之差，再结合上底面积求解，需熟练掌握圆锥侧面积公式与勾股定理的应用，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
