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12. (2026·南京期中) 如图①,圆锥的母线长为6 cm,其侧面展开图扇形的圆心角的度数为$300°$,现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片,作为该圆锥的侧面和底面.
(1)该圆锥的底面圆的半径为
(2)已知矩形纸片的边长分别为$a$ cm,12 cm.
(ⅰ)按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片$AMB$,且扇形$AMB$与矩形纸片的两边相切于点$P,Q$,点$A,B$在矩形纸片的一边上.
①当$a=22$时,利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片? 并说明理由.
②当矩形纸片的边长$a$最小时,且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片,请画出相应的示意图,并直接写出对应的$a$的值.
(ⅱ)若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片,请直接写出$a$的取值范围.
(1)该圆锥的底面圆的半径为
5
cm;(2)已知矩形纸片的边长分别为$a$ cm,12 cm.
(ⅰ)按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片$AMB$,且扇形$AMB$与矩形纸片的两边相切于点$P,Q$,点$A,B$在矩形纸片的一边上.
①当$a=22$时,利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片? 并说明理由.
②当矩形纸片的边长$a$最小时,且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片,请画出相应的示意图,并直接写出对应的$a$的值.
(ⅱ)若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片,请直接写出$a$的取值范围.
答案
(1)5 解析:由题意可知,$2π r=\dfrac{300π×6}{180}$,解得 $r=5$ cm.
(2)(ⅰ)①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片,理由:作 $MC⊥ AB$,垂足为 $C$,延长 $CM$,交 $\odot O$ 于点 $D$,交 $RS$ 于点 $E$,如图①.
$\because AM=BM$,$∠ AMB=60°$,$\therefore △ AMB$ 是等边三角形,$\therefore AB=AM=6$.$\because CM⊥ AB$,$\therefore AC=\dfrac{1}{2}AB=3$. 在 $\mathrm{Rt}△ AMC$ 中,$∠ ACM=90°$,$\therefore CM=\sqrt{AM^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,在矩形 $JKRS$ 中,$∠ J=∠ S=90°$,$\therefore ∠ JCE=∠ J=∠ S=90°$,$\therefore$ 四边形 $JCES$ 是矩形,$\therefore CE=JS=22$,$\therefore DE=CE-CM-DM=22-3\sqrt{3}-6=16-3\sqrt{3}$.$\because 16-3\sqrt{3}＞10$,$12＞10$,$\therefore$ 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片.
②示意图如图②所示,此时 $a=3\sqrt{3}+2\sqrt{30}+5$.
解析:如图②,设底面圆圆心为 $N$,连接 $MN$ 交切点为 $K$,连接 $PQ$,过 $N$ 作 $NG⊥ PQ$ 于点 $G$,则 $MK=6$,$NK=5$,$MN=11$,$\therefore MG=MQ-GQ=6-5=1$,在 $\mathrm{Rt}△ MNG$ 中,$NG=\sqrt{MN^2-MG^2}=2\sqrt{30}$.$\because MC=3\sqrt{3}$,$\therefore a=3\sqrt{3}+2\sqrt{30}+5$.
(ⅱ)$a≥2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$. 解析:情况一:扇形缺口向右,扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上,如图③,此时 $ML=\sqrt{AM^2-AL^2}=3\sqrt{3}$,$NL=\sqrt{AN^2-AL^2}=4$,$\therefore MN=ML+NL=3\sqrt{3}+4$,此时 $a=6+3\sqrt{3}+4+5=15+3\sqrt{3}$;
情况二:扇形缺口向右,底面纸片圆心与上边或下边相切时,如图④,$\because MN=ML+NL=3\sqrt{3}+4$,$MW=6-5=1$,$\therefore NW=\sqrt{MN^2-1}=\sqrt{42+24\sqrt{3}}=2\sqrt{6}+3\sqrt{2}$,此时 $a=2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$.
$\because a=2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11＜15+3\sqrt{3}$,$\therefore a≥2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$.
解析
【分析】
本题围绕圆锥的侧面展开图与矩形中图形裁剪展开，核心思路：(1)利用圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长，列方程求底面半径；(2)裁剪问题需结合扇形圆心角、半径，通过勾股定理计算线段长度，判断圆形是否可放置，再推导最小$a$值及$a$的取值范围。
【解析】
(1)设圆锥底面圆半径为$r$，圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，可得：
$2π r = \frac{300π × 6}{180}$，
化简得$2π r = 10π$，解得$r = 5$。
(2)(ⅰ)①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由：
扇形$AMB$的圆心角$∠ AMB = 360° - 300° = 60°$，又$AM = BM = 6$，故$△ AMB$是等边三角形。作$MC ⊥ AB$于$C$，则$AC = 3$，在$\mathrm{Rt}△ AMC$中，$CM = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$。
矩形长$a=22$，则$M$到矩形右侧的距离为$22 - 3\sqrt{3} - 6 = 16 - 3\sqrt{3} \approx 10.8$，圆锥底面圆直径为$10$，矩形宽为$12$，$10.8＞10$且$12＞10$，故能剪出。
②示意图如图②，此时$a = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{30} + 5$。
(ⅱ)矩形纸片能剪出满足条件的扇形和圆形时，$a$的取值范围为$a ≥ 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + 11$。
【答案】
(1)$5$；
(2)(ⅰ)①能，理由见解析；②示意图如图②，$a = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{30} + 5$；
(ⅱ)$a ≥ 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + 11$；
【知识点】
圆锥的侧面展开图，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合圆锥展开与几何裁剪，综合考查弧长公式、勾股定理的应用，需理清图形位置与数量关系，对几何分析能力要求较高。
【难度系数】
0.4
本题围绕圆锥的侧面展开图与矩形中图形裁剪展开，核心思路：(1)利用圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长，列方程求底面半径；(2)裁剪问题需结合扇形圆心角、半径，通过勾股定理计算线段长度，判断圆形是否可放置，再推导最小$a$值及$a$的取值范围。
【解析】
(1)设圆锥底面圆半径为$r$，圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，可得：
$2π r = \frac{300π × 6}{180}$，
化简得$2π r = 10π$，解得$r = 5$。
(2)(ⅰ)①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由：
扇形$AMB$的圆心角$∠ AMB = 360° - 300° = 60°$，又$AM = BM = 6$，故$△ AMB$是等边三角形。作$MC ⊥ AB$于$C$，则$AC = 3$，在$\mathrm{Rt}△ AMC$中，$CM = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$。
矩形长$a=22$，则$M$到矩形右侧的距离为$22 - 3\sqrt{3} - 6 = 16 - 3\sqrt{3} \approx 10.8$，圆锥底面圆直径为$10$，矩形宽为$12$，$10.8＞10$且$12＞10$，故能剪出。
②示意图如图②，此时$a = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{30} + 5$。
(ⅱ)矩形纸片能剪出满足条件的扇形和圆形时，$a$的取值范围为$a ≥ 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + 11$。
【答案】
(1)$5$；
(2)(ⅰ)①能，理由见解析；②示意图如图②
，$a = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{30} + 5$；(ⅱ)$a ≥ 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + 11$；
【知识点】
圆锥的侧面展开图，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合圆锥展开与几何裁剪，综合考查弧长公式、勾股定理的应用，需理清图形位置与数量关系，对几何分析能力要求较高。
【难度系数】
0.4
13. 新考法 阅读下列材料,解决问题:
【材料1】滤纸的折叠方法:如图①,小明将一直径为 10 cm 的圆形滤纸,对折两次,形成$\dfrac{1}{4}$圆,然后一边一层、另外一边三层从中间拉开围成圆锥形,之后可利用三层的滤纸过滤液体.
【材料2】如图②,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,若底边 $BC$ 与腰 $AB$(或 $AC$)的比值确定,则该等腰三角形的顶角$∠ A$的大小也是确定的.如:当$\dfrac{BC}{AB}=\sqrt{2}$时,$∠ A=90°$.
(1) 如图③,取一漏斗,忽略漏斗管口处,上部的圆锥形内壁的母线 $OB$ 长为 6 cm,开口圆的直径为 6 cm,则将小明所折的滤纸放入该漏斗中,能否紧贴此漏斗上部圆锥形的内壁? 请利用上述材料说明理由.
(2) 折好的滤纸可以进行调整,使其重叠部分发生变化.假设有一特殊规格的漏斗,其上部圆锥形母线长为 6 cm,开口圆的直径为7.2 cm,现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形,放入此漏斗中,且能紧贴漏斗内壁. 则重叠部分每层的面积为
【材料1】滤纸的折叠方法:如图①,小明将一直径为 10 cm 的圆形滤纸,对折两次,形成$\dfrac{1}{4}$圆,然后一边一层、另外一边三层从中间拉开围成圆锥形,之后可利用三层的滤纸过滤液体.
【材料2】如图②,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,若底边 $BC$ 与腰 $AB$(或 $AC$)的比值确定,则该等腰三角形的顶角$∠ A$的大小也是确定的.如:当$\dfrac{BC}{AB}=\sqrt{2}$时,$∠ A=90°$.
(1) 如图③,取一漏斗,忽略漏斗管口处,上部的圆锥形内壁的母线 $OB$ 长为 6 cm,开口圆的直径为 6 cm,则将小明所折的滤纸放入该漏斗中,能否紧贴此漏斗上部圆锥形的内壁? 请利用上述材料说明理由.
(2) 折好的滤纸可以进行调整,使其重叠部分发生变化.假设有一特殊规格的漏斗,其上部圆锥形母线长为 6 cm,开口圆的直径为7.2 cm,现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形,放入此漏斗中,且能紧贴漏斗内壁. 则重叠部分每层的面积为
$5π$
$\mathrm{cm^2}$.答案
(1)能,理由如下:$\because$ 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为 $\dfrac{1}{4}$ 圆,$\therefore$ 围成的圆锥形的侧面积 $=(1-2×\dfrac{1}{4})S_{\mathrm{滤纸圆}}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{滤纸圆}}$,母线长为 $5$ cm.$\because S_{\mathrm{侧}}=π r l$,$\therefore$ 围成圆锥形的底面半径为 $2.5$ cm. 从正面看,漏斗上部圆锥形是等边三角形,围成圆锥从正面看也是一个等边三角形,故顶角度数相等,故能紧贴此漏斗上部圆锥形的内壁.
(2)$5π$ 解析:$\because$ 特殊规格的漏斗上部圆锥形母线长为 $6$ cm,开口圆的直径为 $7.2$ cm,$\therefore$ 从正面看,上部圆锥形是腰为 $6$ cm、底边为 $7.2$ cm 的等腰三角形,底边与腰的比值为 $\dfrac{7.2}{6}=1.2$. 设滤纸围成圆锥形开口圆直径为 $d$ cm,则从正面看,圆锥形滤纸是腰为 $5$ cm、底边为 $d$ 的等腰三角形,要使得滤纸放入此漏斗中能紧贴漏斗内壁,则 $\dfrac{d}{5}=1.2$,$d=6$,此时圆锥形滤纸侧面积 $S_{\mathrm{侧}}=π r l=15π\ \mathrm{cm}^2$.$\because$ 滤纸总面积为 $25π\ \mathrm{cm}^2$,故重叠部分每层的面积为 $(25π-15π)÷2=5π(\mathrm{cm}^2)$.
(2)$5π$ 解析:$\because$ 特殊规格的漏斗上部圆锥形母线长为 $6$ cm,开口圆的直径为 $7.2$ cm,$\therefore$ 从正面看,上部圆锥形是腰为 $6$ cm、底边为 $7.2$ cm 的等腰三角形,底边与腰的比值为 $\dfrac{7.2}{6}=1.2$. 设滤纸围成圆锥形开口圆直径为 $d$ cm,则从正面看,圆锥形滤纸是腰为 $5$ cm、底边为 $d$ 的等腰三角形,要使得滤纸放入此漏斗中能紧贴漏斗内壁,则 $\dfrac{d}{5}=1.2$,$d=6$,此时圆锥形滤纸侧面积 $S_{\mathrm{侧}}=π r l=15π\ \mathrm{cm}^2$.$\because$ 滤纸总面积为 $25π\ \mathrm{cm}^2$,故重叠部分每层的面积为 $(25π-15π)÷2=5π(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
第(1)问：先根据圆形滤纸的直径确定其半径，得到折叠后圆锥的母线长；再结合圆锥侧面积公式算出围成圆锥的底面直径，对比漏斗上部圆锥的轴截面等腰三角形，若两者底与腰的比值相等（即相似），则顶角相等，滤纸可紧贴漏斗内壁。第(2)问：先计算漏斗轴截面等腰三角形的底腰比值，利用相似三角形性质得到滤纸围成圆锥的底面直径，再分别计算滤纸总面积和围成圆锥的侧面积，两者差值为重叠部分总面积，除以重叠层数得每层面积。
【解析】
(1) 能紧贴，理由如下：
已知圆形滤纸直径为10cm，故半径为5cm，折叠后围成圆锥的母线长$ l = 5\mathrm{cm} $。
滤纸总面积$ S = π × 5^2 = 25π \mathrm{cm}^2 $，根据题意，围成圆锥的侧面积为滤纸面积的一半，即$ S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} × 25π = 12.5π \mathrm{cm}^2 $。
由圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，代入得$ 12.5π = π × r × 5 $，解得底面半径$ r = 2.5\mathrm{cm} $，底面直径为$ 5\mathrm{cm} $。
漏斗上部圆锥的母线$ OB = 6\mathrm{cm} $，开口直径为6cm，其轴截面是腰为6cm、底为6cm的等腰三角形，底与腰的比值为$ \frac{6}{6}=1 $；滤纸围成的圆锥轴截面是腰为5cm、底为5cm的等腰三角形，底与腰的比值为$ \frac{5}{5}=1 $，两等腰三角形相似，顶角相等，故滤纸能紧贴漏斗内壁。
(2) 漏斗上部圆锥的轴截面中，腰长为6cm，底边长为7.2cm，底与腰的比值为$ \frac{7.2}{6}=1.2 $。
设滤纸围成圆锥的底面直径为$ d $，其轴截面腰长为5cm，要使滤纸紧贴漏斗，需两等腰三角形相似，故$ \frac{d}{5}=1.2 $，解得$ d=6\mathrm{cm} $，滤纸圆锥的底面半径$ r=3\mathrm{cm} $。
滤纸总面积$ S = π × 5^2 = 25π \mathrm{cm}^2 $，围成圆锥的侧面积$ S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 3 × 5 = 15π \mathrm{cm}^2 $。
重叠部分总面积为$ 25π -15π =10π \mathrm{cm}^2 $，重叠层数为2层，故每层面积为$ 10π ÷2=5π \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
(1)能；(2)$ 5π $
【知识点】
圆锥侧面积计算、等腰三角形性质、相似三角形判定
【点评】
本题结合实际操作，将圆锥折叠与几何知识结合，考查空间想象和综合解题能力，需理解折叠后圆锥参数的变化，难度适中。
【难度系数】
0.4
第(1)问：先根据圆形滤纸的直径确定其半径，得到折叠后圆锥的母线长；再结合圆锥侧面积公式算出围成圆锥的底面直径，对比漏斗上部圆锥的轴截面等腰三角形，若两者底与腰的比值相等（即相似），则顶角相等，滤纸可紧贴漏斗内壁。第(2)问：先计算漏斗轴截面等腰三角形的底腰比值，利用相似三角形性质得到滤纸围成圆锥的底面直径，再分别计算滤纸总面积和围成圆锥的侧面积，两者差值为重叠部分总面积，除以重叠层数得每层面积。
【解析】
(1) 能紧贴，理由如下：
已知圆形滤纸直径为10cm，故半径为5cm，折叠后围成圆锥的母线长$ l = 5\mathrm{cm} $。
滤纸总面积$ S = π × 5^2 = 25π \mathrm{cm}^2 $，根据题意，围成圆锥的侧面积为滤纸面积的一半，即$ S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} × 25π = 12.5π \mathrm{cm}^2 $。
由圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，代入得$ 12.5π = π × r × 5 $，解得底面半径$ r = 2.5\mathrm{cm} $，底面直径为$ 5\mathrm{cm} $。
漏斗上部圆锥的母线$ OB = 6\mathrm{cm} $，开口直径为6cm，其轴截面是腰为6cm、底为6cm的等腰三角形，底与腰的比值为$ \frac{6}{6}=1 $；滤纸围成的圆锥轴截面是腰为5cm、底为5cm的等腰三角形，底与腰的比值为$ \frac{5}{5}=1 $，两等腰三角形相似，顶角相等，故滤纸能紧贴漏斗内壁。
(2) 漏斗上部圆锥的轴截面中，腰长为6cm，底边长为7.2cm，底与腰的比值为$ \frac{7.2}{6}=1.2 $。
设滤纸围成圆锥的底面直径为$ d $，其轴截面腰长为5cm，要使滤纸紧贴漏斗，需两等腰三角形相似，故$ \frac{d}{5}=1.2 $，解得$ d=6\mathrm{cm} $，滤纸圆锥的底面半径$ r=3\mathrm{cm} $。
滤纸总面积$ S = π × 5^2 = 25π \mathrm{cm}^2 $，围成圆锥的侧面积$ S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 3 × 5 = 15π \mathrm{cm}^2 $。
重叠部分总面积为$ 25π -15π =10π \mathrm{cm}^2 $，重叠层数为2层，故每层面积为$ 10π ÷2=5π \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
(1)能；(2)$ 5π $
【知识点】
圆锥侧面积计算、等腰三角形性质、相似三角形判定
【点评】
本题结合实际操作，将圆锥折叠与几何知识结合，考查空间想象和综合解题能力，需理解折叠后圆锥参数的变化，难度适中。
【难度系数】
0.4
