11. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$AD = 4$，$P$ 是 $AD$ 上的动点，$PE ⊥ AC$ 于点 $E$，$PF ⊥ BD$ 于点 $F$，则 $PE + PF$ 的值是.

11. $\dfrac{12}{5}$

12. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AE$ 平分 $∠ BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$，若 $∠ CAE = 15°$，求 $∠ BOE$ 的度数.

12. 解：$\because AE$平分$∠ BAD$交$BC$于$E$，
$\therefore ∠ AEB=45°$，$AB=BE$
$\because ∠ CAE=15°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ AEB-∠ CAE=45°-15°=30°$，
$\therefore ∠ BAO=60°$，
$\because OA=OB$$\therefore △ BOA$是等边三角形.
$\therefore OA=OB=AB$，即$OB=AB=BE$，
$\therefore △ BOE$为等腰三角形，且$∠ OBE=∠ OCB=30°$，
$\therefore ∠ BOE=\dfrac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.

13. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$BC ＞ AB$，$∠ BAD$ 的平分线 $AF$ 与 $BD$，$BC$ 分别交于点 $E$，$F$，点 $O$ 是 $BD$ 的中点，直线 $OK // AF$，交 $AD$ 于点 $K$，交 $BC$ 于点 $G$.
(1)求证：① $△ DOK ≌ △ BOG$；② $AB + AK = BG$.
(2)若 $KD = KG$，$BC = 4 - \sqrt{2}$，求 $KD$ 的长度.

13. (1)证明：①$\because$点$O$是$BD$的中点，
$\therefore OB=OD$，在矩形$ABCD$中，$AD// BC$，
$\therefore ∠ KDO=∠ OBG$，$\because ∠ KOD=∠ BOG$，
$\therefore △ DOK≌△ BOG$.
②在矩形$ABCD$中，$∠ BAD=∠ ABC=90°$，$AD// BC$，
$\because AF$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ BAF=∠ BFA=45°$，
$\therefore AB=BF$，
$\because OK// AF$，$AD// BC$，
$\therefore$四边形$AFGK$是平行四边形，
$\therefore AK=FG$，
$\because BG=BF+FG$，$\therefore BG=AB+AK$.
(2)解：由(1)得，四边形$AFGK$是平行四边形，
$\therefore AK=FG$，$AF=KG$，
$\because △ DOK≌△ BOG$，$KD=KG$，
$\therefore AF=KG=KD=BG$.
设$AB=x$，则$AF=KG=KD=BG=\sqrt{2}x$，
$\therefore AK=4-\sqrt{2}-\sqrt{2}x$，$FG=BG-BF=\sqrt{2}x-x$，
$4-\sqrt{2}-\sqrt{2}x=\sqrt{2}x-x$，解得$x=\sqrt{2}$，
$\therefore KD=\sqrt{2}x=2$.