5. 【方法体验】已知方程组$\begin{cases}2026x - 2025y = 20, & ① \\2027x + 2026y = 500, & ②\end{cases}$求$4053x + y$的值. 小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦. 后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题. 请你体验一下这种快捷思路,并解决下面问题.
【方法迁移】根据上面的体验,填空:
已知方程组$\begin{cases}x + 2y + 3z = 10, \\4x + 3y + 2z = 15,\end{cases}$则$3x + y - z =$ ______ .
【探究升级】已知方程组$\begin{cases}x + 2y + 3z = 10, \\4x + 3y + 2z = 15,\end{cases}$求$-2x + y + 4z$的值. 小明凑出“$-2x + y + 4z = 2·(x + 2y + 3z) + (-1)·(4x + 3y + 2z) = 20 - 15 = 5$”, 虽然问题得到解决,但他觉得凑数字很辛苦,于是他问
丁老师有没有不用凑数字的方法,丁老师提示道:假设$-2x + y + 4z = m·(x + 2y + 3z) + n·(4x + 3y + 2z)$, 对照方程两边各项的系数,可列出方程组$\begin{cases}m + 4n = -2, \\2m + 3n = 1, \\3m + 2n = 4.\end{cases}$它的解就是你凑的数.
根据丁老师的提示,填空:$2x + 5y + 8z =$$(x + 2y + 3z) +$$(4x + 3y + 2z)$.
【巩固运用】已知$2a - b + kc = 4$, 且$a + 3b + 2c = -2$, 当$k$为时,$8a + 3b - 2c$为定值,此定值是. (直接写出结果)

【方法迁移】5 提示:将$\begin{cases}x+2y+3z=10, \\4x+3y+2z=15\end{cases}$中的两个方程相减,得到-3x-y+z=-5,则3x+y-z=5.
【探究升级】$\dfrac{14}{5}$ $(-\dfrac{1}{5})$ 提示:设2x+5y+8z=m(x+2y+3z)+n(4x+3y+2z),
由题意,得$\begin{cases}m+4n=2, \\2m+3n=5, \\3m+2n=8.\end{cases}$解得$\begin{cases} m=\dfrac{14}{5}, \\ n=-\dfrac{1}{5}. \end{cases}$
所以2x+5y+8z=$\dfrac{14}{5}$(x+2y+3z)+$(-\dfrac{1}{5})$(4x+3y+2z).
【巩固运用】-2 8 提示:设8a+3b-2c=m(2a-b+kc)+n(a+3b+2c),由题意,得
$\begin{cases}2m+n=8, \\3n-m=3, \\2n+mk=-2.\end{cases}$解得$\begin{cases}m=3, \\n=2, \\k=-2.\end{cases}$
所以8a+3b-2c=m(2a-b+kc)+n(a+3b+2c)=3×4+2×(-2)=8.

五、二元一次方程组的应用
1.《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样的一个问题:五只雀与六只燕共重一斤,雀重燕轻,互换一只,恰好一样重.问:每只雀、燕的重量各为多少?设一只雀的重量为$ x $斤,一只燕的重量为$ y $斤,则可列方程组为 ()

A.$\begin{cases}5x+6y=1, \\5x-y=6y-x\end{cases}$
B.$\begin{cases}6x+5y=1, \\5x+y=6y+x\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x+6y=1, \\4x+y=5y+x\end{cases}$
D.$\begin{cases}6x+5y=1, \\4x-y=5y-x\end{cases}$

C

2. 小明在某商店购买商品 A,B 共两次,这两次购买商品 A,B 的数量和费用如下表:

若小丽需要购买 3 个商品 A 和 2 个商品 B,则她要花费元.

66 提示:设商品A的单价为x元,商品B的单价为y元.
根据题意,得$\begin{cases}4x+3y=93, \\6x+6y=162.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=12. \\y=15.\end{cases}$
所以3×12+2×15=66(元).