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1. 如图,在△ABC中,已知AB=8,∠C=90°,∠A=30°,DE是△ABC的中位线,则DE的长为 (
A.4
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.2
D
)A.4
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.2
答案
1.D
解析
【分析】
解题思路：首先，已知△ABC是含30°角的直角三角形，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可先求出直角边BC的长度；再结合DE是三角形中位线，利用三角形中位线定理（中位线长度等于第三边的一半），即可求出DE的长。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
∵DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将直角三角形的特殊性质和三角形中位线定理结合考察，只要熟记相关性质定理，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先，已知△ABC是含30°角的直角三角形，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可先求出直角边BC的长度；再结合DE是三角形中位线，利用三角形中位线定理（中位线长度等于第三边的一半），即可求出DE的长。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
∵DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将直角三角形的特殊性质和三角形中位线定理结合考察，只要熟记相关性质定理，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，O是跷跷板AB的中点，支柱OC与地面l垂直，垂足为点C，且OC的长为35 cm。当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度是（
A.35 cm
B.45 cm
C.70 cm
D.60 cm
C
）A.35 cm
B.45 cm
C.70 cm
D.60 cm
答案
2.C
解析
【分析】
首先明确我们要求的是端点A到地面l的垂直高度，所以首先过点A作地面l的垂线AD，AD的长度就是所求高度。观察图形可知OC也垂直于地面l，因此AD与OC互相平行；又已知O是AB的中点，由此可判定OC是△ABD的中位线，再根据三角形中位线的性质就能计算出AD的长度。
【解析】
过点A作AD⊥l，垂足为D，则AD即为A离地面的高度。
∵ OC⊥l，AD⊥l
∴ OC//AD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
又
∵ O是AB的中点，OC//AD
∴ 点C是BD的中点，即OC是△ABD的中位线
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得：
AD = 2OC
已知OC=35cm，代入得AD=2×35=70cm
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；平行线的判定
【点评】
本题以生活中常见的跷跷板为背景，考查几何定理的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造出符合中位线定理的三角形，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
首先明确我们要求的是端点A到地面l的垂直高度，所以首先过点A作地面l的垂线AD，AD的长度就是所求高度。观察图形可知OC也垂直于地面l，因此AD与OC互相平行；又已知O是AB的中点，由此可判定OC是△ABD的中位线，再根据三角形中位线的性质就能计算出AD的长度。
【解析】
过点A作AD⊥l，垂足为D，则AD即为A离地面的高度。
∵ OC⊥l，AD⊥l
∴ OC//AD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
又
∵ O是AB的中点，OC//AD
∴ 点C是BD的中点，即OC是△ABD的中位线
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得：
AD = 2OC
已知OC=35cm，代入得AD=2×35=70cm
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；平行线的判定
【点评】
本题以生活中常见的跷跷板为背景，考查几何定理的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造出符合中位线定理的三角形，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（
A.5
B.10
C.20
D.40
C
）A.5
B.10
C.20
D.40
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先抓住“D、E、F是△ABC三边中点”这一核心条件，联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边长度的一半。由此可知△DEF的三条边分别是△ABC对应边长的一半，进一步可推出两个三角形周长的数量关系，代入已知的△DEF周长就能求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}BC$，
∴$△ DEF$的周长$=DE+EF+DF=\frac{1}{2}(AC+AB+BC)=\frac{1}{2}C_{△ ABC}$，
已知$△ DEF$的周长为10，代入得：
$\frac{1}{2}C_{△ ABC}=10$，
解得$C_{△ ABC}=20$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查三角形中位线定理的使用，只要熟练掌握中位线和对应第三边的长度关系，就能快速推导出两个三角形的周长关系，进而得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“D、E、F是△ABC三边中点”这一核心条件，联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边长度的一半。由此可知△DEF的三条边分别是△ABC对应边长的一半，进一步可推出两个三角形周长的数量关系，代入已知的△DEF周长就能求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}BC$，
∴$△ DEF$的周长$=DE+EF+DF=\frac{1}{2}(AC+AB+BC)=\frac{1}{2}C_{△ ABC}$，
已知$△ DEF$的周长为10，代入得：
$\frac{1}{2}C_{△ ABC}=10$，
解得$C_{△ ABC}=20$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查三角形中位线定理的使用，只要熟练掌握中位线和对应第三边的长度关系，就能快速推导出两个三角形的周长关系，进而得到结果。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$△ ABC$中，$AB=BC=10$，$BD$是$∠ ABC$的平分线，点$E$是$AB$边的中点，则$DE$的长是（
A.6
B.5
C.4
D.3
B
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
4.B
解析
【分析】
首先由AB=BC可知△ABC是等腰三角形，结合BD是∠ABC的平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质可推出D是AC的中点；再结合E是AB中点，可知DE是△ABC的中位线，利用中位线的性质即可求出DE的长度，也可通过直角三角形斜边中线的性质求解。
【解析】
解：
∵ AB=BC=10，
∴ △ABC是等腰三角形，
∵ BD是∠ABC的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ D是AC的中点，
又
∵ E是AB的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ $DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何应用题，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质得到线段中点的结论，再结合中位线的性质求解，熟练掌握相关性质定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先由AB=BC可知△ABC是等腰三角形，结合BD是∠ABC的平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质可推出D是AC的中点；再结合E是AB中点，可知DE是△ABC的中位线，利用中位线的性质即可求出DE的长度，也可通过直角三角形斜边中线的性质求解。
【解析】
解：
∵ AB=BC=10，
∴ △ABC是等腰三角形，
∵ BD是∠ABC的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ D是AC的中点，
又
∵ E是AB的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ $DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何应用题，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质得到线段中点的结论，再结合中位线的性质求解，熟练掌握相关性质定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
