13. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$BD = 12\ \mathrm{cm}$，$AC = 6\ \mathrm{cm}$，点 $E$ 在线段 $BO$ 上从点 $B$ 出发以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $O$ 运动，点 $F$ 在线段 $OD$ 上从点 $O$ 出发以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $D$ 运动。若点 $E$，$F$ 同时运动，设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$，运动过程中是否存在某一时刻，使得四边形 $AECF$ 是平行四边形？

13.解:存在。要使四边形 $AECF$ 为平行四边形,
则需 $AO=OC,EO=OF$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形,
$\therefore AO=OC,BO=OD=6\ \mathrm{cm}$。
$\therefore EO=6-t,OF=2t$。
由题意可得 $0≤ t≤ 3$,
$\therefore 6-t=2t$,解得 $t=2$,满足 $0≤ t≤ 3$。
$\therefore$ 存在这一时刻,当 $t$ 为 $2$ 时,四边形 $AECF$ 是平行四边形。

【分析】
首先回忆平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD是平行四边形，本身对角线互相平分，因此已经满足AO=OC，要让四边形AECF为平行四边形，只需再满足EO=OF即可。接下来用含运动时间t的代数式分别表示出EO和OF的长度，列方程求解，最后验证解是否在动点的运动时间范围内即可。
【解析】
解：存在这样的时刻。
要使四边形AECF为平行四边形，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，需满足$AO=OC$，$EO=OF$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AO=OC$，$BO=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
点E运动t秒后，$BE=t\ \mathrm{cm}$，因此$EO=BO-BE=(6-t)\ \mathrm{cm}$；
点F运动t秒后，$OF=2t\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 点F从O到D最多运动$6÷2=3\ \mathrm{s}$，因此t的取值范围是$0\le t\le3$。
令$EO=OF$，可得方程：$6-t=2t$，
解得$t=2$，满足$0\le t\le3$。
【答案】
存在，当运动时间$t$为$2\ \mathrm{s}$时，四边形$AECF$是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；一元一次方程应用
【点评】
本题结合动点问题考查平行四边形的相关知识，解题核心是抓住平行四边形对角线互相平分的性质建立等量关系列方程，求解后要注意结合动点的运动范围验证解的合理性。
【难度系数】
0.7