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3. 为建设“秀美幸福之市”,某市绿化提质改造工程正如火如荼地进行. 某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵,对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造,已知甲种树苗每棵200元,乙种树苗每棵300元.
(1)若购买两种树苗的总金额为90 000元,则需购买甲、乙两种树苗各多少棵?
(2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额,则至少应购买甲种树苗多少棵?
(1)若购买两种树苗的总金额为90 000元,则需购买甲、乙两种树苗各多少棵?
(2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额,则至少应购买甲种树苗多少棵?
答案
3.(1)设购买甲种树苗x棵,则需购买乙种树苗$(400-x)$棵.
由题意可得$200x+300(400-x)=90\ 000.$
解得$x=300.$
当$x=300$时,$400-x=100.$
答:需购买甲种树苗300棵,需购买乙种树苗100棵.
(2)设购买甲种树苗y棵,则购买乙种树苗$(400-y)$棵.
根据题意,得$200y≥300(400-y).$
解得$y≥240.$
答:至少应购买甲种树苗240棵.
由题意可得$200x+300(400-x)=90\ 000.$
解得$x=300.$
当$x=300$时,$400-x=100.$
答:需购买甲种树苗300棵,需购买乙种树苗100棵.
(2)设购买甲种树苗y棵,则购买乙种树苗$(400-y)$棵.
根据题意,得$200y≥300(400-y).$
解得$y≥240.$
答:至少应购买甲种树苗240棵.
解析
【分析】
（1）本问属于一元一次方程应用类问题，首先可设甲种树苗的购买数量为未知量，结合两种树苗总棵数为400棵，用含未知量的式子表示出乙种树苗的数量，再根据“甲树苗总费用+乙树苗总费用=采购总金额”的等量关系列方程，解方程即可得到两种树苗的采购量。
（2）本问属于一元一次不等式应用类问题，先设甲种树苗的购买数量为未知量，同理表示出乙种树苗的数量，根据“甲种树苗采购金额≥乙种树苗采购金额”的不等关系列不等式，解不等式后取满足条件的最小值即可。
【解析】
（1）设购买甲种树苗$x$棵，则购买乙种树苗$(400-x)$棵。
根据题意列方程：
$200x+300(400-x)=90000$
展开得：$200x+120000-300x=90000$
移项合并同类项得：$-100x=-30000$
解得：$x=300$
则乙种树苗数量为：$400-300=100$（棵）
（2）设购买甲种树苗$y$棵，则购买乙种树苗$(400-y)$棵。
根据题意列不等式：
$200y≥300(400-y)$
展开得：$200y≥120000-300y$
移项合并同类项得：$500y≥120000$
解得：$y≥240$
即$y$的最小正整数值为240。
【答案】
（1）需购买甲种树苗300棵，乙种树苗100棵；
（2）至少应购买甲种树苗240棵。
【知识点】
一元一次方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题是贴近生活的采购类应用题，主要考查从题干提取等量关系、不等关系的能力，整体逻辑清晰、计算量小，只要正确梳理数量关系列出对应的方程、不等式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）本问属于一元一次方程应用类问题，首先可设甲种树苗的购买数量为未知量，结合两种树苗总棵数为400棵，用含未知量的式子表示出乙种树苗的数量，再根据“甲树苗总费用+乙树苗总费用=采购总金额”的等量关系列方程，解方程即可得到两种树苗的采购量。
（2）本问属于一元一次不等式应用类问题，先设甲种树苗的购买数量为未知量，同理表示出乙种树苗的数量，根据“甲种树苗采购金额≥乙种树苗采购金额”的不等关系列不等式，解不等式后取满足条件的最小值即可。
【解析】
（1）设购买甲种树苗$x$棵，则购买乙种树苗$(400-x)$棵。
根据题意列方程：
$200x+300(400-x)=90000$
展开得：$200x+120000-300x=90000$
移项合并同类项得：$-100x=-30000$
解得：$x=300$
则乙种树苗数量为：$400-300=100$（棵）
（2）设购买甲种树苗$y$棵，则购买乙种树苗$(400-y)$棵。
根据题意列不等式：
$200y≥300(400-y)$
展开得：$200y≥120000-300y$
移项合并同类项得：$500y≥120000$
解得：$y≥240$
即$y$的最小正整数值为240。
【答案】
（1）需购买甲种树苗300棵，乙种树苗100棵；
（2）至少应购买甲种树苗240棵。
【知识点】
一元一次方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题是贴近生活的采购类应用题，主要考查从题干提取等量关系、不等关系的能力，整体逻辑清晰、计算量小，只要正确梳理数量关系列出对应的方程、不等式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
4. 为增强学生的体质,某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动,需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元;购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元.
(1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元?
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1 000元,甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍,则有几种购买方案?
(3)若商家每售出1个甲种品牌毽子的利润是5元,每售出1个乙种品牌毽子的利润是4元,在(2)的条件下,学校如何购买毽子商家获得的利润最大?最大利润是多少元?
(1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元?
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1 000元,甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍,则有几种购买方案?
(3)若商家每售出1个甲种品牌毽子的利润是5元,每售出1个乙种品牌毽子的利润是4元,在(2)的条件下,学校如何购买毽子商家获得的利润最大?最大利润是多少元?
答案
4.(1)设购买1个甲种品牌毽子需要x元,1个乙种品牌毽子需要y元.
根据题意,得$\begin{cases}10x+5y=200,\\15x+10y=325.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=15,\\y=10.\end{cases}$
答:购买1个甲种品牌毽子需要15元,1个乙种品牌毽子需要10元.
(2)设购买m个甲种品牌毽子,则购买$\dfrac{1\ 000-15m}{10}=(100-\dfrac{3}{2}m)$个乙种品牌毽子.
根据题意,得$\begin{cases}m≥5(100-\dfrac{3}{2}m),\\m≤16(100-\dfrac{3}{2}m).\end{cases}$
解得$\dfrac{1\ 000}{17}≤m≤64.$
∵ m,$100-\dfrac{3}{2}m$均为正整数,
∴ m可以为60,62,64.
∴ 学校共有3种购买方案,
方案1:购买60个甲种品牌毽子,10个乙种品牌毽子;
方案2:购买62个甲种品牌毽子,7个乙种品牌毽子;
方案3:购买64个甲种品牌毽子,4个乙种品牌毽子.
(3)学校选择方案1商家可获得的总利润为$5×60+4×10=340$(元);
学校选择方案2商家可获得的总利润为$5×62+4×7=338$(元);
学校选择方案3商家可获得的总利润为$5×64+4×4=336$(元).
∵ 340＞338＞336,
∴ 在(2)的条件下,学校购买60个甲种品牌毽子,10个乙种品牌毽子时,商家获得的利润最大,最大利润是340元.
根据题意,得$\begin{cases}10x+5y=200,\\15x+10y=325.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=15,\\y=10.\end{cases}$
答:购买1个甲种品牌毽子需要15元,1个乙种品牌毽子需要10元.
(2)设购买m个甲种品牌毽子,则购买$\dfrac{1\ 000-15m}{10}=(100-\dfrac{3}{2}m)$个乙种品牌毽子.
根据题意,得$\begin{cases}m≥5(100-\dfrac{3}{2}m),\\m≤16(100-\dfrac{3}{2}m).\end{cases}$
解得$\dfrac{1\ 000}{17}≤m≤64.$
∵ m,$100-\dfrac{3}{2}m$均为正整数,
∴ m可以为60,62,64.
∴ 学校共有3种购买方案,
方案1:购买60个甲种品牌毽子,10个乙种品牌毽子;
方案2:购买62个甲种品牌毽子,7个乙种品牌毽子;
方案3:购买64个甲种品牌毽子,4个乙种品牌毽子.
(3)学校选择方案1商家可获得的总利润为$5×60+4×10=340$(元);
学校选择方案2商家可获得的总利润为$5×62+4×7=338$(元);
学校选择方案3商家可获得的总利润为$5×64+4×4=336$(元).
∵ 340＞338＞336,
∴ 在(2)的条件下,学校购买60个甲种品牌毽子,10个乙种品牌毽子时,商家获得的利润最大,最大利润是340元.
解析
【分析】
(1) 第一问求两种毽子的单价，可设甲、乙单价分别为x元、y元，根据两次购买的总花费的等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到单价。
(2) 第二问求购买方案数，先设购买甲种毽子m个，结合总花费1000元用含m的代数式表示乙种毽子的数量，再根据甲数量与乙数量的倍数关系列不等式组，解出m的取值范围，结合毽子个数为正整数的要求筛选出符合条件的m值，即可得到方案总数。
(3) 第三问求最大利润，根据单利×数量=总利润的公式，分别计算(2)中所有方案的总利润，比较大小即可得到最大利润及对应方案。
【解析】
(1) 设购买1个甲种品牌毽子需要x元，1个乙种品牌毽子需要y元。
根据题意得：$\begin{cases}10x+5y=200\\15x+10y=325\end{cases}$
将第一个方程两边乘2得$20x+10y=400$，减去第二个方程得$5x=75$，解得$x=15$，代入第一个方程得$10×15+5y=200$，解得$y=10$。
(2) 设购买m个甲种品牌毽子，则购买乙种品牌毽子的数量为$\frac{1000-15m}{10}=100-\frac{3}{2}m$个。
根据题意得：$\begin{cases}m≥5(100-\frac{3}{2}m)\\m≤16(100-\frac{3}{2}m)\end{cases}$
解第一个不等式得$m≥\frac{1000}{17}$，解第二个不等式得$m≤64$，即$\frac{1000}{17}≤ m≤64$。
∵m和$100-\frac{3}{2}m$均为正整数，
∴m可取60、62、64，对应3种方案：
方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；
方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；
方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子。
(3) 分别计算三种方案的商家利润：
方案1利润：$5×60+4×10=340$元；
方案2利润：$5×62+4×7=338$元；
方案3利润：$5×64+4×4=336$元。
∵$340＞338＞336$，因此购买60个甲种品牌毽子、10个乙种品牌毽子时商家利润最大。
【答案】
(1) 购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元；
(2) 共有3种购买方案：方案1购买60个甲种、10个乙种；方案2购买62个甲种、7个乙种；方案3购买64个甲种、4个乙种；
(3) 购买60个甲种品牌毽子、10个乙种品牌毽子时商家获得的利润最大，最大利润是340元。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用、最值问题
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，综合考查了方程、不等式的运用能力，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合实际意义（如物品个数为正整数），对学生的审题和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问求两种毽子的单价，可设甲、乙单价分别为x元、y元，根据两次购买的总花费的等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到单价。
(2) 第二问求购买方案数，先设购买甲种毽子m个，结合总花费1000元用含m的代数式表示乙种毽子的数量，再根据甲数量与乙数量的倍数关系列不等式组，解出m的取值范围，结合毽子个数为正整数的要求筛选出符合条件的m值，即可得到方案总数。
(3) 第三问求最大利润，根据单利×数量=总利润的公式，分别计算(2)中所有方案的总利润，比较大小即可得到最大利润及对应方案。
【解析】
(1) 设购买1个甲种品牌毽子需要x元，1个乙种品牌毽子需要y元。
根据题意得：$\begin{cases}10x+5y=200\\15x+10y=325\end{cases}$
将第一个方程两边乘2得$20x+10y=400$，减去第二个方程得$5x=75$，解得$x=15$，代入第一个方程得$10×15+5y=200$，解得$y=10$。
(2) 设购买m个甲种品牌毽子，则购买乙种品牌毽子的数量为$\frac{1000-15m}{10}=100-\frac{3}{2}m$个。
根据题意得：$\begin{cases}m≥5(100-\frac{3}{2}m)\\m≤16(100-\frac{3}{2}m)\end{cases}$
解第一个不等式得$m≥\frac{1000}{17}$，解第二个不等式得$m≤64$，即$\frac{1000}{17}≤ m≤64$。
∵m和$100-\frac{3}{2}m$均为正整数，
∴m可取60、62、64，对应3种方案：
方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；
方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；
方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子。
(3) 分别计算三种方案的商家利润：
方案1利润：$5×60+4×10=340$元；
方案2利润：$5×62+4×7=338$元；
方案3利润：$5×64+4×4=336$元。
∵$340＞338＞336$，因此购买60个甲种品牌毽子、10个乙种品牌毽子时商家利润最大。
【答案】
(1) 购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元；
(2) 共有3种购买方案：方案1购买60个甲种、10个乙种；方案2购买62个甲种、7个乙种；方案3购买64个甲种、4个乙种；
(3) 购买60个甲种品牌毽子、10个乙种品牌毽子时商家获得的利润最大，最大利润是340元。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用、最值问题
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，综合考查了方程、不等式的运用能力，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合实际意义（如物品个数为正整数），对学生的审题和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
