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8. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ (x+2)^2 = 16 $；
(2) $ 8(x^3 + 1) = -56 $。
(1) $ (x+2)^2 = 16 $；
(2) $ 8(x^3 + 1) = -56 $。
答案
8. (1)x=2或x=-6. (2)x=-2.
解析
【分析】
这两道题是利用平方根、立方根的性质求解未知数的方程。第(1)题左边是(x+2)的平方，右边是正数16，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，所以先给方程两边开平方得到x+2=±4，再分别解两个一元一次方程即可，注意不要漏解；第(2)题先化简方程，把含x³的项单独整理到等式一侧，再根据立方根的定义开立方求解即可，立方根结果唯一，不会出现多解情况。
【解析】
(1) 对$(x+2)^2=16$两边同时开平方，得：
$x+2=\pm\sqrt{16}=\pm4$
分两种情况计算：
当$x+2=4$时，解得$x=4-2=2$；
当$x+2=-4$时，解得$x=-4-2=-6$。
(2) 化简$8(x^3 + 1) = -56$：
两边同时除以8，得$x^3 + 1 = -7$，
移项得$x^3 = -7 -1 = -8$，
两边同时开立方，得$x=\sqrt[3]{-8}=-2$。
【答案】
(1)$x=2$或$x=-6$；(2)$x=-2$
【知识点】
平方根的运算，立方根的运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握平方根、立方根的性质，求解平方根时注意正数有两个互为相反数的根，避免漏解，求解前先化简方程可以降低计算出错率。
【难度系数】
0.85
这两道题是利用平方根、立方根的性质求解未知数的方程。第(1)题左边是(x+2)的平方，右边是正数16，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，所以先给方程两边开平方得到x+2=±4，再分别解两个一元一次方程即可，注意不要漏解；第(2)题先化简方程，把含x³的项单独整理到等式一侧，再根据立方根的定义开立方求解即可，立方根结果唯一，不会出现多解情况。
【解析】
(1) 对$(x+2)^2=16$两边同时开平方，得：
$x+2=\pm\sqrt{16}=\pm4$
分两种情况计算：
当$x+2=4$时，解得$x=4-2=2$；
当$x+2=-4$时，解得$x=-4-2=-6$。
(2) 化简$8(x^3 + 1) = -56$：
两边同时除以8，得$x^3 + 1 = -7$，
移项得$x^3 = -7 -1 = -8$，
两边同时开立方，得$x=\sqrt[3]{-8}=-2$。
【答案】
(1)$x=2$或$x=-6$；(2)$x=-2$
【知识点】
平方根的运算，立方根的运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握平方根、立方根的性质，求解平方根时注意正数有两个互为相反数的根，避免漏解，求解前先化简方程可以降低计算出错率。
【难度系数】
0.85
9. 计算:
$\sqrt{3^2} = \_\_\_\_\_\_, \sqrt{0.7^2} = \_\_\_\_\_\_,$
$\sqrt{0^2} = \_\_\_\_\_\_, \sqrt{(-6)^2} = \_\_\_\_\_\_,$
$\sqrt{(-\dfrac{3}{4})^2} = \_\_\_\_\_\_.$
(1)根据上面的计算结果,回答:$\sqrt{a^2}$一定等于$a$吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律,计算:$\sqrt{(3.14-π)^2}.$
$\sqrt{3^2} = \_\_\_\_\_\_, \sqrt{0.7^2} = \_\_\_\_\_\_,$
$\sqrt{0^2} = \_\_\_\_\_\_, \sqrt{(-6)^2} = \_\_\_\_\_\_,$
$\sqrt{(-\dfrac{3}{4})^2} = \_\_\_\_\_\_.$
(1)根据上面的计算结果,回答:$\sqrt{a^2}$一定等于$a$吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律,计算:$\sqrt{(3.14-π)^2}.$
答案
9. 3 0.7 0 6 3/4 (1)不一定. √a²=|a|. (2)原式=|3.14-π|=π-3.14.
解析
【分析】
解题时先依据算术平方根的定义，分别计算给出的5个算术平方根的值，再观察计算结果和被开方数中底数的对应关系，总结出$\sqrt{a^2}$的化简规律，最后利用该规律解决后续的化简问题。具体思路：第一步先计算底数的平方，再求对应非负的算术平方根；第二步对比正、0、负三种不同符号的底数对应的计算结果，归纳通用规律；第三步应用规律时，先判断底数的正负，再结合绝对值的性质去绝对值得到最终结果。
【解析】
先计算填空部分：
1. $\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3$
2. $\sqrt{0.7^2}=\sqrt{0.49}=0.7$
3. $\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$
4. $\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$
5. $\sqrt{(-\dfrac{3}{4})^2}=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}$
(1) 观察上述计算结果：当底数为正数时，结果等于底数本身；当底数为0时，结果为0；当底数为负数时，结果等于底数的相反数。因此$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$，总结规律为：$\sqrt{a^2}=|a|$，即当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$。
(2) 首先比较大小：$π\approx3.1415926＞3.14$，因此$3.14-π＜0$。根据总结的规律可得：
$\sqrt{(3.14-π)^2}=|3.14-π|=π-3.14$
【答案】
$3$；$0.7$；$0$；$6$；$\dfrac{3}{4}$；(1)不一定，$\sqrt{a^2}=|a|$；(2)$π-3.14$
【知识点】
算术平方根的计算；绝对值的性质；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式性质的基础探究题，通过从特殊到一般的过程归纳$\sqrt{a^2}$的化简规律，再应用规律解决问题，侧重考查对算术平方根非负性的理解，化简时要先判断底数的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75
解题时先依据算术平方根的定义，分别计算给出的5个算术平方根的值，再观察计算结果和被开方数中底数的对应关系，总结出$\sqrt{a^2}$的化简规律，最后利用该规律解决后续的化简问题。具体思路：第一步先计算底数的平方，再求对应非负的算术平方根；第二步对比正、0、负三种不同符号的底数对应的计算结果，归纳通用规律；第三步应用规律时，先判断底数的正负，再结合绝对值的性质去绝对值得到最终结果。
【解析】
先计算填空部分：
1. $\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3$
2. $\sqrt{0.7^2}=\sqrt{0.49}=0.7$
3. $\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$
4. $\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$
5. $\sqrt{(-\dfrac{3}{4})^2}=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}$
(1) 观察上述计算结果：当底数为正数时，结果等于底数本身；当底数为0时，结果为0；当底数为负数时，结果等于底数的相反数。因此$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$，总结规律为：$\sqrt{a^2}=|a|$，即当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$。
(2) 首先比较大小：$π\approx3.1415926＞3.14$，因此$3.14-π＜0$。根据总结的规律可得：
$\sqrt{(3.14-π)^2}=|3.14-π|=π-3.14$
【答案】
$3$；$0.7$；$0$；$6$；$\dfrac{3}{4}$；(1)不一定，$\sqrt{a^2}=|a|$；(2)$π-3.14$
【知识点】
算术平方根的计算；绝对值的性质；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式性质的基础探究题，通过从特殊到一般的过程归纳$\sqrt{a^2}$的化简规律，再应用规律解决问题，侧重考查对算术平方根非负性的理解，化简时要先判断底数的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75
