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1. 下列说法正确的是（
A.$\frac{1}{25}$的平方根是$\frac{1}{5}$
B.$-25$的算术平方根是$5$
C.$(-5)^2$的平方根是$-5$
D.$0$的平方根和算术平方根都是$0$
D
）A.$\frac{1}{25}$的平方根是$\frac{1}{5}$
B.$-25$的算术平方根是$5$
C.$(-5)^2$的平方根是$-5$
D.$0$的平方根和算术平方根都是$0$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题思路如下：首先回忆两个核心定义：①平方根：若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，其中正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②算术平方根：正数的正的平方根叫做它的算术平方根，0的算术平方根是0。接下来逐一验证每个选项是否符合定义，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：因为$(\pm\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，所以$\frac{1}{25}$的平方根是$\pm\frac{1}{5}$，并非只有$\frac{1}{5}$，该选项错误。
B选项：负数没有平方根，也不存在算术平方根，$-25$是负数，因此该选项错误。
C选项：$(-5)^2=25$，25的平方根是$\pm5$，并非只有$-5$，该选项错误。
D选项：根据平方根和算术平方根的定义，0的平方根和算术平方根都是0，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是区分平方根和算术平方根的差异，易错点是容易忽略正数平方根的正负性，或者忘记负数没有平方根的规则，掌握基本定义就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
这道题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题思路如下：首先回忆两个核心定义：①平方根：若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，其中正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②算术平方根：正数的正的平方根叫做它的算术平方根，0的算术平方根是0。接下来逐一验证每个选项是否符合定义，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：因为$(\pm\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，所以$\frac{1}{25}$的平方根是$\pm\frac{1}{5}$，并非只有$\frac{1}{5}$，该选项错误。
B选项：负数没有平方根，也不存在算术平方根，$-25$是负数，因此该选项错误。
C选项：$(-5)^2=25$，25的平方根是$\pm5$，并非只有$-5$，该选项错误。
D选项：根据平方根和算术平方根的定义，0的平方根和算术平方根都是0，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是区分平方根和算术平方根的差异，易错点是容易忽略正数平方根的正负性，或者忘记负数没有平方根的规则，掌握基本定义就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. 实数$3π,-\dfrac{7}{8},0,\sqrt{2},-3.15,\sqrt{9},\dfrac{\sqrt{3}}{3}$中,无理数有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：含$π$的数、开方开不尽的数的方根、无限不循环小数。解题时先对可化简的数（如$\sqrt{9}$）进行化简，再逐个判断每个数是否为无理数，最后统计无理数的个数即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析给出的实数：
1. $3π$：$π$是无限不循环小数，属于无理数，因此$3π$也是无理数；
2. $-\dfrac{7}{8}$：是分数，属于有理数；
3. $0$：是整数，属于有理数；
4. $\sqrt{2}$：2开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
5. $-3.15$：是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
6. $\sqrt{9}$：化简得$\sqrt{9}=3$，是整数，属于有理数；
7. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$：$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$也是无理数。
综上，无理数共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的概念，实数的分类，算术平方根化简
【点评】
本题是无理数识别的基础题，解题核心是先化简带根号的数，再结合无理数定义判断，需注意不要误将带根号的数都当成无理数，也不要把分子含无理数的分数形式的数错认为有理数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：含$π$的数、开方开不尽的数的方根、无限不循环小数。解题时先对可化简的数（如$\sqrt{9}$）进行化简，再逐个判断每个数是否为无理数，最后统计无理数的个数即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析给出的实数：
1. $3π$：$π$是无限不循环小数，属于无理数，因此$3π$也是无理数；
2. $-\dfrac{7}{8}$：是分数，属于有理数；
3. $0$：是整数，属于有理数；
4. $\sqrt{2}$：2开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
5. $-3.15$：是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
6. $\sqrt{9}$：化简得$\sqrt{9}=3$，是整数，属于有理数；
7. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$：$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$也是无理数。
综上，无理数共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的概念，实数的分类，算术平方根化简
【点评】
本题是无理数识别的基础题，解题核心是先化简带根号的数，再结合无理数定义判断，需注意不要误将带根号的数都当成无理数，也不要把分子含无理数的分数形式的数错认为有理数。
【难度系数】
0.7
3. 有下列说法:(1)无理数就是开方开不尽的数;(2)无理数是无限不循环小数;(3)无理数包括正无理数、零、负无理数;(4)无理数可以用数轴上的点来表示.其中正确说法的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3.B
解析
【分析】
这道题考查无理数的相关基础概念，解题时需要逐一验证四个说法是否符合无理数的定义、分类规则以及实数与数轴的对应关系，最终统计正确说法的数量就能得到答案。首先回忆无理数的核心定义，再结合分类、数轴对应关系的知识点，逐个判断每个说法的正误即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
(1) 开方开不尽的数属于无理数，但无理数不只有开方开不尽的数，例如π是无理数，它不是开方运算的结果，因此该说法错误；
(2) 根据无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，该说法正确；
(3) 0是有理数，无理数仅包括正无理数和负无理数，不包含0，因此该说法错误；
(4) 实数和数轴上的点是一一对应的，无理数属于实数的一部分，因此无理数可以用数轴上的点来表示，该说法正确。
综上，正确的说法为(2)(4)，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；无理数的分类；实数与数轴的关系
【点评】
本题是无理数概念的基础考查题，易错点在于容易误认为无理数仅包含开方开不尽的数，或者误将0归为无理数，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这道题考查无理数的相关基础概念，解题时需要逐一验证四个说法是否符合无理数的定义、分类规则以及实数与数轴的对应关系，最终统计正确说法的数量就能得到答案。首先回忆无理数的核心定义，再结合分类、数轴对应关系的知识点，逐个判断每个说法的正误即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
(1) 开方开不尽的数属于无理数，但无理数不只有开方开不尽的数，例如π是无理数，它不是开方运算的结果，因此该说法错误；
(2) 根据无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，该说法正确；
(3) 0是有理数，无理数仅包括正无理数和负无理数，不包含0，因此该说法错误；
(4) 实数和数轴上的点是一一对应的，无理数属于实数的一部分，因此无理数可以用数轴上的点来表示，该说法正确。
综上，正确的说法为(2)(4)，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；无理数的分类；实数与数轴的关系
【点评】
本题是无理数概念的基础考查题，易错点在于容易误认为无理数仅包含开方开不尽的数，或者误将0归为无理数，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 下列各组数中互为相反数的是
（
A.$-2$与$\sqrt{(-2)^2}$
B.$-2$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$-2$与$-\dfrac{1}{2}$
D.$|-2|$与$2$
（
A
）A.$-2$与$\sqrt{(-2)^2}$
B.$-2$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$-2$与$-\dfrac{1}{2}$
D.$|-2|$与$2$
答案
4.A
解析
【分析】
解题首先要明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。解题步骤为：先将每个选项中不是最简形式的数化简，再对比每组两个数是否仅符号不同，即可判断是否互为相反数。
【解析】
先明确相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，我们逐个分析选项：
A选项：先化简$\sqrt{(-2)^2}$，先计算根号内的部分：$(-2)^2=4$，因此$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$-2$和$2$仅符号不同，互为相反数，符合要求；
B选项：化简$\sqrt[3]{-8}$，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，两个数都是$-2$，两数相等，不是相反数；
C选项：$-2$和$-\frac{1}{2}$乘积为1，互为倒数，不是相反数；
D选项：化简$|-2|=2$，两个数都是2，两数相等，不是相反数。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；二次根式化简；绝对值的性质
【点评】
本题考查互为相反数的判断，解题的核心是先正确化简各选项中的实数，再结合相反数的定义逐一验证，属于基础类题型，需要熟练掌握实数的基本化简运算。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。解题步骤为：先将每个选项中不是最简形式的数化简，再对比每组两个数是否仅符号不同，即可判断是否互为相反数。
【解析】
先明确相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，我们逐个分析选项：
A选项：先化简$\sqrt{(-2)^2}$，先计算根号内的部分：$(-2)^2=4$，因此$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$-2$和$2$仅符号不同，互为相反数，符合要求；
B选项：化简$\sqrt[3]{-8}$，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，两个数都是$-2$，两数相等，不是相反数；
C选项：$-2$和$-\frac{1}{2}$乘积为1，互为倒数，不是相反数；
D选项：化简$|-2|=2$，两个数都是2，两数相等，不是相反数。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；二次根式化简；绝对值的性质
【点评】
本题考查互为相反数的判断，解题的核心是先正确化简各选项中的实数，再结合相反数的定义逐一验证，属于基础类题型，需要熟练掌握实数的基本化简运算。
【难度系数】
0.8
5. 实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图8-3所示,下列结论正确的是 (
图8-3
A.$|a|＞|b|$
B.$a+b＜0$
C.$a+2＞b+2$
D.$|a-1|＞|b-1|$
D
)图8-3
A.$|a|＞|b|$
B.$a+b＜0$
C.$a+2＞b+2$
D.$|a-1|＞|b-1|$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先根据数轴上点的位置确定实数a、b的取值范围，再结合绝对值的性质、不等式的基本性质，逐个对四个选项进行判断，也可以通过代入符合取值范围的具体数值验证选项是否正确，快速得到答案。
【解析】
解：由数轴上a、b的位置可得：$-1 ＜ a ＜ 0$，$1 ＜ b ＜ 2$。
选项A：$|a|$的取值范围是$0 ＜ |a| ＜1$，$|b|$的取值范围是$1 ＜ |b| ＜2$，因此$|a| ＜ |b|$，A错误；
选项B：因为$a ＞ -1$，$b ＞1$，所以$a + b ＞ -1 +1 =0$，即$a + b ＞0$，B错误；
选项C：因为$a ＜ b$，根据不等式的性质，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，因此$a + 2 ＜ b + 2$，C错误；
选项D：因为$a ＜0$，所以$a -1 ＜0$，则$|a -1| = 1 - a$，结合$-1 ＜a ＜0$可得$1 ＜ 1 -a ＜2$；因为$b ＞1$，所以$b -1 ＞0$，则$|b -1| = b -1$，结合$1 ＜b ＜2$可得$0 ＜ b -1 ＜1$；因此$|a -1| ＞ |b -1|$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，绝对值的化简，不等式的性质
【点评】
本题是实数相关性质的基础考查题，借助数轴确定字母的取值范围是解题的前提，判断过程中既可以用代数性质推导，也可以用特殊值代入法快速验证，难度不高。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据数轴上点的位置确定实数a、b的取值范围，再结合绝对值的性质、不等式的基本性质，逐个对四个选项进行判断，也可以通过代入符合取值范围的具体数值验证选项是否正确，快速得到答案。
【解析】
解：由数轴上a、b的位置可得：$-1 ＜ a ＜ 0$，$1 ＜ b ＜ 2$。
选项A：$|a|$的取值范围是$0 ＜ |a| ＜1$，$|b|$的取值范围是$1 ＜ |b| ＜2$，因此$|a| ＜ |b|$，A错误；
选项B：因为$a ＞ -1$，$b ＞1$，所以$a + b ＞ -1 +1 =0$，即$a + b ＞0$，B错误；
选项C：因为$a ＜ b$，根据不等式的性质，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，因此$a + 2 ＜ b + 2$，C错误；
选项D：因为$a ＜0$，所以$a -1 ＜0$，则$|a -1| = 1 - a$，结合$-1 ＜a ＜0$可得$1 ＜ 1 -a ＜2$；因为$b ＞1$，所以$b -1 ＞0$，则$|b -1| = b -1$，结合$1 ＜b ＜2$可得$0 ＜ b -1 ＜1$；因此$|a -1| ＞ |b -1|$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，绝对值的化简，不等式的性质
【点评】
本题是实数相关性质的基础考查题，借助数轴确定字母的取值范围是解题的前提，判断过程中既可以用代数性质推导，也可以用特殊值代入法快速验证，难度不高。
【难度系数】
0.7
6. 若$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=0$,则$x$和$y$的关系是（
A.$x$和$y$互为倒数
B.$x$和$y$互为相反数
C.$x$和$y$相等
D.不能确定
B
）A.$x$和$y$互为倒数
B.$x$和$y$互为相反数
C.$x$和$y$相等
D.不能确定
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先从已知等式入手，首先对等式进行移项，再结合立方根的性质：负数的立方根是负数，根号外的负号可以移到根号内部，得到两个相等的立方根，再根据立方根的唯一性，相等的两个立方根对应的被开方数也相等，即可推出x和y的数量关系，进而判断二者的关系。
【解析】
已知$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=0$，
移项得：$\sqrt[3]{x}=-\sqrt[3]{y}$，
根据立方根的性质$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，可得$-\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{-y}$，
因此$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-y}$，
因为两个数的立方根相等时，这两个数也相等，所以$x=-y$，即$x+y=0$，符合相反数的定义。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质；相反数的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握立方根的运算性质，明确立方根与被开方数的一一对应关系，这类题型是实数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知等式入手，首先对等式进行移项，再结合立方根的性质：负数的立方根是负数，根号外的负号可以移到根号内部，得到两个相等的立方根，再根据立方根的唯一性，相等的两个立方根对应的被开方数也相等，即可推出x和y的数量关系，进而判断二者的关系。
【解析】
已知$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=0$，
移项得：$\sqrt[3]{x}=-\sqrt[3]{y}$，
根据立方根的性质$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，可得$-\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{-y}$，
因此$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-y}$，
因为两个数的立方根相等时，这两个数也相等，所以$x=-y$，即$x+y=0$，符合相反数的定义。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质；相反数的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握立方根的运算性质，明确立方根与被开方数的一一对应关系，这类题型是实数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
7. $(-4)^2$的平方根是________，$\sqrt{36}$的算术平方根是________，$-\dfrac{8}{125}$的立方根是________。
答案
7. ±4 √6 -2/5
解析
【分析】
解题时需要分别根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐步求解：
1. 求$(-4)^2$的平方根：首先先计算$(-4)^2$的结果，再根据平方根的定义（若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根）求出结果；
2. 求$\sqrt{36}$的算术平方根：首先先化简$\sqrt{36}$得到数值，再根据算术平方根的定义（正数的正的平方根叫做它的算术平方根）求解；
3. 求$-\dfrac{8}{125}$的立方根：根据立方根的定义（若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，负数的立方根是负数）找到立方等于$-\dfrac{8}{125}$的数即可。
【解析】
1. 计算第一个空：
先算$(-4)^2=16$，因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根是$\pm4$，即$(-4)^2$的平方根是$\pm4$；
2. 计算第二个空：
先算$\sqrt{36}=6$，根据算术平方根的定义，6的正的平方根是$\sqrt{6}$，所以$\sqrt{36}$的算术平方根是$\sqrt{6}$；
3. 计算第三个空：
因为$(-\dfrac{2}{5})^3=-\dfrac{8}{125}$，所以$-\dfrac{8}{125}$的立方根是$-\dfrac{2}{5}$。
【答案】
$\pm4$；$\sqrt{6}$；$-\dfrac{2}{5}$
【知识点】
平方根；算术平方根；立方根
【点评】
本题重点考查实数相关的基础概念，解题的关键是先对题干中的式子进行化简，再结合对应概念求解，要注意区分平方根和算术平方根，避免出现混淆概念的错误。
【难度系数】
0.7
解题时需要分别根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐步求解：
1. 求$(-4)^2$的平方根：首先先计算$(-4)^2$的结果，再根据平方根的定义（若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根）求出结果；
2. 求$\sqrt{36}$的算术平方根：首先先化简$\sqrt{36}$得到数值，再根据算术平方根的定义（正数的正的平方根叫做它的算术平方根）求解；
3. 求$-\dfrac{8}{125}$的立方根：根据立方根的定义（若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，负数的立方根是负数）找到立方等于$-\dfrac{8}{125}$的数即可。
【解析】
1. 计算第一个空：
先算$(-4)^2=16$，因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根是$\pm4$，即$(-4)^2$的平方根是$\pm4$；
2. 计算第二个空：
先算$\sqrt{36}=6$，根据算术平方根的定义，6的正的平方根是$\sqrt{6}$，所以$\sqrt{36}$的算术平方根是$\sqrt{6}$；
3. 计算第三个空：
因为$(-\dfrac{2}{5})^3=-\dfrac{8}{125}$，所以$-\dfrac{8}{125}$的立方根是$-\dfrac{2}{5}$。
【答案】
$\pm4$；$\sqrt{6}$；$-\dfrac{2}{5}$
【知识点】
平方根；算术平方根；立方根
【点评】
本题重点考查实数相关的基础概念，解题的关键是先对题干中的式子进行化简，再结合对应概念求解，要注意区分平方根和算术平方根，避免出现混淆概念的错误。
【难度系数】
0.7
8. 写出一个比$\sqrt{2}$大且比$\sqrt{10}$小的整数：______.
答案
8. 答案不唯一,如2或3
解析
【分析】
要找出比$\sqrt{2}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要估算$\sqrt{2}$和$\sqrt{10}$分别介于哪两个相邻整数之间。我们可以利用平方与开平方的互逆关系，将被开方数和相邻整数的平方（即完全平方数）对比，就能得到两个无理数的取值范围，再筛选出范围内的整数即可。
【解析】
第一步，估算$\sqrt{2}$的取值范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得$1＜\sqrt{2}＜2$。
第二步，估算$\sqrt{10}$的取值范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，同理可得$3＜\sqrt{10}＜4$。
第三步，找符合要求的整数：
大于$\sqrt{2}$（即大于1点多）且小于$\sqrt{10}$（即小于3点多）的整数有2、3，任选其一即可。
【答案】
2（或3，答案不唯一）
【知识点】
1. 无理数的大小估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的大小估算方法，解题的关键是掌握平方与开平方的互逆关系，通过对比完全平方数确定无理数的取值范围，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要找出比$\sqrt{2}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要估算$\sqrt{2}$和$\sqrt{10}$分别介于哪两个相邻整数之间。我们可以利用平方与开平方的互逆关系，将被开方数和相邻整数的平方（即完全平方数）对比，就能得到两个无理数的取值范围，再筛选出范围内的整数即可。
【解析】
第一步，估算$\sqrt{2}$的取值范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得$1＜\sqrt{2}＜2$。
第二步，估算$\sqrt{10}$的取值范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，同理可得$3＜\sqrt{10}＜4$。
第三步，找符合要求的整数：
大于$\sqrt{2}$（即大于1点多）且小于$\sqrt{10}$（即小于3点多）的整数有2、3，任选其一即可。
【答案】
2（或3，答案不唯一）
【知识点】
1. 无理数的大小估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的大小估算方法，解题的关键是掌握平方与开平方的互逆关系，通过对比完全平方数确定无理数的取值范围，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
9. 如图8-4,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是
√2-1
.答案
9.√2-1
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：图中直角三角形的两条直角边长均为1，首先用勾股定理计算出斜边长；再根据作图可知，圆弧以数轴上表示-1的点为圆心、斜边长为半径，因此表示-1的点到点A的距离等于斜边长；最后结合点A在数轴上的位置，就能求出a的值。
【解析】
1. 计算直角三角形的斜边长：
直角三角形的两条直角边长度均为1，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
2. 分析点A与已知点的距离：
由作图可知，数轴上表示-1的点到点A的距离等于直角三角形的斜边长，即距离为$\sqrt{2}$。
3. 求点A表示的数：
点A在表示-1的点的右侧，因此点A表示的数$a = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的性质
【点评】
本题是数形结合的典型基础题，将几何中的勾股定理、圆的半径性质和数轴知识结合，解题的核心是抓住圆弧半径等于直角三角形斜边长度，进而求出数轴上对应点表示的数。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：图中直角三角形的两条直角边长均为1，首先用勾股定理计算出斜边长；再根据作图可知，圆弧以数轴上表示-1的点为圆心、斜边长为半径，因此表示-1的点到点A的距离等于斜边长；最后结合点A在数轴上的位置，就能求出a的值。
【解析】
1. 计算直角三角形的斜边长：
直角三角形的两条直角边长度均为1，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
2. 分析点A与已知点的距离：
由作图可知，数轴上表示-1的点到点A的距离等于直角三角形的斜边长，即距离为$\sqrt{2}$。
3. 求点A表示的数：
点A在表示-1的点的右侧，因此点A表示的数$a = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的性质
【点评】
本题是数形结合的典型基础题，将几何中的勾股定理、圆的半径性质和数轴知识结合，解题的核心是抓住圆弧半径等于直角三角形斜边长度，进而求出数轴上对应点表示的数。
【难度系数】
0.7
10. 图8-5是一个“数值转换机”的示意图,当输入81时,输出的值是
图8-5
√3
.图8-5
答案
10.√3
解析
【分析】
首先明确数值转换机的运算规则：输入x后，先计算x的算术平方根，若结果是无理数则直接输出；若结果是有理数，就将该结果作为新的输入值再次计算算术平方根，重复上述过程，直到得到无理数为止。我们将输入值81按照这个规则逐步运算，即可得到最终输出值。
【解析】
第一步：输入$x=81$，计算$\sqrt{81}=9$，9是有理数，因此将9作为新的输入值重新计算；
第二步：输入$x=9$，计算$\sqrt{9}=3$，3是有理数，因此将3作为新的输入值重新计算；
第三步：输入$x=3$，计算得$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此输出该结果。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
算术平方根计算；无理数的判定；程序类运算
【点评】
本题是结合程序流程图的实数运算题，解题核心是读懂数值转换机的循环规则，结合算术平方根的计算和无理数的定义逐步推导即可，主要考查学生对基础概念的掌握和审题能力。
【难度系数】
0.8
首先明确数值转换机的运算规则：输入x后，先计算x的算术平方根，若结果是无理数则直接输出；若结果是有理数，就将该结果作为新的输入值再次计算算术平方根，重复上述过程，直到得到无理数为止。我们将输入值81按照这个规则逐步运算，即可得到最终输出值。
【解析】
第一步：输入$x=81$，计算$\sqrt{81}=9$，9是有理数，因此将9作为新的输入值重新计算；
第二步：输入$x=9$，计算$\sqrt{9}=3$，3是有理数，因此将3作为新的输入值重新计算；
第三步：输入$x=3$，计算得$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此输出该结果。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
算术平方根计算；无理数的判定；程序类运算
【点评】
本题是结合程序流程图的实数运算题，解题核心是读懂数值转换机的循环规则，结合算术平方根的计算和无理数的定义逐步推导即可，主要考查学生对基础概念的掌握和审题能力。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 计算: $\sqrt[3]{-64} - \sqrt{0} - \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt[3]{0.125} + \sqrt[3]{1 - \frac{63}{64}}$。
11. 计算: $\sqrt[3]{-64} - \sqrt{0} - \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt[3]{0.125} + \sqrt[3]{1 - \frac{63}{64}}$。
答案
11. -15/4.
解析
【分析】
这是一道实数的混合运算题，解题思路分为三步：第一步回忆平方根（算术平方根）和立方根的计算规则，算术平方根的结果是非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致；第二步分别计算每个根式的值，对于含有运算的被开方数先算根号内的数值再开方；第三步将化简后的所有数值按照有理数加减法则计算，计算时可先找互为相反数的项抵消，简化运算过程。
【解析】
先分别化简每一个根式：
1. 计算$\sqrt[3]{-64}$：因为$(-4)^3=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$；
2. 计算$\sqrt{0}$：$\sqrt{0}=0$；
3. 计算$\sqrt{\frac{1}{4}}$：因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，算术平方根非负，所以$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$；
4. 计算$\sqrt[3]{0.125}$：因为$0.5^3=0.125$，所以$\sqrt[3]{0.125}=0.5=\frac{1}{2}$；
5. 计算$\sqrt[3]{1-\frac{63}{64}}$：先算根号内$1-\frac{63}{64}=\frac{1}{64}$，又因为$(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$，所以$\sqrt[3]{1-\frac{63}{64}}=\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}$。
将化简结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-4 - 0 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\\&=-4 + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}) + \frac{1}{4}\\&=-4 + 0 + \frac{1}{4}\\&=-\frac{16}{4}+\frac{1}{4}\\&=-\frac{15}{4}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{15}{4}$
【知识点】
算术平方根计算；立方根计算；实数加减运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，重点考查平方根、立方根的性质应用，解题核心是准确区分算术平方根和立方根的符号规则，计算过程中利用相反数抵消的技巧可减少运算失误。
【难度系数】
0.8
这是一道实数的混合运算题，解题思路分为三步：第一步回忆平方根（算术平方根）和立方根的计算规则，算术平方根的结果是非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致；第二步分别计算每个根式的值，对于含有运算的被开方数先算根号内的数值再开方；第三步将化简后的所有数值按照有理数加减法则计算，计算时可先找互为相反数的项抵消，简化运算过程。
【解析】
先分别化简每一个根式：
1. 计算$\sqrt[3]{-64}$：因为$(-4)^3=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$；
2. 计算$\sqrt{0}$：$\sqrt{0}=0$；
3. 计算$\sqrt{\frac{1}{4}}$：因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，算术平方根非负，所以$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$；
4. 计算$\sqrt[3]{0.125}$：因为$0.5^3=0.125$，所以$\sqrt[3]{0.125}=0.5=\frac{1}{2}$；
5. 计算$\sqrt[3]{1-\frac{63}{64}}$：先算根号内$1-\frac{63}{64}=\frac{1}{64}$，又因为$(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$，所以$\sqrt[3]{1-\frac{63}{64}}=\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}$。
将化简结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-4 - 0 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\\&=-4 + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}) + \frac{1}{4}\\&=-4 + 0 + \frac{1}{4}\\&=-\frac{16}{4}+\frac{1}{4}\\&=-\frac{15}{4}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{15}{4}$
【知识点】
算术平方根计算；立方根计算；实数加减运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，重点考查平方根、立方根的性质应用，解题核心是准确区分算术平方根和立方根的符号规则，计算过程中利用相反数抵消的技巧可减少运算失误。
【难度系数】
0.8
