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7. 计算: $\sqrt{9} - \sqrt[3]{-8} + \sqrt{(-3)^2} - (\sqrt{2})^2$.
答案
7. 原式=3-(-2)+3-2=3+2+3-2=6.
解析
【分析】
计算这道实数混合运算题，我们可以先逐个化简式子中的每一项，再按照从左到右的顺序做加减运算即可。化简每一项时要牢记对应性质：①正数的算术平方根是正数；②负数的立方根是负数；③√(a²)=|a|、(√a)²=a（a≥0），计算时要重点注意符号处理，避免出错。
【解析】
先分别化简每一项：
√9是9的算术平方根，结果为3；
∛-8是-8的立方根，结果为-2，因此-∛-8=-(-2)；
√(-3)²=√9=3；
(√2)²=2。
代入原式计算：
原式=3 - (-2) + 3 - 2
=3 + 2 + 3 - 2
=6
【答案】
6
【知识点】
算术平方根的性质，立方根的性质，实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的基础常规题，核心考查对算术平方根、立方根相关性质的运用，只要熟练掌握相关性质，计算时注意处理好负号，细心运算就能正确得分。
【难度系数】
0.85
计算这道实数混合运算题，我们可以先逐个化简式子中的每一项，再按照从左到右的顺序做加减运算即可。化简每一项时要牢记对应性质：①正数的算术平方根是正数；②负数的立方根是负数；③√(a²)=|a|、(√a)²=a（a≥0），计算时要重点注意符号处理，避免出错。
【解析】
先分别化简每一项：
√9是9的算术平方根，结果为3；
∛-8是-8的立方根，结果为-2，因此-∛-8=-(-2)；
√(-3)²=√9=3；
(√2)²=2。
代入原式计算：
原式=3 - (-2) + 3 - 2
=3 + 2 + 3 - 2
=6
【答案】
6
【知识点】
算术平方根的性质，立方根的性质，实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的基础常规题，核心考查对算术平方根、立方根相关性质的运用，只要熟练掌握相关性质，计算时注意处理好负号，细心运算就能正确得分。
【难度系数】
0.85
五、综合应用
1. $\sqrt{5}-2$ 的相反数是________，绝对值是________.
1. $\sqrt{5}-2$ 的相反数是________，绝对值是________.
答案
1. 2-√5 √5-2
解析
【分析】
解题思路分两步走：①求相反数：根据相反数的定义，求一个数的相反数只需在这个数整体前面添加负号，再化简即可；②求绝对值：首先判断$\sqrt{5}-2$的正负性，可通过比较$\sqrt{5}$和2的大小判断，再根据正数的绝对值是它本身的规则化简得到结果。
【解析】
1. 求$\sqrt{5}-2$的相反数：
根据相反数的定义，数$a$的相反数为$-a$，因此$\sqrt{5}-2$的相反数是：
$-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5}$
2. 求$\sqrt{5}-2$的绝对值：
先判断$\sqrt{5}-2$的正负：因为$(\sqrt{5})^2=5$，$2^2=4$，$5＞4$，所以$\sqrt{5}＞2$，即$\sqrt{5}-2＞0$。
根据正数的绝对值等于它本身，可得：
$|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$
【答案】
$2-\sqrt{5}$；$\sqrt{5}-2$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题是实数相关概念的基础考查题，解题核心是熟练掌握相反数的求法，以及绝对值化简前先判断代数式正负的规则，避免直接去绝对值导致符号错误。
【难度系数】
0.85
解题思路分两步走：①求相反数：根据相反数的定义，求一个数的相反数只需在这个数整体前面添加负号，再化简即可；②求绝对值：首先判断$\sqrt{5}-2$的正负性，可通过比较$\sqrt{5}$和2的大小判断，再根据正数的绝对值是它本身的规则化简得到结果。
【解析】
1. 求$\sqrt{5}-2$的相反数：
根据相反数的定义，数$a$的相反数为$-a$，因此$\sqrt{5}-2$的相反数是：
$-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5}$
2. 求$\sqrt{5}-2$的绝对值：
先判断$\sqrt{5}-2$的正负：因为$(\sqrt{5})^2=5$，$2^2=4$，$5＞4$，所以$\sqrt{5}＞2$，即$\sqrt{5}-2＞0$。
根据正数的绝对值等于它本身，可得：
$|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$
【答案】
$2-\sqrt{5}$；$\sqrt{5}-2$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题是实数相关概念的基础考查题，解题核心是熟练掌握相反数的求法，以及绝对值化简前先判断代数式正负的规则，避免直接去绝对值导致符号错误。
【难度系数】
0.85
2. 计算：$\sqrt[3]{-125}+\sqrt{4}=$
-3
。答案
2.-3
解析
【分析】
这道题考查实数的基本运算，解题思路是先分别计算出两个根式的值，再将结果相加即可。首先回忆立方根的性质：负数的立方根是负数，找到立方等于-125的数就能求出$\sqrt[3]{-125}$的值；再回忆算术平方根的定义，$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，结果为非负数，找到平方等于4的正数即可得到$\sqrt{4}$的值，最后把两个结果相加得到最终答案。
【解析】
解：第一步计算立方根：
∵ $(-5)^3=-125$
∴ $\sqrt[3]{-125}=-5$
第二步计算算术平方根：
∵ $2^2=4$
∴ $\sqrt{4}=2$
第三步计算两者的和：
$\sqrt[3]{-125}+\sqrt{4}=-5+2=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
立方根运算、算术平方根运算、实数加法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对立方根和算术平方根概念的准确掌握，计算时注意不要混淆立方根与平方根的符号规则，也不要将算术平方根的结果取为正负值，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查实数的基本运算，解题思路是先分别计算出两个根式的值，再将结果相加即可。首先回忆立方根的性质：负数的立方根是负数，找到立方等于-125的数就能求出$\sqrt[3]{-125}$的值；再回忆算术平方根的定义，$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，结果为非负数，找到平方等于4的正数即可得到$\sqrt{4}$的值，最后把两个结果相加得到最终答案。
【解析】
解：第一步计算立方根：
∵ $(-5)^3=-125$
∴ $\sqrt[3]{-125}=-5$
第二步计算算术平方根：
∵ $2^2=4$
∴ $\sqrt{4}=2$
第三步计算两者的和：
$\sqrt[3]{-125}+\sqrt{4}=-5+2=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
立方根运算、算术平方根运算、实数加法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对立方根和算术平方根概念的准确掌握，计算时注意不要混淆立方根与平方根的符号规则，也不要将算术平方根的结果取为正负值，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
3. 若$\sqrt{x} + \sqrt{-x}$有意义，则$\sqrt{x+1} =$
1
.答案
3.1
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。题目中$\sqrt{x}$和$\sqrt{-x}$同时有意义，因此需要分别满足两个被开方数非负，联立两个条件就能求出x的取值，再将x的值代入$\sqrt{x+1}$计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$\begin{cases}x≥0 \\-x≥0\end{cases}$
解不等式$-x≥0$得$x≤0$，因此同时满足$x≥0$和$x≤0$的x的值为$x=0$。
将$x=0$代入$\sqrt{x+1}$得：
$\sqrt{0+1}=\sqrt{1}=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件；算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用二次根式被开方数的非负性确定未知字母的取值，再代入待求式计算，掌握二次根式的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。题目中$\sqrt{x}$和$\sqrt{-x}$同时有意义，因此需要分别满足两个被开方数非负，联立两个条件就能求出x的取值，再将x的值代入$\sqrt{x+1}$计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$\begin{cases}x≥0 \\-x≥0\end{cases}$
解不等式$-x≥0$得$x≤0$，因此同时满足$x≥0$和$x≤0$的x的值为$x=0$。
将$x=0$代入$\sqrt{x+1}$得：
$\sqrt{0+1}=\sqrt{1}=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件；算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用二次根式被开方数的非负性确定未知字母的取值，再代入待求式计算，掌握二次根式的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
4. 若$\sqrt{102.01}=10.1$，则$\pm\sqrt{1.0201}=$______。
答案
4. ±1.01
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件中的被开方数102.01和待求式的被开方数1.0201的关系，发现1.0201是102.01的小数点向左移动2位得到的，也就是$1.0201=102.01÷100$。再根据算术平方根的性质：当被开方数缩小到原来的$\frac{1}{100}$时，它的算术平方根会缩小到原来的$\frac{1}{10}$，即可先求出$\sqrt{1.0201}$的值，最后结合待求式的$\pm$号得到最终结果。
【解析】
解：已知$\sqrt{102.01}=10.1$，
因为$1.0201=\frac{102.01}{100}$，
所以$\sqrt{1.0201}=\sqrt{\frac{102.01}{100}}=\frac{\sqrt{102.01}}{\sqrt{100}}=\frac{10.1}{10}=1.01$，
因此$\pm\sqrt{1.0201}=\pm1.01$。
【答案】
$\pm1.01$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 平方根的表示
【点评】
本题属于基础题，核心考查算术平方根的变化规律和平方根的基本概念，解题的关键是找准被开方数的小数点移动规律，避免因记错移动方向或位数出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件中的被开方数102.01和待求式的被开方数1.0201的关系，发现1.0201是102.01的小数点向左移动2位得到的，也就是$1.0201=102.01÷100$。再根据算术平方根的性质：当被开方数缩小到原来的$\frac{1}{100}$时，它的算术平方根会缩小到原来的$\frac{1}{10}$，即可先求出$\sqrt{1.0201}$的值，最后结合待求式的$\pm$号得到最终结果。
【解析】
解：已知$\sqrt{102.01}=10.1$，
因为$1.0201=\frac{102.01}{100}$，
所以$\sqrt{1.0201}=\sqrt{\frac{102.01}{100}}=\frac{\sqrt{102.01}}{\sqrt{100}}=\frac{10.1}{10}=1.01$，
因此$\pm\sqrt{1.0201}=\pm1.01$。
【答案】
$\pm1.01$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 平方根的表示
【点评】
本题属于基础题，核心考查算术平方根的变化规律和平方根的基本概念，解题的关键是找准被开方数的小数点移动规律，避免因记错移动方向或位数出错。
【难度系数】
0.8
5. 正方体 A 的体积是正方体 B 的体积的 27 倍,那么正方体 A 的棱长是正方体 B 的棱长的 ______ 倍.
答案
5.3
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体体积和棱长的关系：正方体体积等于棱长的三次方，已知两个正方体的体积倍数关系，求棱长的倍数关系，只需对体积的倍数开立方即可。我们可以先分别设出两个正方体的棱长，根据体积公式写出两者体积的表达式，再结合题目给出的体积倍数关系建立等式，最后通过立方根运算求出棱长的比值。
【解析】
设正方体A的棱长为$a$，正方体B的棱长为$b$。
根据正方体体积公式可得：
正方体A的体积$V_A=a^3$，正方体B的体积$V_B=b^3$。
由题意可知$V_A=27V_B$，代入体积表达式得：
$a^3=27b^3$
对等式两边同时开立方，得：
$a=\sqrt[3]{27b^3}=3b$，即$\frac{a}{b}=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.正方体体积公式 2.立方根的运算
【点评】
本题属于基础应用题，结合立体图形体积公式和立方根运算考查，解题关键是明确正方体体积与棱长的三次方成正比，对体积倍数开立方即可得到棱长的倍数。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正方体体积和棱长的关系：正方体体积等于棱长的三次方，已知两个正方体的体积倍数关系，求棱长的倍数关系，只需对体积的倍数开立方即可。我们可以先分别设出两个正方体的棱长，根据体积公式写出两者体积的表达式，再结合题目给出的体积倍数关系建立等式，最后通过立方根运算求出棱长的比值。
【解析】
设正方体A的棱长为$a$，正方体B的棱长为$b$。
根据正方体体积公式可得：
正方体A的体积$V_A=a^3$，正方体B的体积$V_B=b^3$。
由题意可知$V_A=27V_B$，代入体积表达式得：
$a^3=27b^3$
对等式两边同时开立方，得：
$a=\sqrt[3]{27b^3}=3b$，即$\frac{a}{b}=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.正方体体积公式 2.立方根的运算
【点评】
本题属于基础应用题，结合立体图形体积公式和立方根运算考查，解题关键是明确正方体体积与棱长的三次方成正比，对体积倍数开立方即可得到棱长的倍数。
【难度系数】
0.9
6. 计算: (1) $-\sqrt[3]{-0.125}$;
(2) $\sqrt{16} - (-1)^{2024} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|$.
(2) $\sqrt{16} - (-1)^{2024} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|$.
答案
6. (1)0.5. (2)√2-1.
解析
【分析】
(1) 本题考查立方根的运算，解题思路：先根据立方根的性质求出$\sqrt[3]{-0.125}$的值，再计算其相反数即可。负数的立方根是负数，先找到立方等于-0.125的数，再处理外层的负号。
(2) 本题考查实数的混合运算，解题思路：按照先算乘方、开方，再算加减的顺序，分别化简每一项：先求16的算术平方根、计算$(-1)^{2024}$的结果、求27的立方根、化简绝对值$|1-\sqrt{2}|$（先判断$1-\sqrt{2}$的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），最后合并计算结果。
【解析】
(1) 解：
$\because (-0.5)^3=-0.125$
$\therefore \sqrt[3]{-0.125}=-0.5$
$\therefore -\sqrt[3]{-0.125}=-(-0.5)=0.5$
(2) 解：
$\sqrt{16} - (-1)^{2024} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|$
$=4 - 1 - 3 + (\sqrt{2}-1)$
$=(4-1-3) + \sqrt{2} -1$
$=0 + \sqrt{2} -1$
$=\sqrt{2}-1$
【答案】
(1) $0.5$；(2) $\sqrt{2}-1$
【知识点】
立方根运算，算术平方根运算，实数混合运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，核心是熟练掌握各类运算的规则，尤其要注意立方根的符号、绝对值化简的判断、乘方的符号规律，计算时细心处理符号即可得到正确结果。
【难度系数】
0.75
(1) 本题考查立方根的运算，解题思路：先根据立方根的性质求出$\sqrt[3]{-0.125}$的值，再计算其相反数即可。负数的立方根是负数，先找到立方等于-0.125的数，再处理外层的负号。
(2) 本题考查实数的混合运算，解题思路：按照先算乘方、开方，再算加减的顺序，分别化简每一项：先求16的算术平方根、计算$(-1)^{2024}$的结果、求27的立方根、化简绝对值$|1-\sqrt{2}|$（先判断$1-\sqrt{2}$的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），最后合并计算结果。
【解析】
(1) 解：
$\because (-0.5)^3=-0.125$
$\therefore \sqrt[3]{-0.125}=-0.5$
$\therefore -\sqrt[3]{-0.125}=-(-0.5)=0.5$
(2) 解：
$\sqrt{16} - (-1)^{2024} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|$
$=4 - 1 - 3 + (\sqrt{2}-1)$
$=(4-1-3) + \sqrt{2} -1$
$=0 + \sqrt{2} -1$
$=\sqrt{2}-1$
【答案】
(1) $0.5$；(2) $\sqrt{2}-1$
【知识点】
立方根运算，算术平方根运算，实数混合运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，核心是熟练掌握各类运算的规则，尤其要注意立方根的符号、绝对值化简的判断、乘方的符号规律，计算时细心处理符号即可得到正确结果。
【难度系数】
0.75
7. 化简：$|\sqrt{6}-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-1|-|\sqrt{6}-3|.$
答案
7. 2√6-4.
解析
【分析】
要化简带绝对值的式子，首先需依据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题步骤为：第一步，先估算√2、√6的近似值，判断每个绝对值内代数式的正负性；第二步，根据绝对值的性质去掉绝对值符号；第三步，去括号后合并同类二次根式，即可得到化简结果。
【解析】
解：先判断各绝对值内式子的正负：
∵√6≈2.45，√2≈1.414，
∴√6-√2＞0，√2-1＞0，√6-3＜0，
根据绝对值的性质去绝对值符号：
原式=(√6-√2)+(√2-1)-(3-√6)
去括号得：
=√6-√2+√2-1-3+√6
合并同类项得：
=2√6-4
【答案】
2√6-4
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 二次根式加减运算
3. 无理数大小估算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，解题核心是正确判断绝对值内表达式的正负，再灵活运用绝对值的性质去符号，运算时注意去括号的符号规则，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要化简带绝对值的式子，首先需依据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题步骤为：第一步，先估算√2、√6的近似值，判断每个绝对值内代数式的正负性；第二步，根据绝对值的性质去掉绝对值符号；第三步，去括号后合并同类二次根式，即可得到化简结果。
【解析】
解：先判断各绝对值内式子的正负：
∵√6≈2.45，√2≈1.414，
∴√6-√2＞0，√2-1＞0，√6-3＜0，
根据绝对值的性质去绝对值符号：
原式=(√6-√2)+(√2-1)-(3-√6)
去括号得：
=√6-√2+√2-1-3+√6
合并同类项得：
=2√6-4
【答案】
2√6-4
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 二次根式加减运算
3. 无理数大小估算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，解题核心是正确判断绝对值内表达式的正负，再灵活运用绝对值的性质去符号，运算时注意去括号的符号规则，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
