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4. 比较大小：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ______（填“＞”“＜”或“=”）$\frac{1}{2}$。
答案
4.＞
解析
【分析】
要比较两个同分母分数的大小，只需比较分子的大小即可。我们可以先利用算术平方根的性质估算$\sqrt{5}$的取值范围，再推导$\sqrt{5}-1$和1的大小关系，最终得到两个分数的大小结果。
【解析】
解：两个分数分母相同，均为2，因此只需比较分子$\sqrt{5}-1$和1的大小。
∵ $4＜5$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，算术平方根越大，
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$，
不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得$\sqrt{5}-1＞2-1$，即$\sqrt{5}-1＞1$，
不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较、无理数估算
【点评】
本题是基础的实数大小比较题，解题关键是将同分母分数比较转化为分子的大小比较，结合算术平方根的性质估算无理数范围即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要比较两个同分母分数的大小，只需比较分子的大小即可。我们可以先利用算术平方根的性质估算$\sqrt{5}$的取值范围，再推导$\sqrt{5}-1$和1的大小关系，最终得到两个分数的大小结果。
【解析】
解：两个分数分母相同，均为2，因此只需比较分子$\sqrt{5}-1$和1的大小。
∵ $4＜5$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，算术平方根越大，
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$，
不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得$\sqrt{5}-1＞2-1$，即$\sqrt{5}-1＞1$，
不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较、无理数估算
【点评】
本题是基础的实数大小比较题，解题关键是将同分母分数比较转化为分子的大小比较，结合算术平方根的性质估算无理数范围即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 有一个数值转换器,原理如图8-1所示.
当输入的$x=9$时,输出的$y$等于
(
A.$2$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$
当输入的$x=9$时,输出的$y$等于
(
C
)A.$2$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先读懂数值转换器的运算规则：输入x后先计算它的算术平方根，若结果是有理数，就将该结果作为新的x再次输入计算算术平方根，若结果是无理数就直接输出。我们按照这个规则逐步计算输入x=9时的结果即可。
【解析】
第一步：输入$x=9$，计算其算术平方根：$\sqrt{9}=3$，3是有理数，因此需要将3作为新的输入值重新计算。
第二步：输入$x=3$，计算其算术平方根：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，符合输出条件。
因此输出的$y=\sqrt{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根计算；无理数判别；程序运算
【点评】
本题将程序流程与实数的相关知识结合，解题的核心是明确转换器的循环运算规则，注意不要仅进行一次运算就直接输出结果，需判断每次运算结果是否为有理数，确认最终输出的是无理数。
【难度系数】
0.8
解题时首先读懂数值转换器的运算规则：输入x后先计算它的算术平方根，若结果是有理数，就将该结果作为新的x再次输入计算算术平方根，若结果是无理数就直接输出。我们按照这个规则逐步计算输入x=9时的结果即可。
【解析】
第一步：输入$x=9$，计算其算术平方根：$\sqrt{9}=3$，3是有理数，因此需要将3作为新的输入值重新计算。
第二步：输入$x=3$，计算其算术平方根：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，符合输出条件。
因此输出的$y=\sqrt{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根计算；无理数判别；程序运算
【点评】
本题将程序流程与实数的相关知识结合，解题的核心是明确转换器的循环运算规则，注意不要仅进行一次运算就直接输出结果，需判断每次运算结果是否为有理数，确认最终输出的是无理数。
【难度系数】
0.8
6. 一个自然数的算术平方根是$ x $，则它后面一个自然数的算术平方根是(
A.$ x+1 $
B.$ x^2+1 $
C.$ \sqrt{x}+1 $
D.$ \sqrt{x^2+1} $
D
)A.$ x+1 $
B.$ x^2+1 $
C.$ \sqrt{x}+1 $
D.$ \sqrt{x^2+1} $
答案
6.D
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据算术平方根的定义，由已知的算术平方根反推出对应的原自然数；第二步，求出原自然数后面相邻的自然数，即给原自然数加1；第三步，再次利用算术平方根的定义，求出后一个自然数的算术平方根即可。注意不要混淆原自然数和它的算术平方根，避免出现直接给算术平方根加1的错误。
【解析】
解：设这个自然数为$ a $。
∵ 自然数$ a $的算术平方根是$ x $，根据算术平方根的定义：若一个非负数$ m $的平方等于$ n $，则$ m $叫做$ n $的算术平方根，可得$ a = x^2 $。
它后面相邻的自然数为$ a+1 = x^2 + 1 $。
因此$ x^2 +1 $的算术平方根为$ \sqrt{x^2 +1} $。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；自然数的概念；列代数式
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是明确算术平方根和被开方数的对应关系，易错点是容易混淆原自然数和它的算术平方根，错选直接给$ x $加1的选项。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步思考：第一步，根据算术平方根的定义，由已知的算术平方根反推出对应的原自然数；第二步，求出原自然数后面相邻的自然数，即给原自然数加1；第三步，再次利用算术平方根的定义，求出后一个自然数的算术平方根即可。注意不要混淆原自然数和它的算术平方根，避免出现直接给算术平方根加1的错误。
【解析】
解：设这个自然数为$ a $。
∵ 自然数$ a $的算术平方根是$ x $，根据算术平方根的定义：若一个非负数$ m $的平方等于$ n $，则$ m $叫做$ n $的算术平方根，可得$ a = x^2 $。
它后面相邻的自然数为$ a+1 = x^2 + 1 $。
因此$ x^2 +1 $的算术平方根为$ \sqrt{x^2 +1} $。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；自然数的概念；列代数式
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是明确算术平方根和被开方数的对应关系，易错点是容易混淆原自然数和它的算术平方根，错选直接给$ x $加1的选项。
【难度系数】
0.8
三、立方根
1. 27 的立方根是
1. 27 的立方根是
3
.答案
1.3
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。要求27的立方根，我们只需要找到哪个正整数的立方等于27即可，因为正数的立方根是正数且仅有1个，所以直接计算常见数的立方就能得到结果。
【解析】
解：根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得：$3^3=3×3×3=27$，因此27的立方根是3。
【答案】
3
【知识点】
立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对立方根定义的理解和运用，解题时需注意区分立方根和平方根的差异，正数的立方根仅有一个且为正数，熟记1~10的立方可快速解答这类题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。要求27的立方根，我们只需要找到哪个正整数的立方等于27即可，因为正数的立方根是正数且仅有1个，所以直接计算常见数的立方就能得到结果。
【解析】
解：根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得：$3^3=3×3×3=27$，因此27的立方根是3。
【答案】
3
【知识点】
立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对立方根定义的理解和运用，解题时需注意区分立方根和平方根的差异，正数的立方根仅有一个且为正数，熟记1~10的立方可快速解答这类题型。
【难度系数】
0.9
2. $\sqrt{64}$的立方根是________。
答案
2.2
解析
【分析】
这道题需要分两步完成计算，首先要明确运算顺序，先计算出$\sqrt{64}$的结果，再求该结果的立方根，切忌直接对64求立方根。解题时先回忆算术平方根的定义，算出$\sqrt{64}$的值，再结合立方根的定义求出最终结果即可。
【解析】
第一步：计算$\sqrt{64}$的值
根据算术平方根的定义，若正数$x$的平方等于$a$，则$x$是$a$的算术平方根，因为$8^2=64$，因此$\sqrt{64}=8$。
第二步：求8的立方根
根据立方根的定义，若数$x$的立方等于$a$，则$x$是$a$的立方根，因为$2^3=8$，因此8的立方根是2。
综上，$\sqrt{64}$的立方根是2。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的计算，立方根的计算
【点评】
本题属于实数运算的基础题，易错点是忽略先计算$\sqrt{64}$的结果，直接对64求立方根得到错误答案，解题时注意运算顺序，牢记相关定义即可正确解答。
【难度系数】
0.7
这道题需要分两步完成计算，首先要明确运算顺序，先计算出$\sqrt{64}$的结果，再求该结果的立方根，切忌直接对64求立方根。解题时先回忆算术平方根的定义，算出$\sqrt{64}$的值，再结合立方根的定义求出最终结果即可。
【解析】
第一步：计算$\sqrt{64}$的值
根据算术平方根的定义，若正数$x$的平方等于$a$，则$x$是$a$的算术平方根，因为$8^2=64$，因此$\sqrt{64}=8$。
第二步：求8的立方根
根据立方根的定义，若数$x$的立方等于$a$，则$x$是$a$的立方根，因为$2^3=8$，因此8的立方根是2。
综上，$\sqrt{64}$的立方根是2。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的计算，立方根的计算
【点评】
本题属于实数运算的基础题，易错点是忽略先计算$\sqrt{64}$的结果，直接对64求立方根得到错误答案，解题时注意运算顺序，牢记相关定义即可正确解答。
【难度系数】
0.7
3. 一个正数 $ a $ 的两个平方根是 $ 2b - 1 $ 和 $ b + 4 $，则 $ a + b $ 的立方根为 ______。
答案
3.2
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，和为0。我们可以先利用这个性质列关于b的一元一次方程，解出b的值；再将b代入任意一个平方根，平方后得到a的值；接着计算a+b的结果，最后求这个结果的立方根即可得到答案。
【解析】
解：
∵正数的两个平方根互为相反数
∴$(2b - 1) + (b + 4) = 0$
合并同类项得：$3b + 3 = 0$
解得：$b = -1$
将$b=-1$代入$b+4$得：$b+4 = -1 + 4 = 3$
∴正数$a = 3^2 = 9$
则$a + b = 9 + (-1) = 8$
∵$2^3 = 8$
∴8的立方根为2，即$a+b$的立方根为2。
【答案】
2
【知识点】
平方根的性质；立方根的计算
【点评】
本题属于实数章节的基础题型，核心是掌握正数的两个平方根互为相反数这一性质，按照逻辑逐步代入计算即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，和为0。我们可以先利用这个性质列关于b的一元一次方程，解出b的值；再将b代入任意一个平方根，平方后得到a的值；接着计算a+b的结果，最后求这个结果的立方根即可得到答案。
【解析】
解：
∵正数的两个平方根互为相反数
∴$(2b - 1) + (b + 4) = 0$
合并同类项得：$3b + 3 = 0$
解得：$b = -1$
将$b=-1$代入$b+4$得：$b+4 = -1 + 4 = 3$
∴正数$a = 3^2 = 9$
则$a + b = 9 + (-1) = 8$
∵$2^3 = 8$
∴8的立方根为2，即$a+b$的立方根为2。
【答案】
2
【知识点】
平方根的性质；立方根的计算
【点评】
本题属于实数章节的基础题型，核心是掌握正数的两个平方根互为相反数这一性质，按照逻辑逐步代入计算即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
4. 若$-\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{\dfrac{7}{8}}$，则$a$的值是（
A.$\dfrac{7}{8}$
B.$-\dfrac{7}{8}$
C.$\pm\dfrac{7}{8}$
D.$-\dfrac{343}{512}$
B
）A.$\dfrac{7}{8}$
B.$-\dfrac{7}{8}$
C.$\pm\dfrac{7}{8}$
D.$-\dfrac{343}{512}$
答案
4.B
解析
【分析】
拿到本题，首先回忆立方根的性质：立方根的符号与被开方数的符号一致，负号可以在三次根号的内外自由移动，即$-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-a}$。观察题干给出的等式，左边是带负号的三次根号，右边是三次根号形式，我们可以先将左边的负号移入根号内，得到两个相等的三次根号，再根据“若两个数的立方根相等，则这两个数本身相等”的规律，即可列出关于a的等式，求解得到a的值。
【解析】
根据立方根的性质可知：$-\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{-a}$，
结合题干条件$-\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{\dfrac{7}{8}}$，可得：$\sqrt[3]{-a} = \sqrt[3]{\dfrac{7}{8}}$，
因为两个数的立方根相等时，被开方数相等，因此：
$-a = \dfrac{7}{8}$，
解得$a = -\dfrac{7}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质、等式的性质
【点评】
本题属于基础考题，核心考查立方根的符号特性，解题时需注意不要将立方根的性质和平方根的性质混淆，平方根的被开方数非负，而立方根的被开方数可以是任意实数，负号可自由移动。
【难度系数】
0.8
拿到本题，首先回忆立方根的性质：立方根的符号与被开方数的符号一致，负号可以在三次根号的内外自由移动，即$-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-a}$。观察题干给出的等式，左边是带负号的三次根号，右边是三次根号形式，我们可以先将左边的负号移入根号内，得到两个相等的三次根号，再根据“若两个数的立方根相等，则这两个数本身相等”的规律，即可列出关于a的等式，求解得到a的值。
【解析】
根据立方根的性质可知：$-\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{-a}$，
结合题干条件$-\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{\dfrac{7}{8}}$，可得：$\sqrt[3]{-a} = \sqrt[3]{\dfrac{7}{8}}$，
因为两个数的立方根相等时，被开方数相等，因此：
$-a = \dfrac{7}{8}$，
解得$a = -\dfrac{7}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质、等式的性质
【点评】
本题属于基础考题，核心考查立方根的符号特性，解题时需注意不要将立方根的性质和平方根的性质混淆，平方根的被开方数非负，而立方根的被开方数可以是任意实数，负号可自由移动。
【难度系数】
0.8
5. 图8-2是一个2×2的方阵,其中每行、每列的两个数之和相等,则a可以是
(
A.$\sqrt{3}$
B.$-1$
C.$0$
D.$(-1)^{2030}$
(
D
)A.$\sqrt{3}$
B.$-1$
C.$0$
D.$(-1)^{2030}$
答案
5.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要先化简方阵里带运算的已知实数，再根据“每行、每列的两个数之和相等”的条件找等量关系求出a的值，最后判断四个选项中哪个和求出的a相等即可。第一步先化简$\sqrt[3]{8}$和$\vert -2\vert$，第二步计算第一行的和，根据第二行和等于第一行的和列等式求a，第三步逐一计算选项的值，匹配正确答案。
【解析】
首先化简方阵中的已知数：
1. 计算立方根：$\sqrt[3]{8}=2$；
2. 计算绝对值：$\vert -2\vert=2$。
已知每行的两个数之和相等，先计算第一行的和：$2+1=3$。
第二行的和与第一行相等，因此可得等式：$a + \vert -2\vert = 3$，代入$\vert -2\vert=2$，得：
$a + 2 = 3$，解得$a=1$。
接下来逐一判断选项：
A选项：$\sqrt{3}\approx1.732≠1$，不符合要求；
B选项：$-1≠1$，不符合要求；
C选项：$0≠1$，不符合要求；
D选项：$(-1)^{2030}$，负数的偶次幂为正数，2030是偶数，因此$(-1)^{2030}=1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
立方根化简，绝对值的性质，有理数乘方
【点评】
本题结合方阵的特征考查实数的基础运算，解题关键是正确化简各类实数，再根据等量关系求出未知量，最后匹配对应选项即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要先化简方阵里带运算的已知实数，再根据“每行、每列的两个数之和相等”的条件找等量关系求出a的值，最后判断四个选项中哪个和求出的a相等即可。第一步先化简$\sqrt[3]{8}$和$\vert -2\vert$，第二步计算第一行的和，根据第二行和等于第一行的和列等式求a，第三步逐一计算选项的值，匹配正确答案。
【解析】
首先化简方阵中的已知数：
1. 计算立方根：$\sqrt[3]{8}=2$；
2. 计算绝对值：$\vert -2\vert=2$。
已知每行的两个数之和相等，先计算第一行的和：$2+1=3$。
第二行的和与第一行相等，因此可得等式：$a + \vert -2\vert = 3$，代入$\vert -2\vert=2$，得：
$a + 2 = 3$，解得$a=1$。
接下来逐一判断选项：
A选项：$\sqrt{3}\approx1.732≠1$，不符合要求；
B选项：$-1≠1$，不符合要求；
C选项：$0≠1$，不符合要求；
D选项：$(-1)^{2030}$，负数的偶次幂为正数，2030是偶数，因此$(-1)^{2030}=1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
立方根化简，绝对值的性质，有理数乘方
【点评】
本题结合方阵的特征考查实数的基础运算，解题关键是正确化简各类实数，再根据等量关系求出未知量，最后匹配对应选项即可。
【难度系数】
0.8
四、实数及其简单运算
答案
解：
选取本专题典型基础运算题解答如下：
1. 计算：$\sqrt{9} - \sqrt{(-6)^2} - \sqrt[3]{-27}$
原式$= 3 - 6 - (-3)$
$= 3 - 6 + 3$
$= 0$
2. 计算：$2\sqrt{2} - |\sqrt{2} - 1| + 3\sqrt{2}$
$\because \sqrt{2} ＞ 1$，
$\therefore |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$
原式$= 2\sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1) + 3\sqrt{2}$
$= 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 + 3\sqrt{2}$
$= 4\sqrt{2} + 1$
3. 计算：$\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$
原式$= \sqrt{2} × \sqrt{2} + \sqrt{2} × 1$
$= 2 + \sqrt{2}$
选取本专题典型基础运算题解答如下：
1. 计算：$\sqrt{9} - \sqrt{(-6)^2} - \sqrt[3]{-27}$
原式$= 3 - 6 - (-3)$
$= 3 - 6 + 3$
$= 0$
2. 计算：$2\sqrt{2} - |\sqrt{2} - 1| + 3\sqrt{2}$
$\because \sqrt{2} ＞ 1$，
$\therefore |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$
原式$= 2\sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1) + 3\sqrt{2}$
$= 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 + 3\sqrt{2}$
$= 4\sqrt{2} + 1$
3. 计算：$\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$
原式$= \sqrt{2} × \sqrt{2} + \sqrt{2} × 1$
$= 2 + \sqrt{2}$
解析
【分析】
这三道是实数运算的典型基础题，解题遵循实数运算的优先级：①先处理特殊运算：开平方（取算术平方根，结果非负）、开立方（符号与被开方数一致）、绝对值（先判断内部式子的正负，再去绝对值符号）；②再去括号，注意符号变化；③最后按照四则运算规则计算，合并同类二次根式即可。
【解析】
选取本专题典型基础运算题解答如下：
1. 计算：$\sqrt{9} - \sqrt{(-6)^2} - \sqrt[3]{-27}$
先分别化简各个根式：
$\sqrt{9}$是9的算术平方根，$\sqrt{9}=3$；
$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}$，是36的算术平方根，$\sqrt{36}=6$；
$\sqrt[3]{-27}$是-27的立方根，$\sqrt[3]{-27}=-3$；
代入原式计算：
原式$= 3 - 6 - (-3)$
$= 3 - 6 + 3$
$= 0$
2. 计算：$2\sqrt{2} - |\sqrt{2} - 1| + 3\sqrt{2}$
先判断绝对值内式子的正负：
$\because \sqrt{2} ＞ 1$，
$\therefore \sqrt{2} - 1＞0$，正数的绝对值是它本身，即$|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$
代入原式去括号计算：
原式$= 2\sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1) + 3\sqrt{2}$
$= 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 + 3\sqrt{2}$
$= 4\sqrt{2} + 1$
3. 计算：$\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$
运用乘法分配律展开计算：
原式$= \sqrt{2} × \sqrt{2} + \sqrt{2} × 1$
$= 2 + \sqrt{2}$
【答案】
1. $\boxed{0}$；2. $\boxed{4\sqrt{2}+1}$；3. $\boxed{2+\sqrt{2}}$
【知识点】
实数的运算，二次根式化简，绝对值的性质
【点评】
这三道题是实数运算的基础题型，核心考查开方运算规则、绝对值化简方法、乘法分配律的应用，运算过程中要重点注意符号的处理，是掌握实数运算的必备基础练习。
【难度系数】
0.8
这三道是实数运算的典型基础题，解题遵循实数运算的优先级：①先处理特殊运算：开平方（取算术平方根，结果非负）、开立方（符号与被开方数一致）、绝对值（先判断内部式子的正负，再去绝对值符号）；②再去括号，注意符号变化；③最后按照四则运算规则计算，合并同类二次根式即可。
【解析】
选取本专题典型基础运算题解答如下：
1. 计算：$\sqrt{9} - \sqrt{(-6)^2} - \sqrt[3]{-27}$
先分别化简各个根式：
$\sqrt{9}$是9的算术平方根，$\sqrt{9}=3$；
$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}$，是36的算术平方根，$\sqrt{36}=6$；
$\sqrt[3]{-27}$是-27的立方根，$\sqrt[3]{-27}=-3$；
代入原式计算：
原式$= 3 - 6 - (-3)$
$= 3 - 6 + 3$
$= 0$
2. 计算：$2\sqrt{2} - |\sqrt{2} - 1| + 3\sqrt{2}$
先判断绝对值内式子的正负：
$\because \sqrt{2} ＞ 1$，
$\therefore \sqrt{2} - 1＞0$，正数的绝对值是它本身，即$|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$
代入原式去括号计算：
原式$= 2\sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1) + 3\sqrt{2}$
$= 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 + 3\sqrt{2}$
$= 4\sqrt{2} + 1$
3. 计算：$\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$
运用乘法分配律展开计算：
原式$= \sqrt{2} × \sqrt{2} + \sqrt{2} × 1$
$= 2 + \sqrt{2}$
【答案】
1. $\boxed{0}$；2. $\boxed{4\sqrt{2}+1}$；3. $\boxed{2+\sqrt{2}}$
【知识点】
实数的运算，二次根式化简，绝对值的性质
【点评】
这三道题是实数运算的基础题型，核心考查开方运算规则、绝对值化简方法、乘法分配律的应用，运算过程中要重点注意符号的处理，是掌握实数运算的必备基础练习。
【难度系数】
0.8
1. 长方形相邻两边的长分别为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm},\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，设其面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，则$S$在哪两个连续整数之间 （
A.1和2
B.2和3
C.3和4
D.4和5
C
）A.1和2
B.2和3
C.3和4
D.4和5
答案
1.C
解析
【分析】
首先根据长方形面积公式，面积等于相邻两边长度的乘积，先列出面积的计算式；再运用二次根式的乘法法则计算出面积的具体表达式；最后通过找与被开方数相邻的两个完全平方数，估算出无理数的大小范围，即可确定S所在的连续整数区间。
【解析】
解：长方形的面积等于相邻两边长的乘积，因此：
$S = \sqrt{2} × \sqrt{5}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得：
$S = \sqrt{2 × 5} = \sqrt{10}$
接下来估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且$9 ＜ 10 ＜ 16$，
所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
因此S在3和4两个连续整数之间。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
长方形面积计算、二次根式乘法、无理数估算
【点评】
本题将几何面积计算和实数运算结合，解题核心是先正确求出面积对应的无理数，再借助熟悉的平方数估算无理数的取值范围，整体难度不大，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先根据长方形面积公式，面积等于相邻两边长度的乘积，先列出面积的计算式；再运用二次根式的乘法法则计算出面积的具体表达式；最后通过找与被开方数相邻的两个完全平方数，估算出无理数的大小范围，即可确定S所在的连续整数区间。
【解析】
解：长方形的面积等于相邻两边长的乘积，因此：
$S = \sqrt{2} × \sqrt{5}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得：
$S = \sqrt{2 × 5} = \sqrt{10}$
接下来估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且$9 ＜ 10 ＜ 16$，
所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
因此S在3和4两个连续整数之间。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
长方形面积计算、二次根式乘法、无理数估算
【点评】
本题将几何面积计算和实数运算结合，解题核心是先正确求出面积对应的无理数，再借助熟悉的平方数估算无理数的取值范围，整体难度不大，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{(-9)^2}=-9$
B.$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=1$
C.$-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=-2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{36}=\pm6$
C
）A.$\sqrt{(-9)^2}=-9$
B.$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=1$
C.$-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=-2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{36}=\pm6$
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道二次根式运算及化简的辨析题，解题时需逐个分析选项，结合相关知识点判断正误：①首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，算术平方根的结果为非负数；②其次回忆同类二次根式的加减规则：仅合并系数，根号及根号内的数保持不变，和整式合并同类项的方法一致。通过逐一排查错误选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断每个选项的正误：
选项A：$\sqrt{(-9)^2}=\sqrt{81}=9$，算术平方根结果为非负数，不可能是-9，故A错误；
选项B：$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(3-2)\sqrt{2}=\sqrt{2}$，仅系数相减，根号部分不变，结果不是1，故B错误；
选项C：$-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=(-3+1)\sqrt{5}=-2\sqrt{5}$，计算符合二次根式加减规则，故C正确；
选项D：$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，结果只能是正的6，$\pm6$是36的平方根，故D错误。
综上，计算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式加减运算
3. 算术平方根定义
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，核心考查二次根式的基本性质和运算规则，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，以及合并同类二次根式时错误地改动根号部分，掌握基础概念和运算规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
这是一道二次根式运算及化简的辨析题，解题时需逐个分析选项，结合相关知识点判断正误：①首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，算术平方根的结果为非负数；②其次回忆同类二次根式的加减规则：仅合并系数，根号及根号内的数保持不变，和整式合并同类项的方法一致。通过逐一排查错误选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断每个选项的正误：
选项A：$\sqrt{(-9)^2}=\sqrt{81}=9$，算术平方根结果为非负数，不可能是-9，故A错误；
选项B：$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(3-2)\sqrt{2}=\sqrt{2}$，仅系数相减，根号部分不变，结果不是1，故B错误；
选项C：$-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=(-3+1)\sqrt{5}=-2\sqrt{5}$，计算符合二次根式加减规则，故C正确；
选项D：$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，结果只能是正的6，$\pm6$是36的平方根，故D错误。
综上，计算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式加减运算
3. 算术平方根定义
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，核心考查二次根式的基本性质和运算规则，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，以及合并同类二次根式时错误地改动根号部分，掌握基础概念和运算规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
3. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\dfrac{22}{7}$. 比较大小：$\sqrt{10}$______（填“＞”或“＜”）$\dfrac{22}{7}$.
答案
3.＞
解析
【分析】
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可利用正数的性质：两个正数比较大小时，平方后数值更大的原数也更大。因此我们可以分别计算两个数的平方，将无理数、分数的大小比较转化为有理数的大小比较，就能快速得出结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$均为正数，
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{10})^2 = 10$，
$(\frac{22}{7})^2 = \frac{22^2}{7^2} = \frac{484}{49}$，
将10转化为分母为49的分数可得：$10 = \frac{490}{49}$，
∵$\frac{490}{49} ＞ \frac{484}{49}$，即$(\sqrt{10})^2 ＞ (\frac{22}{7})^2$，
∴$\sqrt{10} ＞ \frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；有理数乘方
【点评】
本题考查实数大小比较的常用方法，利用平方法将带根号的无理数与分数的比较转化为有理数的大小比较，降低了计算难度，是实数相关运算中的基础题型。
【难度系数】
0.8
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可利用正数的性质：两个正数比较大小时，平方后数值更大的原数也更大。因此我们可以分别计算两个数的平方，将无理数、分数的大小比较转化为有理数的大小比较，就能快速得出结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$均为正数，
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{10})^2 = 10$，
$(\frac{22}{7})^2 = \frac{22^2}{7^2} = \frac{484}{49}$，
将10转化为分母为49的分数可得：$10 = \frac{490}{49}$，
∵$\frac{490}{49} ＞ \frac{484}{49}$，即$(\sqrt{10})^2 ＞ (\frac{22}{7})^2$，
∴$\sqrt{10} ＞ \frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；有理数乘方
【点评】
本题考查实数大小比较的常用方法，利用平方法将带根号的无理数与分数的比较转化为有理数的大小比较，降低了计算难度，是实数相关运算中的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 计算：$\sqrt[3]{8} + (-1)^{2026} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
4.3
解析
【分析】
这是一道实数基础运算题，解题时需拆分两个运算项分别计算后再求和。首先计算立方根项$\sqrt[3]{8}$，根据立方根的定义，找到立方等于8的数即可得到该项结果；再计算乘方项$(-1)^{2026}$，根据-1的乘方规律：-1的偶数次幂为1、奇数次幂为-1，判断2026是偶数就能得到该项结果；最后将两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算立方根：因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；
2. 计算乘方：2026是偶数，因此$(-1)^{2026}=1$；
3. 求和：$\sqrt[3]{8} + (-1)^{2026}=2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
立方根运算，有理数乘方，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，考察的都是核心基础知识点，只要熟练掌握立方根的定义和-1的乘方规律，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
这是一道实数基础运算题，解题时需拆分两个运算项分别计算后再求和。首先计算立方根项$\sqrt[3]{8}$，根据立方根的定义，找到立方等于8的数即可得到该项结果；再计算乘方项$(-1)^{2026}$，根据-1的乘方规律：-1的偶数次幂为1、奇数次幂为-1，判断2026是偶数就能得到该项结果；最后将两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算立方根：因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；
2. 计算乘方：2026是偶数，因此$(-1)^{2026}=1$；
3. 求和：$\sqrt[3]{8} + (-1)^{2026}=2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
立方根运算，有理数乘方，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，考察的都是核心基础知识点，只要熟练掌握立方根的定义和-1的乘方规律，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 计算：$\sqrt[3]{-27} + \sqrt{36} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
5.3
解析
【分析】
本题需要分别计算出立方根和算术平方根的值，再将两个结果相加即可得到最终答案。解题时首先回忆立方根的性质：负数的立方根是负数，找到立方等于-27的数就是$\sqrt[3]{-27}$的结果；再回忆算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根是它的算术平方根，由此求出$\sqrt{36}$的值，最后做加法运算。
【解析】
第一步：计算立方根$\sqrt[3]{-27}$
因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$
第二步：计算算术平方根$\sqrt{36}$
$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，所以$\sqrt{36}=6$
第三步：求和
将上述两个结果相加：$\sqrt[3]{-27}+\sqrt{36}=-3+6=3$
【答案】
3
【知识点】
立方根的计算；算术平方根的计算；实数的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对立方根、算术平方根定义的掌握，解题时需注意区分立方根与平方根的性质，避免出现符号错误或混淆算术平方根和平方根的情况。
【难度系数】
0.85
本题需要分别计算出立方根和算术平方根的值，再将两个结果相加即可得到最终答案。解题时首先回忆立方根的性质：负数的立方根是负数，找到立方等于-27的数就是$\sqrt[3]{-27}$的结果；再回忆算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根是它的算术平方根，由此求出$\sqrt{36}$的值，最后做加法运算。
【解析】
第一步：计算立方根$\sqrt[3]{-27}$
因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$
第二步：计算算术平方根$\sqrt{36}$
$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，所以$\sqrt{36}=6$
第三步：求和
将上述两个结果相加：$\sqrt[3]{-27}+\sqrt{36}=-3+6=3$
【答案】
3
【知识点】
立方根的计算；算术平方根的计算；实数的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对立方根、算术平方根定义的掌握，解题时需注意区分立方根与平方根的性质，避免出现符号错误或混淆算术平方根和平方根的情况。
【难度系数】
0.85
6. 计算：$\sqrt{49} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}| + \sqrt{(\mathrm{图1})^2}.$
答案
6. 原式=7-3+√2-1+1/3=10/3+√2.
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题思路是先分别化简每一项，再合并计算结果：①先算算术平方根$\sqrt{49}$，根据算术平方根定义，正数的算术平方根是正数；②再算立方根$\sqrt[3]{27}$，正数的立方根是正数；③再化简绝对值$|1-\sqrt{2}|$，先判断绝对值内式子的正负，$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数；④最后算$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}$，根据$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为实数）化简，最后把所有化简后的结果进行加减运算即可。
【解析】
解：先逐项化简：
$\sqrt{49}=7$，$\sqrt[3]{27}=3$，
$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$（因为$1-\sqrt{2}＜0$），
结合运算结果可知$\sqrt{(图1)^2}=\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{3}$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=7 - 3 + (\sqrt{2} - 1) + \frac{1}{3}\\&=4 + \sqrt{2} - 1 + \frac{1}{3}\\&=3 + \frac{1}{3} + \sqrt{2}\\&=\frac{10}{3} + \sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{10}{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题，核心考查实数相关运算的基本规则，解题时要注意去绝对值时的符号判断，以及二次根式$\sqrt{a^2}$化简的非负性要求，运算过程细心即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道实数混合运算题，解题思路是先分别化简每一项，再合并计算结果：①先算算术平方根$\sqrt{49}$，根据算术平方根定义，正数的算术平方根是正数；②再算立方根$\sqrt[3]{27}$，正数的立方根是正数；③再化简绝对值$|1-\sqrt{2}|$，先判断绝对值内式子的正负，$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数；④最后算$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}$，根据$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为实数）化简，最后把所有化简后的结果进行加减运算即可。
【解析】
解：先逐项化简：
$\sqrt{49}=7$，$\sqrt[3]{27}=3$，
$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$（因为$1-\sqrt{2}＜0$），
结合运算结果可知$\sqrt{(图1)^2}=\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{3}$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=7 - 3 + (\sqrt{2} - 1) + \frac{1}{3}\\&=4 + \sqrt{2} - 1 + \frac{1}{3}\\&=3 + \frac{1}{3} + \sqrt{2}\\&=\frac{10}{3} + \sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{10}{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题，核心考查实数相关运算的基本规则，解题时要注意去绝对值时的符号判断，以及二次根式$\sqrt{a^2}$化简的非负性要求，运算过程细心即可得分。
【难度系数】
0.8
