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1. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是 （）
A.$ x(x+y)=x^2+xy $
B.$ x^2+3xy+2=x(x+3y)+2 $
C.$ (x+1)(x-1)=x^2-1 $
D.$ 2x(x-1)+3(x-1)=(2x+3)(x-1) $
A.$ x(x+y)=x^2+xy $
B.$ x^2+3xy+2=x(x+3y)+2 $
C.$ (x+1)(x-1)=x^2-1 $
D.$ 2x(x-1)+3(x-1)=(2x+3)(x-1) $
答案
D
解析
根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。A选项是整式乘法，B选项右边不是整式的积，C选项是整式乘法，D选项左边是多项式，右边是两个整式的积，属于因式分解。
2. 若多项式$x^2+mx-8$因式分解的结果为$(x+4)(x-2)$，则常数$m$的值为（）
A.$-2$
B.$2$
C.$-6$
D.$6$
A.$-2$
B.$2$
C.$-6$
D.$6$
答案
B
解析
先展开因式分解的结果：$(x+4)(x-2)=x^2 -2x +4x -8=x^2+2x-8$，与多项式$x^2+mx-8$对比，可得$m=2$。
3. 对多项式$6a^{3}b^{2}-3a^{2}b^{2}-12a^{2}b^{3}$进行因式分解时,应提取的公因式是（）
A.$3a^{2}b$
B.$3ab^{2}$
C.$3a^{3}b^{3}$
D.$3a^{2}b^{2}$
A.$3a^{2}b$
B.$3ab^{2}$
C.$3a^{3}b^{3}$
D.$3a^{2}b^{2}$
答案
D
解析
确定多项式各项的公因式，系数取各项系数的最大公约数，6、-3、-12的最大公约数是3；相同字母取最低次幂，a的最低次幂是a²，b的最低次幂是b²，所以公因式是3a²b²。
4. 下列因式分解正确的是 （）
A.$ p^2 - 4 = (p + 4)(p - 4) $
B.$ a^2 + 2a + 1 = a(a + 2) + 1 $
C.$ -x^2 + 3x = -x(x + 3) $
D.$ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $
A.$ p^2 - 4 = (p + 4)(p - 4) $
B.$ a^2 + 2a + 1 = a(a + 2) + 1 $
C.$ -x^2 + 3x = -x(x + 3) $
D.$ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $
答案
D
解析
逐一分析选项：A选项，$p^2 -4=(p+2)(p-2)$，原分解错误；B选项，右边不是整式乘积形式，不是因式分解；C选项，$-x^2 +3x=-x(x-3)$，原分解错误；D选项，$x^2 -2x +1=(x-1)^2$，符合因式分解要求，正确。
5. 如图,长为$a$、宽为$b$的长方形的周长为10,面积为6,则$a^2b+ab^2$的值为________。
答案
30
解析
根据长方形周长公式，2(a+b)=10，解得a+b=5；根据长方形面积公式，ab=6。对式子$a^2b + ab^2$因式分解可得$ab(a + b)$，将$a+b=5$、$ab=6$代入，计算得$6×5=30$。
6. 若$x+y+z=2$，$x^2-(y+z)^2=8$，则$x-y-z=\_\_\_\_\_\_$.
答案
4
解析
利用平方差公式$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，对$x^2-(y+z)^2$因式分解得：$x^2-(y+z)^2=(x - (y+z))(x + (y+z))=(x - y - z)(x + y + z)$。已知$x+y+z=2$，代入上式得：$(x - y - z)×2=8$，解得$x - y - z=8÷2=4$。
7. 分解下列因式：
(1) $4a^2 - 36 = \_\_\_\_\_\_$；
(2) $2a^2b - 4ab^2 + 2b^3 = \_\_\_\_\_\_$
______；
(3) $-2x^4 + 36x^2 - 162 = \_\_\_\_\_\_$
______.
(1) $4a^2 - 36 = \_\_\_\_\_\_$；
(2) $2a^2b - 4ab^2 + 2b^3 = \_\_\_\_\_\_$
______；
(3) $-2x^4 + 36x^2 - 162 = \_\_\_\_\_\_$
______.
答案
（1）$4(a + 3)(a - 3)$；
（2）$2b(a - b)^2$；
（3）$-2(x + 3)^2(x - 3)^2$
（2）$2b(a - b)^2$；
（3）$-2(x + 3)^2(x - 3)^2$
解析
（1）先提取公因式4，再利用平方差公式分解：
$4a^2 - 36 = 4(a^2 - 9) = 4(a + 3)(a - 3)$；
（2）先提取公因式2b，再利用完全平方公式分解：
$2a^2b - 4ab^2 + 2b^3 = 2b(a^2 - 2ab + b^2) = 2b(a - b)^2$；
（3）先提取公因式-2，再两次利用完全平方公式和平方差公式分解：
$-2x^4 + 36x^2 - 162 = -2(x^4 - 18x^2 + 81) = -2(x^2 - 9)^2 = -2[(x + 3)(x - 3)]^2 = -2(x + 3)^2(x - 3)^2$。
$4a^2 - 36 = 4(a^2 - 9) = 4(a + 3)(a - 3)$；
（2）先提取公因式2b，再利用完全平方公式分解：
$2a^2b - 4ab^2 + 2b^3 = 2b(a^2 - 2ab + b^2) = 2b(a - b)^2$；
（3）先提取公因式-2，再两次利用完全平方公式和平方差公式分解：
$-2x^4 + 36x^2 - 162 = -2(x^4 - 18x^2 + 81) = -2(x^2 - 9)^2 = -2[(x + 3)(x - 3)]^2 = -2(x + 3)^2(x - 3)^2$。
8. 若 $ x $ 是有理数，$ M = 3x^2 - 5x + 2 $，$ N = 2x^2 - 3x + 1 $，则 $ M,N $ 之间的大小关系是（）
A.$ M＞N $
B.$ M＜N $
C.$ M=N $
D.$ M≥ N $
A.$ M＞N $
B.$ M＜N $
C.$ M=N $
D.$ M≥ N $
答案
D
解析
用作差法比较大小，计算M-N：(3x²-5x+2)-(2x²-3x+1)=x²-2x+1=(x-1)²。因为x是有理数，所以(x-1)²≥0，即M-N≥0，故M≥N。
9. 能整除$80^3 - 80$的整数是 （）
A.76
B.78
C.79
D.82
A.76
B.78
C.79
D.82
答案
C
解析
对$80^3 -80$因式分解：$80^3 -80=80(80^2 -1)=80(80-1)(80+1)=80×79×81$，可知该式含因数79，故能整除它的整数是79。
10. 把一个两位数十位上的数字和个位上的数字交换后得到一个新的两位数. 若将这个新的两位数与原两位数相加,则所得的和一定是
（）
A.偶数
B.奇数
C.11 的倍数
D.9 的倍数
（）
A.偶数
B.奇数
C.11 的倍数
D.9 的倍数
答案
C
解析
设原两位数十位数字为$a$，个位数字为$b$（$1≤a≤9$，$0≤b≤9$，$a、b$为整数），则原两位数为$10a + b$，交换后的新两位数为$10b + a$。两数相加：$(10a + b)+(10b + a)=11a + 11b=11(a + b)$，因此所得的和一定是11的倍数。
11. 若两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式. 若 $ x^2 - 25 $ 与 $ (x + b)^2 $ 为关联多项式，则 $ b $ 为________.
答案
5或-5
解析
先对多项式$x^2 -25$因式分解，利用平方差公式得$x^2 -25=(x+5)(x-5)$。因为两个多项式为关联多项式，即它们有公因式，而$(x+b)^2$的因式为$(x+b)$，所以$(x+b)$需是$(x+5)$或$(x-5)$，因此$b=5$或$b=-5$。
12. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边，且满足$a^2 - b^2 + ac - bc = 0$，则$△ ABC$为三角形（填“等腰”“等边”或“直角”）。
答案
等腰
解析
对等式$a^2 - b^2 + ac - bc = 0$因式分解：
$\begin{aligned}a^2 - b^2 + ac - bc&=0\\(a - b)(a + b) + c(a - b)&=0\\(a - b)(a + b + c)&=0\end{aligned}$
因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边，所以$a + b + c ≠ 0$，因此$a - b = 0$，即$a = b$，故$△ ABC$是等腰三角形。
$\begin{aligned}a^2 - b^2 + ac - bc&=0\\(a - b)(a + b) + c(a - b)&=0\\(a - b)(a + b + c)&=0\end{aligned}$
因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边，所以$a + b + c ≠ 0$，因此$a - b = 0$，即$a = b$，故$△ ABC$是等腰三角形。
13. 利用因式分解计算：
(1) $34^2 + 34 × 32 + 16^2$；
(2) $17 × 3.14 + 61 × 3.14 + 22 × 3.14 + 798 × 802$。
(1) $34^2 + 34 × 32 + 16^2$；
(2) $17 × 3.14 + 61 × 3.14 + 22 × 3.14 + 798 × 802$。
答案
(1)2500；(2)640310。
解析
(1) 利用完全平方公式因式分解：原式$=34^2 + 2×34×16 + 16^2=(34+16)^2=50^2=2500$；(2) 前三项用提公因式法，第四项用平方差公式因式分解：原式$=3.14×(17+61+22)+(800-2)(800+2)=3.14×100 + (800^2 -2^2)=314 + 639996=640310$。
