1. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=x^2+mx+2$的图像与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,其顶点为$D$,若$△ ABC$与$△ ABD$的面积比为$3:5$,则$m$的值为______.

第1题图

第2题图

第3题图

$-\frac{8\sqrt{3}}{3}$

2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=\sqrt{2}$,$D$是边$AB$上的一个动点,连接$CD$,将$△ BCD$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到$△ ACE$,连接$DE$,则$△ ADE$面积的最大值等于$\underline{\hspace{5em}}$.

$\frac{1}{2}$

3.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线$y=-x^2+6x$上一点,且在x轴上方,则$△ BCD$面积的最大值为________.

$15$

4. 如图,已知抛物线经过点$A(-1,0),B(3,0),C(0,3)$三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)$M$是线段$BC$上的点(不与点$B,C$重合),过点$M$作$NM// y$轴交抛物线于点$N$,连接$NB$,
$NC$,若点$M$的横坐标为$m$,是否存在$m$,使$△ BNC$的面积最大? 若存在,求$m$的值;若不存
在,说明理由.

第4题图

解：​$(1)$​设抛物线的函数表达式为​$y=a(x + 1)(x - 3)，$​​$ $​把​$C(0，3)$​代入，得​$a×1×(-3)=3，$​解得​$a=-1，$​​$ $​所以抛物线的函数表达式为​$y=-(x + 1)(x - 3)，$​即​$y=-x^2+2x + 3。$​​$ (2)$​存在。​$ $​直线​$BC$​的函数表达式为​$y=-x + 3，$​设​$M(m，-m + 3)，$​​$ $​则​$N(m，-\mathrm {m^2}+2m + 3)，$​∴​$MN=(-\mathrm {m^2}+2m + 3)-(-m + 3)=-\mathrm {m^2}+3m(0＜m＜3)$​​$S_{\triangle BNC}=\frac {1}{2}MN·OB=-\frac {3}{2}\mathrm {m^2}+\frac {9}{2}m=-\frac {3}{2}(m-\frac {3}{2})^2+\frac {27}{8}，$​​$ $​当​$m=\frac {3}{2}$​时，​$\triangle BNC$​的面积最大，最大值为​$\frac {27}{8}。$​

5.(2024·福建)如图,二次函数$y=x^2+bx+c$的图像与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,其中$A(-2,0),C(0,-2)$.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若$P$是二次函数图像上的一点,且点$P$在第二象限,线段$PC$交$x$轴于点$D,△ PDB$的面积是$△ CDB$的面积的$2$倍,求点$P$的坐标.

第5题图

解：​$(1)$​由题意，将​$A(-2，0)，$​​$C(0，-2)$​代入​$y=x^2+bx + c，$​得​$\begin {cases}4 - 2b + c = 0\\c = -2\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}b = 1\\c = -2\end {cases}，$​ ∴二次函数的表达式为​$y=x^2+x - 2。$​​$ (2)$​由题意，设​$P(m，n)(m<0，n>0)，$​​$ $​又​$\triangle PDB$​的面积是​$\triangle CDB$​的面积的​$2$​倍， ∴​$\frac {S_{\triangle PDB}}{S_{\triangle CDB}}=\frac {\frac {1}{2}BD·n}{\frac {1}{2}BD·CO}=2，$​∴​$\frac {n}{CO}=2。$​​$ $​又​$CO = 2，$​∴​$n = 2CO = 4。$​​$ $​由​$\mathrm {m^2}+m - 2 = 4，$​解得​$m_{1}=-3，$​​$m_{2} = 2($​舍去​$)，$​ ∴点​$P $​的坐标为​$(-3，4)。$​