1. 下列说法中，正确的是()。

A.三角形的三条中线交于一点
B.三角形的三条高都在三角形内部
C.三角形不一定具有稳定性
D.三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部

A

A选项：三角形三条中线交于一点，是三角形的重心，这是三角形中线的基本性质，所以A选项正确。
B选项：钝角三角形的两条高在三角形外部，所以“三角形的三条高都在三角形内部”这个说法错误。
C选项：根据三角形的基本性质，三角形具有稳定性，所以“三角形不一定具有稳定性”说法错误。
D选项：三角形的角平分线一定在三角形内部，所以“三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部”说法错误。

2. 在△ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，下列五种说法：①AD 把∠BAC 分成相等的两部分；②AD 把线段 BC 分成相等的两部分；③AD 把△ABC 分成形状相同的两个三角形；④AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形；⑤AD 把△ABC 分成面积相等的两个三角形。其中正确的说法有()。

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

A

①AD是中线，不一定是角平分线，不能把∠BAC分成相等两部分，错误；②中线定义：AD把BC分成相等两部分，正确；③两个三角形形状不一定相同，错误；④两三角形周长不一定相等（AB与AC不一定相等），错误；⑤等底同高，面积相等，正确。正确说法有②⑤，共2个。

3. AD 是△ABC 中边 BC 上的中线。若 AB = 5，AC = 7，则 BD 的取值范围是()。

A.BD ＞ 1
B.BD ＜ 5
C.1 ＜ BD ＜ 5
D.1 ＜ BD ＜ 6

D

本题可通过倍长中线法，构造全等三角形，再利用三角形三边关系求解$BD$的取值范围。
延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = DC$。
在$\triangle ADC$和$\triangle EDB$中：
$\begin{cases}AD = ED\\\angle ADC = \angle EDB\\DC = BD\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADC\cong\triangle EDB$，所以$BE = AC = 7$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得$BE - AB\lt AE\lt BE + AB$。
已知$AB = 5$，$BE = 7$，则$7 - 5\lt AE\lt 7 + 5$，即$2\lt AE\lt 12$。
又因为$AE = 2AD$，$BD=\frac{1}{2}BC$，且$AE = 2BD$，所以$2\lt 2BD\lt 12$，两边同时除以$2$，可得$1\lt BD\lt 6$。

4. 如图，AE ⊥ BD 于点 E，AE 是几个三角形的高()。

A.3
B.4
C.5
D.6

D

∵AE⊥BD于E，
∴AE是△ABD的高；
AE是△ACD的高；
AE是△AED的高；
AE是△ABC的高；
AE是△ACE的高；
AE是△ABE的高。
共6个三角形。

5. 如图，在△ABC 中，已知点 D，E，F 分别是边 BC，AD，CE 上的中点，且$ S_{△BEF} = 4 cm²，$BC = 8 cm，则△ABC 的边 BC 上的高为()。

A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm

D

设△ABC的面积为S，BC边上的高为h。
∵D是BC中点，∴AD是△ABC中线，S△ABD=S△ACD=S/2。
∵E是AD中点，∴BE是△ABD中线，CE是△ACD中线，
∴S△BED=S△ABD/2=S/4，S△CED=S△ACD/2=S/4，
∴S△BEC=S△BED+S△CED=S/4+S/4=S/2。
∵F是CE中点，∴BF是△BEC中线，
∴S△BEF=S△BEC/2= (S/2)/2=S/4。
已知S△BEF=4 cm²，∴S/4=4，解得S=16 cm²。
由S=1/2×BC×h，BC=8 cm，得16=1/2×8×h，解得h=4 cm。

6. 如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线。已知∠ABC = 80°，则∠DBC = °。

40

∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC=80°，∴∠DBC=∠ABD=∠ABC÷2=80°÷2=40°。

7. 如图，在△ABC 中，如果过点 B 作 PB ⊥ BC 交边 AC 于点 P，过点 C 作 CQ ⊥ AB 交 AB 的延长线于点 Q，那么图中线段 是△ABC 的一条高。

CQ

由题意，BP 是 BC 边上的垂线，但不是△ABC的高。CQ 是 AB 边延长线上的垂线，是△ABC中AB边上的高。因此，线段CQ是△ABC的一条高。

8. 如图，在△ABC 中，AB = AC，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，BG ⊥ AC，垂足分别为 E，F，G。求证：DE + DF = BG。

证明：连接AD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，
∴S_△ABD = $\frac{1}{2}$AB·DE，S_△ACD = $\frac{1}{2}$AC·DF，S_△ABC = $\frac{1}{2}$AC·BG。
∵S_△ABC = S_△ABD + S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}$AC·BG = $\frac{1}{2}$AB·DE + $\frac{1}{2}$AC·DF。
∵AB = AC，
∴$\frac{1}{2}$AC·BG = $\frac{1}{2}$AC·DE + $\frac{1}{2}$AC·DF，
两边同时除以$\frac{1}{2}$AC，得BG = DE + DF。
即DE + DF = BG。