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三角形的内角和定理
三角形的内角和等于.
三角形的内角和等于.
答案
180°
解析
三角形的内角和定理是三角形的内角和等于180°。
【例1】一个三角形三个内角的度数之比为2:4:7，这个三角形一定是().
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
D
解析
设三角形的三个内角的度数分别为 $2x$，$4x$，$7x$。
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为 $180°$，
所以 $2x + 4x + 7x = 180°$，
合并同类项得 $13x = 180°$，
解得 $x = \frac{180°}{13}$。
然后计算最大的角：
$7x = 7 × \frac{180°}{13} \approx 96.923°$（结果保留三位小数），
因为 $96.923°$ 大于 $90°$，所以这个三角形是钝角三角形。
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为 $180°$，
所以 $2x + 4x + 7x = 180°$，
合并同类项得 $13x = 180°$，
解得 $x = \frac{180°}{13}$。
然后计算最大的角：
$7x = 7 × \frac{180°}{13} \approx 96.923°$（结果保留三位小数），
因为 $96.923°$ 大于 $90°$，所以这个三角形是钝角三角形。
【变式1】如图，∠A = 65°，∠ABD = 30°，∠ACB = 72°，且CE平分∠ACB. 求∠BEC的度数.
答案
在△ABC 中，∠A = 65°，∠ACB = 72°，则
∠ABC = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 65° - 72° = 43°，
又∠ABD = 30°，
所以∠EBC = ∠ABC - ∠ABD = 43° - 30° = 13°，
因为 CE 平分∠ACB，
所以∠BCE = 1/2∠ACB = 1/2 × 72° = 36°，
在△BCE 中，
∠BEC = 180° - ∠EBC - ∠BCE = 180° - 13° - 36° = 131°。
故答案为：131°
∠ABC = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 65° - 72° = 43°，
又∠ABD = 30°，
所以∠EBC = ∠ABC - ∠ABD = 43° - 30° = 13°，
因为 CE 平分∠ACB，
所以∠BCE = 1/2∠ACB = 1/2 × 72° = 36°，
在△BCE 中，
∠BEC = 180° - ∠EBC - ∠BCE = 180° - 13° - 36° = 131°。
故答案为：131°
【例2】如图，经测量，B处在A处的南偏西60°的方向，C处在A处的南偏东20°方向，BE为正北方向，且∠CBE = 100°. 求∠ACB的度数.
答案
解：
1. 过点A作正南方向AD，由题意得∠BAD=60°（B在A南偏西60°），∠CAD=20°（C在A南偏东20°），则∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°。
2. BE为过B的正北方向，∠CBE=100°，故BC与正南方向夹角为180°-100°=80°（南偏东80°）。
3. BA为B的北偏东60°方向（B在A南偏西60°的反向），则BA与正东方向夹角为90°-60°=30°（东偏北30°）；BC与正东方向夹角为90°-80°=10°（东偏南10°），故∠ABC=30°+10°=40°。
4. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-40°=60°。
∠ACB=60°
1. 过点A作正南方向AD，由题意得∠BAD=60°（B在A南偏西60°），∠CAD=20°（C在A南偏东20°），则∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°。
2. BE为过B的正北方向，∠CBE=100°，故BC与正南方向夹角为180°-100°=80°（南偏东80°）。
3. BA为B的北偏东60°方向（B在A南偏西60°的反向），则BA与正东方向夹角为90°-60°=30°（东偏北30°）；BC与正东方向夹角为90°-80°=10°（东偏南10°），故∠ABC=30°+10°=40°。
4. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-40°=60°。
∠ACB=60°
【变式2】如图，∠A = 35°，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4的度数为_______.
答案
【解析】：在△ADE中，∠A=35°，由三角形内角和定理得∠AED+∠ADE=180°-∠A=145°。∠1为∠AED的邻补角，∠2为∠ADE的邻补角，故∠1=180° - ∠AED，∠2=180° - ∠ADE，所以∠1+∠2=360° - (∠AED+∠ADE)=360° - 145°=215°。同理，另两个角∠3+∠4所在三角形中，其第三个角之和与∠AED+∠ADE类似，总和亦为215°？（此处修正：实际∠1+∠2+∠3+∠4即为上述215°，因题目中四个角恰为两组邻补角之和）。综上，∠1+∠2+∠3+∠4=215°。
【答案】：215°
【答案】：215°
1. 在△ABC中，∠A = 35°，∠B = 60°，∠C等于().
A.115°
B.85°
C.75°
D.55°
A.115°
B.85°
C.75°
D.55°
答案
B
解析
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为$180°$。
已知$\angle A = 35°$，$\angle B = 60°$，
则$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 35° - 60° = 85°$。
已知$\angle A = 35°$，$\angle B = 60°$，
则$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 35° - 60° = 85°$。
2. 在△ABC中，若∠A = 36°，∠B:∠C = 1:5，则∠C等于().
A.120°
B.100°
C.24°
D.20°
A.120°
B.100°
C.24°
D.20°
答案
A
解析
设∠B = x，则∠C = 5x。
∵在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A = 36°，
∴36° + x + 5x = 180°，
解得x = 24°，
∴∠C = 5x = 5×24° = 120°。
∵在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A = 36°，
∴36° + x + 5x = 180°，
解得x = 24°，
∴∠C = 5x = 5×24° = 120°。
