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三、解答题（共55分）
10. (15分)(2025·二道区校级模拟)如图，在$□ ABCD$中，点$M$，$N$分别在边$AB$，$CD$上，且$BM=DN$。求证：$AC$与$MN$互相平分。
10. (15分)(2025·二道区校级模拟)如图，在$□ ABCD$中，点$M$，$N$分别在边$AB$，$CD$上，且$BM=DN$。求证：$AC$与$MN$互相平分。
答案
证明：连接AN,CM，如答图。
$ \because$四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AB// CD,AB=CD$。
$ \because BM=DN$，$\therefore CD-DN=AB-BM$，即CN=AM。
$ \because CN// AM$，$\therefore$四边形AMCN是平行四边形，
$ \therefore AC$与MN互相平分。
11. (20分)如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，点$E$，$F$分别在$OD$，$OB$上，且$OE=OF$，连接$AE$，$CF$。
(1)求证：$AE=CF$；
(2)延长$AE$交$CD$于点$G$，延长$CF$交$AB$于点$H$。求证：$AH=CG$。
(1)求证：$AE=CF$；
(2)延长$AE$交$CD$于点$G$，延长$CF$交$AB$于点$H$。求证：$AH=CG$。
答案
证明：
$ (1)\because$四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore AD=BC,AD// BC,BO=DO$，
$ \therefore ∠ ADE=∠ CBF$。
$ \because OE=OF$，$\therefore DE=BF$。
在△ ADE和△ CBF中，
$\begin{cases}AD=CB, \\∠ ADE=∠ CBF, \\DE=BF,\end{cases}$
$ \therefore △ ADE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，$\therefore AE=CF$。
$ (2)\because$四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore AD// BC,AB// CD$，$\therefore ∠ DAC=∠ BCA$。
$ \because △ ADE≌△ CBF$，$\therefore ∠ DAE=∠ BCF$，
$ \therefore ∠ EAO=∠ FCO$，$\therefore AG// HC$。
$ \because AH// CG$，$\therefore$四边形AHCG是平行四边形，
$ \therefore AH=CG$。
$ (1)\because$四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore AD=BC,AD// BC,BO=DO$，
$ \therefore ∠ ADE=∠ CBF$。
$ \because OE=OF$，$\therefore DE=BF$。
在△ ADE和△ CBF中，
$\begin{cases}AD=CB, \\∠ ADE=∠ CBF, \\DE=BF,\end{cases}$
$ \therefore △ ADE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，$\therefore AE=CF$。
$ (2)\because$四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore AD// BC,AB// CD$，$\therefore ∠ DAC=∠ BCA$。
$ \because △ ADE≌△ CBF$，$\therefore ∠ DAE=∠ BCF$，
$ \therefore ∠ EAO=∠ FCO$，$\therefore AG// HC$。
$ \because AH// CG$，$\therefore$四边形AHCG是平行四边形，
$ \therefore AH=CG$。
12. (20分)如图，在$□ ABCD$中，$AD=2AB$，$F$是$AD$的中点，作$CE⊥ AB$，垂足为$E$，连接$EF$，$CF$。
(1)求证：$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ BCD$；
(2)求证：$EF=CF$；
(3)若$\frac{BE}{AE}=a$，设$△ BEC$的面积为$S_{1}$，$△ EFC$的面积为$S_{2}$，求$\frac{S_{2}}{S_{1}}$的值。（用含$a$的代数式表示）
(1)求证：$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ BCD$；
(2)求证：$EF=CF$；
(3)若$\frac{BE}{AE}=a$，设$△ BEC$的面积为$S_{1}$，$△ EFC$的面积为$S_{2}$，求$\frac{S_{2}}{S_{1}}$的值。（用含$a$的代数式表示）
答案
(1)证明：$\because$四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore AB=CD,AD// BC$，$\therefore ∠ DFC=∠ BCF$。
$ \because AD=2AB$，F是AD的中点，$\therefore AD=2CD=2FD$，
$ \therefore CD=FD$，$\therefore ∠ DCF=∠ DFC$，
$ \therefore ∠ DCF=∠ BCF=\frac{1}{2}∠ BCD$。
(2)证明：如答图，延长CD,EF交于点G。
$ \because AB// CD$，$\therefore ∠ A=∠ FDG$。
在△ AEF和△ DGF中，
$\begin{cases}∠ A=∠ FDG, \\AF=DF, \\∠ AFE=∠ DFG,\end{cases}$
$ \therefore △ AEF≌△ DGF(\mathrm{ASA})$，$\therefore EF=GF$。
$ \because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ ECG=∠ BEC=90°$，
$ \therefore EF=CF=\frac{1}{2}EG$。
(3)解：如答图，设AE=m，$\because \frac{BE}{AE}=a$，
$ \therefore BE=am$，$\therefore CD=AB=m+am$。
$ \because △ AEF≌△ DGF$，$\therefore DG=AE=m$，
$ \therefore CG=m+am+m=2m+am$。
$ \because S_1=S_{△ BEC}=\frac{1}{2}am· CE$，$S_2=S_{△ EFC}=\frac{1}{2}S_{△ EGC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}(2m+am)CE=\frac{1}{4}(2m+am)CE$，
$ \therefore \frac{S_2}{S_1}=\frac{\frac{1}{4}(2m+am)CE}{\frac{1}{2}am· CE}=\frac{2+a}{2a}$。
