1. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF=DC；
(2)若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由.

证明：(1)​∵​E​是​AD​的中点，
∴​AE=DE.​
∵​AF// BC，​
∴​∠ AFE=∠ DBE.​
​ ​在​△ AFE​和​△ DBE​中，
$​ \begin {cases}∠ AFE=∠ DBE$， \\∠ FEA=∠ BED，$ \\AE=DE$，$\end {cases}​$
∴$​△ AFE≌△ DBE(\mathrm {AAS})$，​∴​AF=DB.​
∵​AD​是​BC​边上的中线，
∴​DC=DB，​∴​AF=DC.​
​ (2)​解：四边形​ADCF ​是矩形​.​
理由：连接​DF，​
​ ​由​(1)​得​AF=DB，​​AF// DB，​
∴四边形​ABDF ​是平行四边形，∴​AB=DF.​
∵​AB=AC，​∴​AC=DF.​
​ ​由​ (1)​得​AF=DC，​​AF// DC，​
∴四边形​ADCF ​是平行四边形​.​
∵​AC=DF，​∴四边形​ADCF ​是矩形​.​

2. (1)如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点. 求证：∠PMN=∠PNM；
【应用】连接AC，并取AC的中点Q，连接MQ，NQ.
(2)若AD=8，则四边形PMQN的周长为；
(3)若AD=4，且∠DAB+∠ABC=90°，则四边形PMQN的面积为.

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证明：
∵P，M，N分别是BD，DC，AB的中点，
∴PN，PM分别是△ ABD，△ BCD的中位线，
$ \therefore PN=\frac{1}{2}AD$，$PM=\frac{1}{2}BC.$
∵AD=BC，$\therefore PN=PM$，
$ \therefore ∠ PMN=∠ PNM.$

3. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF=EG. 求证：BD=AC.

证明：取DC的中点H，连接MH，NH
∵M，H分别是AD，DC的中点，
∴MH是△ ADC的中位线，
$ \therefore MH// AC$且$MH=\frac{1}{2}AC.$
同理可得NH// BD且$NH=\frac{1}{2}BD.$
∵EF=EG，$\therefore ∠ EFG=∠ EGF.$
∵MH// AC，NH// BD，
$ \therefore ∠ EFG=∠ HMN$，∠ EGF=∠ HNM，
$ \therefore ∠ HMN=∠ HNM$，
$ \therefore MH=NH$，$\therefore AC=BD.$