7. 如图①，$∠ B = ∠ C = 90°$，$AB = 2CD$，点 $P$ 以每秒 $2\ \mathrm{cm}$ 的速度从点 $B$ 出发，沿 $B - C - D$ 路线运动，到点 $D$ 停止.如图②反映的是 $△ ABP$ 的面积 $S(\mathrm{cm}^2)$ 与点 $P$ 的运动时间 $x(\mathrm{s})$ 之间的关系，则梯形 $ABCD$ 的面积为$\mathrm{cm}^2$.

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8. 如图，$∠ ABP = 90°$，$AB = 8$，点 $C$，$E$ 在射线 $BP$ 上（点 $C$，$E$ 不与点 $B$ 重合且点 $C$ 在点 $E$ 的左侧），连接 $AC$，$AE$，$D$ 为 $AC$ 的中点，过点 $C$ 作 $CF// AE$，交 $ED$ 的延长线于点 $F$，连接 $AF$.
（1）求证：四边形 $ABCF$ 是梯形；
（2）如果 $CE = 5$，当 $△ CDE$ 为等腰三角形时，求 $BC$ 的长.

证明：$(1)\because CF// AE$，
$ \therefore ∠ DCF=∠ DAE,∠ DFC=∠ DEA.$
$ \because D$为AC的中点，$\therefore CD=AD.$
在△ DCF和△ DAE中，
$\begin{cases}∠ DCF=∠ DAE,\\∠ DFC=∠ DEA,\\CD=AD,\end{cases}$
$ \therefore △ DCF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$，
$ \therefore CF=AE$，
$ \therefore $四边形AECF为平行四边形，
$ \therefore AF// CE$，即AF// BC.
$ \because CF// AE$，AE与AB交于点A，
$ \therefore CF$与AB不平行，
$ \therefore $四边形ABCF是梯形.
(1)解：△ CDE为等腰三角形，有以下三种情况：
①当CD=CE=5时，
$ \because D$为AC的中点，$\therefore AC=2CD=10.$
$ \because AB=8,∠ ABP=90°$，
$ \therefore $在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理，得$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=6$；
②当CE=DE=5时，过点F作FH⊥ BP于点H，
由
(1)可知，四边形AECF为平行四边形，

$ \therefore EF=2DE=10,AF=CE=5,AF// BP.$
$ \because ∠ ABP=90°,FH⊥ BP$，
$ \therefore $四边形ABHF为矩形，
$ \therefore BH=AF=5,FH=AB=8.$
在$\mathrm{Rt}△ EFH$中，由勾股定理，得$EH=\sqrt{EF^2-FH^2}=6$，
$ \therefore BC=BH+EH+CE=5+6+5=16$；
③当CD=DE时，
由
(1)可知，四边形AECF为平行四边形，$\therefore AC=EF$，
此时平行四边形AECF为矩形，即∠ AEC=90°，
$ \because ∠ ABP=90°$，$\therefore $点B与点E重合，不合题意.
综上所述，BC的长为6或16.