4. (2024·启东期中)如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为.

$\sqrt{10}-1$

5. (2024·苏州吴中、高新期中)如图，E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG. H为FG的中点，连接DH，AF.
(1)求证：四边形AFHD为平行四边形；
(2)连接EH，交BC于点O，若OB=OE，FG=8，求OH的长度.

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore AD=BC$，AD// BC，∠ BAE=∠ BCD.
∵BF=BE，CG=CE，
∴BC是△ EFG的中位线，
$ \therefore BC// FG$，$BC=\frac{1}{2}FG.$
∵H为FG的中点，$FH=\frac{1}{2}FG$，
$ \therefore BC// FH$，BC=FH，$\therefore AD// FH$，AD=FH，
$ \therefore$四边形AFHD为平行四边形.
(2)解：连接BH，CH，如答图.
∵CE=CG，FH=HG，$\therefore CH=\frac{1}{2}EF$，CH// EF.
∵$EB=BF=\frac{1}{2}EF$，$\therefore BE=CH$，
$ \therefore$四边形EBHC是平行四边形，
$ \therefore OB=OC$，OE=OH.
∵OB=OE，$\therefore OE=OH=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$
∵$BC=\frac{1}{2}FG=\frac{1}{2}×8=4$，$\therefore OH=2.$

6. 如图，在四边形ABCD中，AB=6，CD=8，∠BAC=30°，∠ACD=120°，E，F，M分别是AD，BC，AC的中点，求EF的长.

解：
∵E，M分别是AD，AC的中点，
∴EM是△ ADC的中位线，
$ \therefore EM=\frac{1}{2}CD=4$，EM// CD，
$ \therefore ∠ EMC+∠ ACD=180°.$
∵∠ ACD=120°，$\therefore ∠ EMC=60°$，
同理可得$MF=\frac{1}{2}AB=3$，MF// AB，
$ \therefore ∠ CMF=∠ BAC=30°$，$\therefore ∠ EMF=90°$，
$ \therefore EF=\sqrt{EM^2+MF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5.$

7. 如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N.
(1)试判断四边形PQMN的形状，并说明理由；
(2)求∠NMQ的度数.

(1)解：四边形PQMN为菱形.理由如下：
如答图，连接BD，AC，交于点O.
∵△ ADE，△ ECB是等边三角形，
$ \therefore AE=DE$，EC=BE，∠ AED=∠ BEC=60°，
$ \therefore ∠ AEC=∠ DEB=120°.$
在△ AEC和△ DEB中，
$ \begin{cases}AE=DE, \\∠ AEC=∠ DEB, \\EC=EB,\end{cases}$
$ \therefore △ AEC≌△ DEB(\mathrm{SAS})$，$\therefore AC=BD.$
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ ACD的中位线，即$MN=\frac{1}{2}AC.$
同理可得$NP=\frac{1}{2}DB$，$QP=\frac{1}{2}AC$，$MQ=\frac{1}{2}BD$，
$ \therefore MN=NP=PQ=MQ$，
$ \therefore$四边形PQMN是菱形.
(2)解：如答图，设MN交BD于点K，MQ交AC于点J，
∵MN// AC，MQ// BD，
$ \therefore$四边形MKOJ是平行四边形，
$ \therefore ∠ NMQ=∠ DOC.$
∵由
(1)知△ AEC≌△ DEB，
$ \therefore ∠ ACE=∠ DBE$，$\therefore ∠ COB=∠ CEB=60°$，
$ \therefore ∠ DOC=120°$，$\therefore ∠ NMQ=120°.$